数列知识点总结及题型归纳

1、数列 二、等差数列 一、数列的概念 (1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫 第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ； 数列的一般形式：a1, a2, a3,an ,，简记作an。 例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2) 2010年各省参加高考的考生人数。 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差

2、通常用字母d表示。用递推公式表示为an an1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。 例：等差数列an 题型二 说明： 例： 2n 1 , 、等差数列的通项公式： 等差数列(通常可称为 1.已知等差数列 an .30 A. 15 B 2. an是首项 an an 1 an a1 A P数列) 中，a7 a9 C . 31 D . 1，公差 (2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个 数列的通项公式。 例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 (A) 667 (B) 668 : 1111 *1 ，23，4，5 3. 数列” 题型 数

3、列的通项公式是 数列的通项公式是 说明： an= n ( n 7, n N ), an= ( n N)。 n 定义: 等差数列an 2n 1,bn 等差中项的概念: an表示数列，an表示数列中的第n项，an = n表示数列的通项公式; 1 n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=(k Z); 1,n 2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , (3 )数列的函数特征与图象表示： 序号：123456 项：456789 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上

4、 是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值 f(1), f (2), f (3),f(n) 通常用 an来代替f n，其图象是一群孤立点。 例：画出数列an2n 1的图像. (4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分： 单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a,

5、a, S1(n 1) (5)数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：an Sn Sn 1(n2) 2 例：已知数列an的前n项和Sn 2n3，求数列an的通项公式 (n 1)d ; 的单调性：d 0为递增数列, 16, a41,则 a12 等于( 64 3的等差数列，如果 an 2005 , (C) 669 (D) 670 2n 1，则 an 为. d 0为常数列，d 0为递减数列。 ) 则序号n等于 bn为 (填“递增数列”或“递减 如果a , A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。 a , A , b成等差数列 例：1. (06全国I )设an A. 120 B A b 即：

6、2an 1 an an 2 2 是公差为正数的等差数列，若a a2 a3 .105C. 90 D (2anan m an m) 15, aa2a3 80，贝U an a2 a3() .75 2.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为 48,则它的首项是() A. 1B.2C.4D.8 题型四、等差数列的性质: (1) 在等差数列 an 中, 在等差数列 an 中, 在等差数列 an 中, 在等差数列 an 中, (2) 相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3) (4) 对任意m n N an 若 m n p , q 从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项; 题型五

7、、等差数列的前n和的求和公式: (Sn An2 Bn (代B为常数) 递推公式：Sn 旦 2 例：1.如果等差数列 an中, (A) 14 an (am Sn n(a1 2 是等差数列 an (m 1) n 2 am (n m)d , an) na1 q，贝U am a3 a4 a512, 那么a1 (B) 21 (C) 28 邑弘(m n); n m ana paq ; n(n 1)d 2 a2 a7 (D) 35 2. （2009湖南卷文）设Sn是等差数列 an的前n项和，已知32 3 , 3611，则S7等于（） A. 13 B . 35C. 49D. 63 3. （ 2009全国卷I理

8、）设等差数列 an的前n项和为Sn，若S9 72 ,则32 34 39= 4. （2010重庆文） （2）在等差数列 3n 中，3139 10 ,则35的值为（ ) (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10 （2）若项数为奇数，设共有2n 1项，则S奇 S偶 3n s中； 仝 。 3禺n 1 题型七对与一个等差数列，Sn , S2n Sn, S3n S?n仍成等差数列。 例：1.等差数列3n的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（） A.130B.170C.210D.260 2. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60，则前3 n项的和为。 3已知等差数列

9、3n的前10项和为100，前100项和为10,则前110项和为 5.若一个等差数列前 A.13 项 3项的和为34,最后3项的和为 146，且所有项的和为 B.12 项C.11 项 390,则这个数列有（ D.10 项 4.设Sn为等差数列3n的前n项和，S4 14, S10 S7 30,则S9 6.已知等差数列 3n的前n项和为Sn ,若S12 21,贝V 323538311 5. （06全国II ）设S是等差数列 34的前n项和，若 S6 7. （2009全国卷n理）设等差数列 3n的前n项和为Sn ,若35 533则二 S5 8. （ 98全国）已知数列 bn是等差数列, b1=1, b

10、+b2+b10=100. a 3D 1 A.B.- 103 题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法: 定义法： D. （I）求数列 bn的通项bn； 9.已知 3n 数列是等差数列，310 10 , 其前 10项的和編 70 ,则其公差d等于（） 2 1 1 D. 2 A. B. C. 3 3 3 3 3n 13n d（常数）（nN ）3n是等差数列 中项法： 10. （2009陕西卷文）设等差数列3n的前n项和为Sn,若36 S3 12 ,则31 23n 1 3n 3n 2(nN) 3n是等差数列 通项公式法: 3n kn b （k,b为常数） 3n是等差数列 S 11. （00全国）设

