球面距离课件[共20页]

1、9.11球和它的性质球和它的性质 球面距离球面距离 四川省安岳中学 刘 波 9.11球和它的性质球和它的性质 假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机假如你要乘坐从上海直飞好莱坞的飞机, , 设想一下设想一下, ,它需要沿着怎样的航线飞行呢它需要沿着怎样的航线飞行呢? ?航程航程 大约是多少呢大约是多少呢? ? (1)在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条在某一高度上，上海和好莱坞间的距离是一条 线段的长吗线段的长吗? (2)经过球面上的这两点有多少条弧呢经过球面上的这两点有多少条弧呢? (3)这无数条弧长哪条最短这无数条弧长哪条最短? 为了解决这个问题我们这节课就来研究一下地为了解决这个问题我们

2、这节课就来研究一下地 球上两点之间的最短距离（球面距离）球上两点之间的最短距离（球面距离） 答：不是，是一段圆弧的长。答：不是，是一段圆弧的长。 答：无数条。答：无数条。 9.11球和它的性质球和它的性质 球面距离：球面上两点球面距离：球面上两点A、 B之间的最短距离，就是之间的最短距离，就是 经过经过A、B两点的两点的大圆大圆在在 这两点间的一段这两点间的一段劣弧劣弧AB 的长度，我们把这个弧长的长度，我们把这个弧长 叫做两点的球面距离叫做两点的球面距离 A A B B O 一一. .定义定义 球面距离 距离公式距离公式： （其中（其中R为球半径，为球半径， 为为A,B所对应的球心角的弧度数

3、所对应的球心角的弧度数 ） lR R R 9.11球和它的性质球和它的性质 1.位于同一经线上两点的球面距离位于同一经线上两点的球面距离 例例1. 求东经求东经线上，纬度分别为北纬线上，纬度分别为北纬和和 的两地的两地A，B B的球面距离的球面距离 (设地球半径为设地球半径为R). 3868 57 赤道赤道 AOB ，根据，根据 A ，B B的球面距离为的球面距离为 68又EOB EOA38 , 30lR 6 lR 6 R 6 R 解解 EOBEOA ,AOB ? ? O O ? ? N N ? ? S S ? ? E E ? ? A A ? ? B B 二二. .应用举例应用举例 9.11球

4、和它的性质球和它的性质 例例2.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度度 线上，点线上，点A在东经在东经30度，点度，点B在东经在东经120度。度。 求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度; (2) 求经过求经过A、B两地的球面距离？两地的球面距离？ O O1 AB m 2.位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离 ,90 )1( 1 1 ROBBOO BOO 中，中，解：在解：在 . 2 2 ,45 11 RBOOBO 纬线圈中纬线圈中 的长度为的长度为 RR 4 2 2 2 . 2 AB AB 9.11球和它的性质球和

5、它的性质 O O1 AB m (2) 求经过求经过A、B两地球面距离？两地球面距离？ 1 ABO(2)在中，1 90 ,AO B ,ABRAOB在中， AOOBABR 60AOB 3 R l . 3 R A、B两地的球面距离为两地的球面距离为 9.11球和它的性质球和它的性质 的纬线上，的纬线上， A、 B B两地的球面距两地的球面距 变式：把地球当作半径为变式：把地球当作半径为R的球，的球， 地球上两地地球上两地A B B均在北纬均在北纬45 离为离为 3 R , ,且且A在西经在西经 20处，求点处，求点B B的位置。的位置。 O1 O B A N S B 9.11球和它的性质球和它的性质

6、 解：假设解：假设AOB AB B的弧长为的弧长为 3 R 3 R R , 3 OAOBR又 AB R 1 45OAO 又 在直角三角形在直角三角形 1 AOO中 1 2 45 2 O ACOSOAR 为正三角形，为正三角形， ABO O1 O B A N S B 9.11球和它的性质球和它的性质 1 2 2 O BR同理得：同理得： 222 11 O AO BAB O1 O B A N S 1 90AO B B 所以所以 B B在西经在西经 2090110 ，北纬45处 因为因为A在西经在西经 20 处处, 902070 在东经，北纬45 处。 或者 9.11球和它的性质球和它的性质 例例3

7、 3 （0404全国）已知球全国）已知球o的半径为的半径为1 1， A 、 B B 、 C三三 点都在球面上，且每两点间的球面距离都为点都在球面上，且每两点间的球面距离都为 2 ，则球，则球 心到平面心到平面AB BC距离为（距离为（ ） ABC D 1 3 3 3 2 3 6 3 9.11球和它的性质球和它的性质 1 dC H O B A 2BC 2AC ，同理得：，同理得： 2AB AOB中 ，在直角三角形，在直角三角形1OAOB又 90AOBBOCAOC A 、 B B 、 C三点三点 2 解法一解法一 每两点间的球面距离都为每两点间的球面距离都为 为正三角形，为正三角形， AOB 9.

8、11球和它的性质球和它的性质 236 323 HBAB ，在直角三角形，在直角三角形 BOH中 2 2 63 ,1 33 OH 1 dC H O B A 注：我们可以把球的问题转化成棱锥注：我们可以把球的问题转化成棱锥(或棱柱或棱柱)问题来处理问题来处理 1 d C H O B A 9.11球和它的性质球和它的性质 解法二解法二： 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 Oxyz 1,0,0A0,1,0B0,0,1C 1,1,0AB 0, 1,1BC 假设平面假设平面AB BC的法向量为的法向量为, ,nx y z 1 dC H O B A X YZ ,1OC 1OB 1OA 9.11球和它的性

9、质球和它的性质 00 0 0 n ABxy yz n BC 则，则， 3 3 O Bn d n 注：只要有三条互相垂直的直线我们都可以建立空间直角坐注：只要有三条互相垂直的直线我们都可以建立空间直角坐 标系标系 1 dC H O B A X YZ 1,x 1y 1z 令令得得 1,1,1n 平面的一个法向量为平面的一个法向量为，因为，因为B B点在平点在平 0,1,0OB 取 面面AB BC内，内， 9.11球和它的性质球和它的性质 三三、小结小结 1.两种形式的球面距离的求解两种形式的球面距离的求解 2.球面距离公式球面距离公式lR P83 2 、 3 、 4 (1).位于同一经线上两点的球

10、面距离位于同一经线上两点的球面距离 (2).位于同一纬线上两点的球面距离位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。为弧度，最后代公式。 方法：直接代公式方法：直接代公式 9.11球和它的性质球和它的性质 练习：练习： （0808辽宁）已知在半径为辽宁）已知在半径为 3的球面上有 的球面上有 A 、 B B 、 C三三 点，点， 1AB 2BC , A 、 C两点间的球面距离为两点间的球面距离为 3 3 则球心到平面则球心到平面AB BC距离为多少？距离为多少？ 9.11球和它的性质球和它的性质 C O B A H 解：解： A 、 C两点的球面距离为两点的球面距离为 3 3 3 AOC 3ACR 又 1AB ,2BC ,3AC ABC为直角三角形，为直角三角形， A 、 B B 、 C三点共圆三点共圆 球心球心在平面在平面AB BC内的射影一定在内的射影一定在AC上， 上， 所以点所以点O到平面到平面AB BC的距离为的距离为 O OH 9.11球和它的性质球和它的性质 2 22 11 33 3 22 OOOAO A 9.11球和它的