2024-2025学年北京市房山区七年级（下）期中数学试卷及答案解析

第1页（共1页）2024-2025学年北京市房山区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）计算a3•a的结果是（）A．a2 B．a3 C．a4 D．a52．（2分）在数轴上表示不等式x+1＜0的解集，正确的是（）A． B． C． D．3．（2分）方程组的解是（）A． B． C． D．4．（2分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+5＞b+5 B．﹣2a＜﹣2b C． D．7a＜7b5．（2分）下列计算正确的是（）A．a3•a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a3•a3＝a9 D．a3+a3＝2a66．（2分）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（）A． B． C． D．7．（2分）已知m，n为有理数，则下列说法中正确的是（）A．（m+n）2＞0 B．（m+n）（m﹣n）＞0 C．m2+n2≥2mn D．m2﹣n2≥2mn8．（2分）如图，由四个相同的长为a，宽为b的长方形（a＞b）拼成如图所示的图形，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则①a﹣b＝n；②a2﹣b2＝mn；③；④中，正确的是（）A．④ B．②④ C．①③ D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）不等式2x﹣4＞0的解集是．10．（2分）已知2x﹣y＝3，用含x的代数式表示y为．11．（2分）计算﹣6a2b3÷3a2b的结果是．12．（2分）已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为．13．（2分）已知x3a＝2，则x6a+x4a•x5a＝．14．（2分）学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了如图：请问图中①处应填．15．（2分）若关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，则m的取值范围是．16．（2分）观察下列各等式：请你再找出一组满足以上特征的两个不相等的有理数，并写成等式形式：．三、解答题（本题共68分，第17-22题，第25题，每题5分；第23-24题，第27题，每题6分；第26题，7分，第28题，8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）解不等式：5x﹣1＜3（x+3），并把它的解集在数轴上表示出来．18．（5分）用代入消元法解方程组：．19．（5分）用加减消元法解方程组：．20．（5分）解方程组：．21．（5分）计算：（6x2y2﹣4xy）÷2xy．22．（5分）计算：（m﹣n）（m2+mn+n2）．23．（6分）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣y（x+y），其中，y＝﹣1．24．（6分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．25．（5分）已知方程组的解x，y满足x+y＞0，且m为非负数，求m的取值范围．26．（7分）2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元．（1）A，B两种规格的书架单价分别是多少元？（2）若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？27．（6分）在学习乘法公式时，我们经历了运用几何图形验证公式的过程，如在学习完全平方公式时，我们通过如下过程验证了和的完全平方公式，请你类比此过程，运用几何图形验证差的完全平方公式．28．（8分）定义：如果ac＝b，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为.例如32＝9，那么2为的“甜幂指数”，记为.根据定义回答以下问题：（1）若，则m＝；若，则n＝；（2）已知，，，x，y，z为正整数，且x+y＝z，求m的值；（3）已知当x，y为正整数，且a＞0时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且a＞0，b＞0时，求的值．

2024-2025学年北京市房山区七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBADAACD一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）计算a3•a的结果是（）A．a2 B．a3 C．a4 D．a5【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：a3•a＝a3+1＝a4，故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．2．（2分）在数轴上表示不等式x+1＜0的解集，正确的是（）A． B． C． D．【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：x+1＜0，x＜﹣1，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．3．（2分）方程组的解是（）A． B． C． D．【分析】先利用加减消元法解出x，然后利用代入法计算出y的值，从而得到方程组的解．【解答】解：，②﹣①得x＝2，把x＝2代入①得2+y＝5，解得y＝3，所以方程组的解为．故选：A．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程是关键．4．（2分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+5＞b+5 B．﹣2a＜﹣2b C． D．7a＜7b【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+5＜b+5，故A不符合题意；B、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故B不符合题意；C、∵a＜b，∴ab，故C不符合题意；故选：C．