11、3n为等差数列，S为数列 3n的前n项和，已知S7= 7, S5= 75, Tn为数列 的前n n 项和，求Tn。 12.等差数列3n的前n项和记为Sn ,已知31030, 32050 求通项3n ；若Sn =242，求n 13.在等差数列an中，（1）已知S8 48,S12 3331540,求 S17 168,求印和d ； （2）已知36 10,S55,求a8和S8 ； （3）已知 题型六.对于一个等差数列： （1）右项数为偶数，设共有 2n叽则S偶 S奇 nd ；S- S偶 旦； 3n 1 前n项和公式法： Sn An2 Bn （A, B为常数） 3n是等差数列 例：1. 已知数列an 满

12、足 3n 3n 12 , 则数列3n为（） A.等差数列 B.等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 2. 已知数列an 的通项为3n 2n 5，则数列a*为（） A.等差数列 B.等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 3. 已知一个数列 3n的前n项和Sn 2n24，则数列an为（ ) A.等差数列 B.等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 4. 已知一个数列 3n的前n项和Sn 2 2n，则数列3n为（） A.等差数列 B.等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 5. 已知一个数列 3n满足 3n

13、223 n 1 3n 0，则数列3n为 () A.等差数列 B.等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 6. 数列3n满足31 =8, 342,且 3n 2 23n 1 3n 0 ( n N ) 求数列 3n的通项公式; 7. （01天津理，2）设$是数列an的前n项和，且S=n2,则an是（ A.等比数列，但不是等差数列 C.等差数列，而且也是等比数列 题型九.数列最值 （1） a10, d 0时，Sn有最大值；a1 ） B.等差数列，但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 0 , d 0 时, Sn有最小值; （2）Sn最值的求法：若已知 Sn，Sn的最值可求二

14、次函数 2 an bn的最值; 可用二次函数最值的求法（nN ）；或者求出 an 中的正、负分界项, 即: 若已知an，则Sn最值时n的值（n N ）可如下确定 an an 0或an 10 an 1 例：1.等差数列 an 中，a10, S9 S12，则前 项的和最大。 2 设等差数列 an的前n项和为Sn ，已知 a3 12, S12 , 30 求出公差 d的范围, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。 3. ( 02上海) 设an （n N*）是等差数列，S是其前n项的和，且Sv S, 3= S$，则下列结论错误 的是（ A.d v 0 B.a7= 0 C.S9 S5 D.S5与

15、S7均为3的最大值 4.已知数列 an的通项n 98 5.已知an N ），则数列 an的前30项中最大项和最小项分别是 是等差数列，其中a1 31 , 公差d 8。 （1）数列an从哪一项开始小于 0? （2）求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值. 6.已知an是各项不为零的等差数列，其中ai 0,公差d 0,若S10 0,求数列an前n项和的最大值. 7.在等差数列an中，a1 25 , 37 S9 ,求Sn的最大值. 2 1.数列an的前n项和Sn n 的通项公式吗? 2.已知数列 an的前n项和Sn 1 . （ 1）试写出数列的前 5项；（2）数列an是等差数列吗？（ 3）你

16、能写出数列an n2 4n 1,则 _ 2 _ 3.设数列an的前n项和为3=2n，求数列an的通项公式; 4.已知数列an 求证：数列 求数列an 中, an a13,前 n 和 Sn - (n 2 1)(an 1)1 是等差数列 的通项公式 5. （2010安徽文）设数列an的前n项和Sn 2 n ,则a8的值为（） (A)15 等比数列 (B) 16(C) 49 (D) 64 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q 0），即：an 1： an 递推关系：an1 anq 通项公式：an n 1

17、 a1q 推广：an am n m q 1.在等比数列 中,a1 4,q 2，则 an_ 2 .在等比数列 t an中，a7 12,q 3 2,则 a19 3. （ 07重庆文）在 等比数列 an 中, 82= 8,a1 = (A) 2 (B) 3 (C) 4 4.在等比数列 an 中，a2 2 , a 554，则 、递推关系与通项公式 a8 = 64 ,，则公比q为（） （D） 8 5.在各项都为正数的等比数列 an 中, 首项a13，前三项和为21，则a3 A 33 B 72 C 84 D 189 q(q a4 那么这个数列就叫做等比数列，这 0）。 a5() 题型十.利用anS(n Sn

18、 2 (2) 中项法：3n 13n 3n 2 佝 0)3n为等比数列； (3) 通项公式法：3n k qn (k,q为常数)3n为等比数列； (4) 前n项和法：Sn k(1 qn) (k,q为常数)3n为等比数列。 Sn k kqn (k,q为常数)a.为等比数列。 6.已知数列an满足ai 2, a2 4且an 2 an 2 an i ( n N ),求数列 A.等差数列 B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 2.已知数列an 2 满足 an 1an an 2(an 0)，则数列an为 ( ) A.等差数列 B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列 D.

