分组分解法因式分解

1、(一)复习 把下列多项式因式分解2(1) 2x 2+10x(2)a(m+n)+b(m+n)2(3) 2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)(二)新课讲解1引入 提问：如何将多项式 am+a n+bm+br因式分解？ 分析：很显然，多项式am+a n+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n), 而 a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解

2、法 。说明： 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后， 它们的另一个因式正好相同， 那么这个多 项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式(1) 20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2应用举例2例 1把 a2-ab+ac-bc 分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是 a-b ，这样就可以继续提公因式。解： a2-ab+ac-bc= ( a2-ab ) +(ac-bc ) =a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例 2：把 2a

3、x-10ay+5by-bx 分解因式分析： 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组， 并使两组的项按 x 的降幂排列， 然 后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解： 2ax-10ay+5by-bx= (2ax-10ay ) +( 5by-bx )=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问： 这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。 如果能， 请你看一下结果是否相同？ 练习：把下列各式分解因式22(1) ax+bc+3a+3b (2)a +2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y-yz+x

4、z3 2 2(5)2x +x -6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx+mx-nx-n2 2 2 2 2(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb 2四、课外作业 把下列各式分解因式1 a(m n) b(mn)3 n(x y) xy5 p(m n) mn7 a 2acab bc329 2x x 6x 311. xy + x y 1322313 x 2x y 4xy + 8y322315. 4x + 4x y 9xy 9y2. xy(a b) + x(a b)4. a b q(a b)6.

5、2a 4b m(a 2b)8. 3a 6b ax + 2bx10. 2ax + 6bx + 7ay + 21by2 2 2 212. ax + bx ay by14. 3m 3y ma ay322 216. x y 3x 2x y + 6xy(一)复习 1提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？ 2用分组分解法因式分解：2(1) ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b -bc2 3 2(4) 2x-4y-xy+2y 2 (5)5am-a+b-5bm (6)x 3-x 2-4x+4(二)新课讲解1例题分析例 3：把 3ax+4by+4ay+3bx 分解因式

6、分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两 项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。解： 3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by加法交换律=(3ax+4ay)+(3bx+4by)分组=a(3x+4y)+b(3x+4y)提公因式=(3x+4y)(a+b) 再提公因式练习 :用分组分解法因式分解：(1) ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例 4：把 m2+5n-mn-5m 分解因式分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组

7、之间却没有公因式， 不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。2 2 2解： m+5n-mn-5m=m-5m+5n-mn=(m -5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n) 练习：把下列各式分解因式2 2 2 2(1)x +y-xy-x (2)5ax -b -b x+5ax22(3)x +yz-xy-xz(4)4x+3z-3xz-4x2(5) 5am+b-a-5bm(6)x-yz+xy-xz四、课外作业 把下列各式分解因式1mnm n123mx 4ny 4my 3nx332432m mm1mm m152a 2 2b ab 2a6 axb

8、y aybx7xy z yxz82a xby ayabx932 mx mx mx m10a2b a2ca3abc一)复习1什么是分组分解法？2把下列各式分解因式22(1)ac-ad+bc-bd (2)ay -ax+bx-by2(3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x3. 填空(1)a 2-b 2= (2)a 2+2ab+b2= (3)a 2-2ab+b2=(二)新课讲解1 例题与练习例 5：把 x2-y 2+ax+ay 分解因式分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、22二两项满足平方差公式x2-y 2=(x+y)(x-

9、y),而三、四两项有公因式 a, 而 ax+ay=a(x+y). 这时可以看出 (x+y)(x-y) 与 a(x+y) 有公因式 (x+y) 。解： x2-y 2+ax+ay=(x 2-y 2)+(ax+ay ) =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+(x-y)+a=(x+y)(x-y+a)练习：把下列各式分解因式2 2 2 2(1)4a 2-b 2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n 2(3)x 2y2-4+xy 2-2y(4)a2b2-c 2+abd+cd2 2 2例 6：把 a2-2ab+b 2-c 2分解因式分析：用刚才的方法不能见效。我们发现(a-b) 2- c 2

10、，再用平方差公式。解： a2-2ab+b 2-c 2=( a 2-2ab+b 2)- c 2=( a-b) 2- c 2=(a-b)+c(a-b)-ca2-2ab+b 2是完全平方式分组 运用完全平方公式 运用平方差公式(a-b) 2, 此时，原式就变为=(a-b+c)(a-b-c)222-a 2-2ab-b练习：把下列各式分解因式22(1)4a 2+4ab+b2-1(2)c(3)x 2-4y 2+12yz-9z 2(4)a 2b2-c 2+2ab+1四、课外作业 把下列各式分解因式22I. 4x y 4x + 2y223. m 2n+ m 4n225. s t + 3s 3t7. 4a2 b