D、∵a＜b，∴7a＜7b，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．5．（2分）下列计算正确的是（）A．a3•a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a3•a3＝a9 D．a3+a3＝2a6【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项方法进行解题即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故该项正确，符合题意；B、a3+a3＝2a3，故该项不正确，不符合题意；C、a3•a3＝a6，故该项不正确，不符合题意；D、a3+a3＝2a3≠2a6，故该项不正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．（2分）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（）A． B． C． D．【分析】根据“每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵每三人共乘一车，最终剩余2辆车，∴3（y﹣2）＝x；∵若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，∴x﹣9＝2y．∴可列方程组．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．（2分）已知m，n为有理数，则下列说法中正确的是（）A．（m+n）2＞0 B．（m+n）（m﹣n）＞0 C．m2+n2≥2mn D．m2﹣n2≥2mn【分析】利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行判断即可．【解答】解：A、（m+n）2≥0，则A不符合题意，B、（m+n）（m﹣n）与0的大小关系无法确定，则B不符合题意，C、因（m﹣n）2≥0，则m2﹣2mn+n2≥0，即m2+n2≥2mn，则C符合题意，D、当m＝1，n＝2时，显然不等式m2﹣n2≥2mn不成立，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查完全平方公式，偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式的表现形式是解题的关键．8．（2分）如图，由四个相同的长为a，宽为b的长方形（a＞b）拼成如图所示的图形，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则①a﹣b＝n；②a2﹣b2＝mn；③；④中，正确的是（）A．④ B．②④ C．①③ D．①②③④【分析】根据题意易得：a+b＝m，a﹣b＝n，从而可得（a+b）2＝m2，（a﹣b）2＝n2，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．【解答】解：①a﹣b＝n，故①正确；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝mn，故②正确；③由题意得：a+b＝m，a﹣b＝n，∴（a+b）2＝m2，（a﹣b）2＝n2，∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝m2﹣n2，∴，故③正确；④∵（a+b）2＝m2，（a﹣b）2＝n2，∴a2+2ab+b2＝m2，a2﹣2ab+b2＝n2，∴2a2+2b2＝m2+n2，∴，故④正确；所以，上述结论正确的是①②③④，故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）不等式2x﹣4＞0的解集是x＞2．【分析】两边同时加4，再同时除以2，不等号不变．【解答】解：∵2x﹣4＞0，∴2x＞4，∴x＞2．【点评】不等式两边同时加上一个数或除以一个正数，不等号方向不变．10．（2分）已知2x﹣y＝3，用含x的代数式表示y为y＝2x﹣3．【分析】把x看作已知数求出y即可．【解答】解：方程2x﹣y＝3，解得：y＝2x﹣3．故答案为：y＝2x﹣3．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．11．（2分）计算﹣6a2b3÷3a2b的结果是﹣2b2．【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．【解答】解：﹣6a2b3÷3a2b＝﹣2b2，故答案为：﹣2b2．【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．12．（2分）已知（a+2）x|a|﹣1+y＝5是二元一次方程，则a的值为2．【分析】根据二元一次方程未知数x的指数为1，系数不为0解答即可．【解答】解：∵（a+2）x|a|﹣1+y＝5是一个二元一次方程，∴，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程．13．（2分）已知x3a＝2，则x6a+x4a•x5a＝12．【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可．【解答】解：∵x3a＝2，∴x6a+x4a•x5a＝（x3a）2+x9a＝22+（x3a）3＝4+23＝12．故答案为：12．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2分）学习了二元一次方程组的解法后，小聪同学画出了如图：请问图中①处应填方程两边分别相加．【分析】根据加减法解二元一次方程组进行判断即可．【解答】解：根据题意①方程两边分别相加，故答案为：方程两边分别相加．【点评】本题考查了解二元一次方程组，根据未知数系数的特点灵活选用方法是解题的关键．15．（2分）若关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，则m的取值范围是m≥1．【分析】由x﹣2＞0得：x＞2，由x﹣3+m＞0得x＞3﹣m，根据关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，知2≥3﹣m，解之即可得出答案．【解答】解：由x﹣2＞0得：x＞2，由x﹣3+m＞0得x＞3﹣m，∵关于x的不等式x﹣2＞0的每一个解都能使x﹣3+m＞0成立，∴2≥3﹣m，解得m≥1，故答案为：m≥1．