求通项公式专题

1、通项公式求解方法大全：我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。一 一 -1,- 1111. 一例1.已知数列3,5 - ,7 ,9 ,试写出其一个通项公式481632-/1an =2n 1 * )(答：例2、1 3 7 15 31一, ， , 一 ,一2 4 8 16 32(2) -1,31313_ , _ , ,，一,23 45 65 3 7(3)，,，,一,5 2 11 7 17(4)2,5,10,17,26,;1 111 2,2 3, 3 4,4 5观察数列

2、的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列 2, 4, 8, 16, 32,，0 n可用项数表示为2，分子是数列1, 3, 7, 15, 31,，每一项比对应的分母少1,可用_ 2n -1 . , 2n _1an = _tn- ;项数表本为21,所以，所求的数列的通项公式是22-1 2 12-1 2 12-1 2 1 ., ,(2)这个数列即：123456其结构特征是：分母与项数相同；分子是2加上或减去1,即2+(1)n；各项的符号为负、正相间，即为(一1),所以，所求的通项公式是“(“*;(3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：3 4 5 6 7n 2一，一，一,一,

3、an =；5 8 11 14 17 分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为3n+2-可编辑修改-(4)每一项都是项数的平方加上21,其通项公式为an n 1；an(5)通项公式是(-1)n .n(n 1)；(6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：a2 - a1二 2； a - a2 = 3； a4 - aan)=12 34 a5 - a4 5, an - an 二n.an =a1(a2 - a1) (a3 -a2) (a4 a3)(an二、递推公式法类型 1 an 1 =an - f(n)解法：把原递推公式转化为 an+-an = f (n),利用累加法(逐差相加法)求解。例

4、1,已知an 满足an+=an +2 ,而且a1 =1,求通项ano解an是首项为1,公差为2的等差数列, .an =1 2 n -1 =2n -1一 一，,一1例2,已知九中，21=2a/=，+4n2 -1an。解 由已知可得anean =4n2 -12 2n -1 2n 1 令门=1,2,3,川，61),代入后(n -1介等式迭加，即an =a1,a2 a 厂|a一a2ihan -an厂ian-an11-1 . !.!川.2 il 、 33 5 2n-5 2n-3 2n -3 2n -14n -3-o4n -2例3.在数列an中，a1=1 , an-an= n-1 (n=2、3、4),求a

5、n的通项公式。解：:n =1时，a1 =1n 之 2 时，a2 -a1 =1a? a2 2a4 _a3 =33这 n-1 个等式累加得：an_a1=1 + 2+ + (n-1)=m22n -n 22(n n ).an -an=n -1|, n(n -1)n-n2.故an = - + a1 = 且a1 = 1也满足该式 ，an22类型2an 1 = f(n)an解法：形如-an- = f (n) (n=2、3、4),且 f (1)+ f (2) + .+ f (n - 1)可求，则用累乘an 1法求an。一 1. 一例1、 已知an 满足an + =- an ,而a1 =2 ,求通项an。2a

6、,1解 ：包=是常数，an2二an是以2为首项，公比为1的等比数列。2an =2例2、在数列an中，a1 =1 , %书=门%,求an。解：由已知得 a = n ,分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即 ana2 a3 a4.a1 a2 a3an = (n -1)!故 an = (n-1)! a1a-=1 x2x3x 沏-1)=(n-1)!所以时,an 4且 a1=0!=1 也适用该式，an=(n1)! (nn).例3、在数列an中，a1 =2,an+=san,求通项公式an。 n解法一：an =nan1n -1解法二：由. annn -1nn -1nn -1二 2nn

7、-1 an -2n -1nt2n-1n -2n -1nt2n -2 an -3 n -2 n -3 n -2 n-n _33 a2n 1- anan 1 二an nan ,2 n -1anan1an2a2ca1 二an 1an2an321n n -1 n - 2n -1 n -2 n - 322 =2n1类型 3 an4 = pan+q （其中 p, q 均为常数，（pq（p 一1）0 0）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an书-1 = p（an -t）,其中t =-q,再利用1 - p换元法转化为等比数列求解。例 1、 数列 q 中，3 =1 ,对于 n 1（n w n*）有an