19、 无法判断 3.已知一个数列 a n的前n项和Sn 2 2n 1，则数列an为( ) A.等差数列 B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列 D. 无法判断 例: 1.已知数列an的通项为an 2n，则数列an为() 7.已知数列an满足a1 2,且 an i 5n 12(an 5n)( n N ),求数列an 8.已知数列an满足ai n 1 2,且 an 15 22 3(an 5 2n2) ( n an的通项公式； 的通项公式； ，求数列an的通项公式; 5.利用aS1(n 1)求通项. Sn Sn 1 (n 2) 1 12.数列已知数列 an满足a1- ,an 2 4an 11(

20、n1).则数列 an的通项公式= (2)累加法 1 例：1. (2005北京卷)数列an的前n项和为S,且a1=1, an 1 Sn, n=1, 2, 3, ，求a2, as , a4的值及数 3 列an的通项公式. 2.(2005山东卷)已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn 1Sn n 5(n N*)，证明数列an 1 是等比数列. 四、求数列通项公式方法 (1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项 例: 1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a? 26,求an; 1、累加法 适用于：an 1 an f(n) a24 f (1) 2.已知数列an满足a12, a

21、n an 1 1(n 1)，求数列an的通项公式; 3. 数列 an 满足 a1 =8, a42,且 an 2 2an 1 an 0( n N ),求数列an的通项公式; 4.等比数列an的各项均为正数，且 2a1 3a2 2 1, a39a2a6，求数列an的通项公式 若an 1 an f (n) (n 2)，则 a3a2 f (2) L an 1 anf(n) n 两边分别相加得 an 1印 f (n) k 1 1 例: 1.已知数列an满足a1, 2 2.已知数列an满足an 1 3.已知数列an满足an 1 4.设数列an满足a1 an 1 an 2，求数列an的通项公式。 4n 1

22、an 2n 1, a1 1，求数列an的通项公式。 an 2 3n 1, a1 3，求数列an的通项公式。 2n 1 2 , an 1 an 3 2，求数列a.的通项公式 (3)累乘法 适用于： an 1f(n)an an 1 若- an f(n),则 a a1 f(1),a3f(2),LL,an1 f(n) a2an 5.已知数列an满足a12, an3an ,n 1)，求数列an的通项公式; 两边分别相乘得, an 1 a1 ai n f(k) k 1 (5)递推公式中既有 Sn 例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n an, 313，求数列an的通项公式。 S n 1 分析：把

23、已知关系通过 寺Sn Sm川2转化为数列 或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。 2.已知数列an 满足 ai an n an n 1 ,求 an。 1. (2005北京卷)数列an的前n项和为S,且a1=1, an 1 -Sn , n=1, 2, 3,求 a2, a3, a4的值及数列an 3 的通项公式. 3.已知a13 , 3n 1 3n 2an (n 1)，求 an 。 2. (2005山东卷)已知数列an的首项a1 5,前n项和为Sn , 且Sn 1 Sn n 5(n N )，证明数列 an 1是 (4)待定系数法 等比数列. 适用于an 1 qan f(n) 4.已知数列an的

24、各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn 解题基本步骤: 2(an 1)(an 2)，且a2,a4,a?成等比数列，求数列an的 通项公式。 1、确定f(n) 2、设等比数列 an 1f (n)，公比为 3、列出关系式 an 1 1f (n 1)2an 2f( n) 4、比较系数求 5、解得数列 an 1 f (n)的通项公式 五、数列求和 1直接用等差、等比数列的求和公式求和。 6、解得数列 an的通项公式 例：1.已知数列an中，a1 1,an 2an 1(n2)，求数列an的通项公式。 n(a1an) Sn 厂 n(n 1)d 2 Sn g(q 1) 6(1 qn) 1 q (q 1) 公比

25、含字母时一定要讨论 2. (2006，重庆，文,14)在数列 an中, 若a1 1,an 1 2an 3(n 1)，则该数列的通项 an (理)无穷递缩等比数列时，S -ar 1 q 3. (2006.福建理22.本小题满分14分) 已知数列 an满足a11,an1 2a.1(n N ).求数列a.的通项公式； 例：1.已知等差数列an满足a11, a2 求前n项和 Sn A 9 B . 10 C . 11 D . 12 2.等差数列an中，a1=1, a3+ a5=14,其前n项和S=100,则n=( ) 3.已知等比数列 an满足 ai 1, a23，求前n项和Sn D . 30 4.设 f(n) 2 24 3n 10 . 2 (nN)，则 f(n)等于() 2.已知数列 an的通项公式为 an 1 ，求前n项的和; n(n 1) A. 2(8n 1) B. 2(8n1 1)