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．16．（2分）观察下列各等式：请你再找出一组满足以上特征的两个不相等的有理数，并写成等式形式：（答案不唯一）．【分析】观察题目中的算式，按照题目中的格式对比着写出一个算式即可．【解答】解：，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察算式，对比着写出一个，写完后一定要验算一遍，难度不大．三、解答题（本题共68分，第17-22题，第25题，每题5分；第23-24题，第27题，每题6分；第26题，7分，第28题，8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17．（5分）解不等式：5x﹣1＜3（x+3），并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】先去括号、移项、合并同类项得到2x＜10，然后把x的系数化为1即可，最后把解集表示在数轴上．【解答】解：5x﹣1＜3（x+3），去括号，得5x﹣1＜3x+9，移项，得5x﹣3x＜9+1，合并同类项，得2x＜10，系数化为1，得x＜5，在数轴上表示为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．18．（5分）用代入消元法解方程组：．【分析】利用代入消元法解方程组即可．【解答】解：，由②，得x＝2+2y③，把③代入①，得2+2y+y＝5，解得：y＝1，把y＝1代入③，得x＝2+2×1＝2+2＝4，∴方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．19．（5分）用加减消元法解方程组：．【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：，①+②，得6x＝6，解得：x＝1，把x＝1代入②，得3×1﹣2y＝1，解得：y＝1，∴方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键．20．（5分）解方程组：．【分析】利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：，①×2，得4x+6y＝2③，②﹣③，得﹣4y＝4，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得2x+3×（﹣1）＝1，解得：x＝2，∴方程组的解为．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键．21．（5分）计算：（6x2y2﹣4xy）÷2xy．【分析】根据多项式除以单项式法则进行计算即可．【解答】解：原式＝6x2y2÷2xy﹣4xy÷2xy＝3xy﹣2，故答案为：3xy﹣2．【点评】本题主要考查了整式的除法，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则．22．（5分）计算：（m﹣n）（m2+mn+n2）．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3＝m3﹣n3【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．23．（6分）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣y（x+y），其中，y＝﹣1．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（2x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣y（x+y）＝4x2﹣4xy+y2﹣（4x2﹣y2）﹣xy﹣y2＝4x2﹣4xy+y2﹣4x2+y2﹣xy﹣y2＝﹣5xy+y2，当，y＝﹣1时，原式＝﹣5（﹣1）+（﹣1）2＝1+1＝2．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．24．（6分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣3；解不等式②得：x；∴原不等式组的解集为：﹣3≤x，∴非负整数解为：0，1，2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．25．（5分）已知方程组的解x，y满足x+y＞0，且m为非负数，求m的取值范围．【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＜1，且m为非负数，可得答案．【解答】解：①+②，得：3x+3y＝2﹣2m，∴x+y，∵x+y＞0，即0，解得，m＜1，又∵m≥0，∴0≤m＜1．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围．26．（7分）2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元．（1）A，B两种规格的书架单价分别是多少元？（2）若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？【分析】（1）设A种规格的书架单价是x元，B种规格的书架单价是y元，根据若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元；列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设B种规格的书架可以购买m个，则A种规格的书架可以购买（30﹣m）个，根据总费用不能超过10000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设A种规格的书架单价是x元，B种规格的书架单价是y元，由题意得：，解得：，答：A种规格的书架单价是180元，B种规格的书架单价是380元；（2）设B种规格的书架可以购买m个，则A种规格的书架可以购买（30﹣m）个，由题意得：380m+180（30﹣m）≤10000，解得：m≤23，答：B种规格的书架最多可以购买23个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列