11、2 2a b229. x 2x + 1 y2 2 2II. 4x 4xy + y 16z2213. x 4y + 4y 1222. b a + ax + bx224. p+ 3q 9q + p226. x 2x + 2y y8. 9a 6a + 2b b2 2 210. m + 2mn+ n p2 2 212. a b 2bc c22214. x y z 2yz(一)复习 把下列各式分解因式2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1)a 2-2a+2b-b 2 (2)4m 2-9n 2+3n-2m (3)m 2-2mn+n2-4c 2 (4)a 2-b 2+2bc- c 2 提问：什么样的多项

12、式可以用分组后运用公式法？(二)新课讲解 1例题与练习 例 7 把下列各式分解因式2 2 2 2 2 2 2 2(1)(x -4y )+(4y-1) (2)(x +y -z ) -4x y 分析：在第( 1)题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因 此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得x2- (4y2-4y+1) ,此题可用分组后直接用公式法分解因式。在第( 2)题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项 式因式不能再分解为止。2 2 2 2 2 2 解： (1)(x 2-4y 2)+(4y-1)= x 2-4y 2+4y-1= x 2

13、- (4y 2-4y+1) 22=x (2y-1)=x+(2y-1)x-(2y-1) =(x+2y-1)(x-2y+1)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2) (x 2+y2-z 2) 2-4x 2y2=(x 2+y2-z 2)2-(2xy)22 2 2 2 2 2=(x+y -z )+2xy(x +y -z )-2xy2 2 2 2 2 2=(x2+y2-z 2+2xy)(x 2+y2-z 2-2xy)2 2 2 2 2 2=(x2+y2 +2xy)-z2(x 2+y2-2xy)-z22 2 2 2=(x+y)2-z 2(x-y)2-z 2 =(x+y)+z(x+y)-z(x-y)

14、+z(x-y)-z =(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)练习：把下列各式分解因式2 2 2 2(1) (2ab-a )+(c -b ) (2) (ax+by) +(bx-ay) 2 2 2 2 2 2(3) 4a 2b2-(a 2+b2-c2)2例 8 ：把下列多项式分解因式(1) x3 2 2 3 3 2 2+x y-xy -y (2)a -ab +4abc-4ac分组分别提公因式 提公因式 运用平方差公式 相同因式写成幂的形式先提公因式分组 运用完全平方公式 运用平方差公式 整理解： (1)x 3+x2y-xy 2-y 3=(x 3+x2y)-(xy 2+y3)22=

15、x (x+y)-y(x+y)22=(x+y)(x2-y 2)=(x+y)(x+y)(x-y)2=(x+y)(x-y)提问：还有其他解法吗？3 2 2 2 2 2(2) a -ab +4abc-4ac =a(a -b +4bc-4c )2 2 2 =aa2-(b 2-4bc+4c 2)=aa2-(b-2c) 2=aa+(b-2c)a-(b-2c) =a(a+b-2c)(a-b+2c)练习：把下列各式分解因式2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3(1)a b +x y-a x -b y (2)x -x y-xy +y(3) x 2y-y 3-2xyz+yz 2(4)a3+a2-a-1 3作

16、业：把下列各式分解因式3 3 2 2(1)x y -x y -xy+1 (2)(2xy-a 四、课外作业2 2 2 2 2 2 2 2 2 )+(x +y ) (3)(x -y +z ) -4x z把下列各式分解因式1. 3ax + 5ay 6bx 10by4. 4 x2 2xy y22 2 2 27. a b a 2ab b2210( m2 4n2)( 4n 1 )222. a b 4a 4b2 2 2 25. ax ay + a x a y32238. x x y + xy y 9.2 2 2 2 2 211 ( a m n ) 4mn223. m 4mn+ 4n 46. a3+ 2a2b

17、 + ab2 aax by)2( bx ay)分组分解法(第五教时)(一)复习1. 什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？2. 把下列多项式分解因式2 2 2 2 2(1)x +2x+nx+2n (2)x -y +2yz-z (3)x +px+qx+pq(二)新课讲解1. 引入2(1) 把 x 2+(p+q)x+pq 分解因式 分析此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。222x +(p+q)x+pq=x +px+qx+pq=(x +px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q)另外：我们知道 (x+p)(

18、x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq, 于是有2x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)(2) 特点式子 x2+(p+q)x+pq 的特点为：( 1 )二次项的系数是 1。( 2 )常数项是两个数之积。(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和。 说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。2. 应用举例例：把下列各式分解因式(1)x 2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15分析：(1 )x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1 X 2,次项系数3=1+2。这是一个x2+(p+q)x+pq 型式子。(2) x2-7x+6 的二次项系数是 1,常数项 6=(-1) X (-6) ,一次项系数 -7=(-1)+(-6) 。这 也是一个 x2+(p+q)x+pq 型式子。(3) x2+x-2 的二次项系数是 1,常数项 -2=(-1) X 2,一次项系数 1=(-1)+2 。这也是一2个 x2+(p+q)x+pq 型式子。2一个 x2+(p+q)x+pq 型式子。解：(1) 因为 2=1X 2，并且 3=1+2，所以2x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2) 因为 6=(-1) X (-6) ，并且 -7=(-1)+(-6) ，所