数列求和专题.

1、中高考培优专注品牌 *教育五环教学案 日期：授课人：学生：科目：数学 今日格言：柏拉图说： 数学是一切知识中的最高形式” 课 题 数列求和专题 教 学 目 标 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公 式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题2通过分组、错位相减等转化为 等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题. 知 识 占 八、 及 重 难 占 八、 梳 理 1 .数列求和的方法技巧 (1) 分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，

2、可转化为几个等差、等比数 列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并. (2) 错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an n的前n项和，其中 an , bn分别是等差数列和等比数列. (3) 倒序相加法 这是在推导等差数列前 n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列 (反序),当它与原数列相 加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和这种 1 111 方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中an若为等差

3、数列，则一Jr . anan + 1anan+1 d an + 1 丿 常见的拆项公式： 一 =1-亠; n(n + 1 ) n n+ 1 1=卡-)- n(n + k) kn n+ k，； 1 1 1 =一（ 2n 1 2n + 12 2n 1 1 2n + 乔治=k(戶-風 考点一分组转化求和法 【例1】等比数列an中，a1，a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a2, a3中的任何两个数 不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1) 求数列an的通项公式； 考 占 八、 训 练 若数列bn满足：bn=

4、an+ ( 1)n|n an,求数列5的前n项和Sn. 抹兖卅汁在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列 进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组 求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并 为一个公式. 教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂!1 中高考培优专注品牌 唾；比 l冬l I设数列an满足 ai= 2, a2+ a4= 8，且对任意 n N，函数 f(x)= (an an + 1+ an+ 2)

5、x+ an+icos x an+ 2sin x满足f 尸 (1) 求数列an的通项公式； 若bn = 2an+舟)求数列bn的前n项和Sn. 考点二错位相减求和法 【例2】设等差数列 an的前n项和为Sn,且S4= 4S2, a2n= 2an+ 1. (1) 求数列an的通项公式； (2) 若数列bn满足学+号+ = 1 2i, n N*，求bn的前n项和Tn. 探究提记 错位相减法求数列的前 n项和是一类重要方法在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数 列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 变式训练乙设数列an满足a1 = 2 , an+ 1 - a

6、n= 3 教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂!5 (1)求数列an的通项公式； 令bn= nan，求数列bn的前n项和Sn. 考点三裂项相消求和法 n* 【例3 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn= an +1 4n 1, n N且a2, a5, ai4构成等比 数列. (1)证明：a2= . 4ai + 5; 求数列an的通项公式； 证明：对一切正整数 anan+1 n,有丄+丄+ + a1a2a2a3anan+1 2 採究捋T数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变 形，转化为

7、与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解.(2)已知数列前 n项和Sn或者前n项和Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用an= F(n= 已知数列递推式求 Sn Sn-1(n 2 ) 通项，主要掌握 “先猜后证法”“化归法” “累加(乘)法”等. 变式训找、 已知x, ；x , ,3(x 0)成等差数列.又数列an(an0)中，a1= 3,此数列的前n项和为Sn,对 中高考培优专注品牌 于所有大于1的正整数n都有Sn= f(Sn-1). (1)求数列an的第n + 1项； 1 1 若 bn是，的等比中项，且 Tn为 bn的前n项和，求Tn. *an+1 an

8、:规律总结 1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键若是等差数列或等比数列，则直接 运用公式求解，否则常用下列方法求解： Si n= 1 (1) an=厂 |Sn SnT n2 j (2) 递推关系形如an +1 an= f(n)，常用累加法求通项. (3) 递推关系形如a1= f(n),常用累乘法求通项. an (4) 递推关系形如“an+1 = pan+ q(p、q是常数，且p丰1, q丰0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定 系数法可设an +1+匸p(an+皿经过比较，求得 入则数列an+ :是一个等比数列. (5) 递推关系形如 “an+1 = pan+

9、qn(q, p为常数，且pz 1, q丰0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两 边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn + 1转为用迭加法求解. 2 .数列求和中应用转化与化归思想的常见类型： (1) 错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解. (2) 并项求和时，将问题转化为等差数列求和. (3) 分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解. 提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+ 1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及 两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零. 3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题

10、的能力其中，建立数列模型是解决这类问题的核心， 在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是， 通过归纳得到结论，再用数列知识求解. 中高考培优专注品牌 押题精练 1. 在一个数列中，如果？ n N*，都有anan +ian+ 2= k（k为常数），那么称这个数列为等积数列，称k为这个数 列的公积.已知数列an是等积数列，且 a1= 1， a2 = 2，公积为8，贝U a1 + a2+ a3+ a12=. 2. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感.某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an, 已知a1= 1, a2= 2，且an

11、+2- an= 1 + （几n N）,则该医院30天入院治疗甲流的人数为 . 3. 已知公差大于零的等差数列 an的前n项和Sn,且满足：a2 a4= 65, a1 + a5 = 18. （1）若 1i21 , a1, ai, a21是某等比数列的连续三项，求i的值； 设bn = n 2n + 1 Sn 是否存在一个最小的常数 m使得 B+ b2+ bn0, S16 1)且a1 = 9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n 6|0)，求数列bn的前n项和Sn. 1 1 1 11. 将函数f(x) = sin 4X Sin jx+ 2 n ) 2(x+ 3 n在区间(0,)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列 an(n N*). (1)求数列an的通项公式； 设bn= 2 an，数列 bn的前n项和为Tn，求Tn的表达式. 3* 12. 已知首项为2的等比数列an的前n项和为Sn(n N)，且一2&, S3,