8、=3an、+2 ,求通项 an。解法1由已知递推式得 an +=3an+2,an =3an二十2两式相减得an 1 . -an = 3 an -an 1因此数列%+%是公比为3的等比数列，其首项为 a2-3=（3父2+2卜1=4n -1an 1=4 37%1 =3，2,. 3an 2an =4 3n，.an =2 3n 1 -1解法2上法得an+-an是公比为3的等比数列，于是有a2 - a1 =4,a3 - 2=4 3,为一包二4 3 jh ,an -“工二4 3把n -1个等式相加得-4 1-3nan -a =4 1 3 32 hl 4-13-2 3n-1an =2 31。解法3设递推式a

9、n =3an,+2化为a0t=3（a0工t ）整理比较得2 = 2t,即t = 一1于是得an 1 =3为/1所以an +1是公比为3的等比数列，其首项为 3+1 =2+1 =2 3n-,即 a。=2 3n-1。解法 4 an =3an a 2二3 3anz 22 =32an 2 3 2 2=32 3an 金 2 3 2 2 =33an 2 33 2 3 2 2= w=3n1ai - 3n- 2 3nl 2 3n- 2 hi 33 2 3 2 2*n 1=34 2 二2 3nl -13 -1评注解法1、2、3称为构造法，但法1与法3构造出的等比数列不同，各有千秋；解 法4称为迭代法，对很多递推

10、式求通项公式都适用，应认真理解掌握。类型 4 ay = pan+qn (其中 p , q 均为常数，(pq( p - 1)(q-1) # 0)。 (或an+ = pan+rqn淇中p, q, r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn*,得： 解 =ean+，q q q q引入辅助数列bn （其中bn =粤），得：bn+ =-bn+再待定系数法解决。 qq q.511 n 1 .一例 1、已知an中，3 = ,an + =an+1一，求通项 an63211 n 1解在an4=an+| i两边同乘以2n+得322an + =2m2nan +1 ,令 ）=2地3皿2贝u bn 1

11、一0 =- bn 一口3类型5递推公式为an金=pan+qan （其中p, q均为常数）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为an 2 - san 1 =t(an 1 san)s +t = p其中s, t满足 h .st = -q解法二(特征根法)：对于由递推公式 anj2 = pan.1 +qan, a1 =o(,a2 = p给出的数列an,方程x2 px q =0 ,叫做数列qn的特征方程。若xi ,x2是特征方程的两个根，当“ # x2时，数列 a的通项为an = ax；。+bxn，其中a, b由a1 =u,a2 = p决定(即把 一.一 、- n 1 _ n 1ai,a2, xi

12、, x2和 n =1,2 ,代入 an = axi - + bx21,得到关于 a、b 的万程组)；当 x1 = x2时, 数列 s的通项为an =(a + bn)x1n-,其中a, b由a1 =u，a2 = p决定(即把a1,a2,x1 ,x2 和n =1,2，代入an =(a + bn)x1n,，得到关于 a、b的方程组)。方法：an书=pan+qan 变形为 an丰-aan+ = p(an+van),即 an半=(6 + p 同一部an ,若=p有解，解得,p ,于是数列a十-aan是公比p为的等比数列，即转化为前:二q面的类型，从而达到求解的目的。例1、已知数列an 中,a1 =1,a

13、2 =2a?214-an+ +-an,求 33an：二3解：由3故 an 2 = 2a31 八,+ +3an化为 an+ -an +所以数列；a的等比数列，首项是所以a。1 -a所以an = a一 an。广电an2 厂 2ih2? 一 司,3hi -11,3-2=1+w；j 1i 3j类型6.递推式为s = f (n)。例1、在数列an中，sn表示其前n项的和，且&=n2,求通项4。解 当 n =1 时，& = s =1。当 n 22 时，an =sn -sn- = n2 (n 1)2 =2n 1,又 a =2 父1 - 1 =1 ,故 an =2n -1类型7递推公式为sn与an的关系式。（

14、或sn = f （烝）s （n = 1）解法： 这种类型一般利用an =与sn -snl （n2）an =sn sn= f（an） f（an）消去 & （n 至 2）或与 sn = f （snsn）（n 之2）消去 an进行求解。例1、在数列an中，sn表示其前n项的和，且sn=23an,求通项an。解 由sn =2 3an =sn=2-3an工 两式相减得s -san -3(an -anj)(n _2)a 3即 4an =3an l -： 二 (n - 2)3=+为公比的等比数歹u,4一 am 41所以数列an是以ai =为首项，以 2故彳导an =1 m e | 。24类型 8 an 1

15、=pan an b (p =1、0, a : 0)这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，an+ +x(n +1) + y = p(an +xn + y),与已知递推式比较，解出x,y ,从而转化为gn +xn+y)是公比为p的等比数列。例 1 数列 gn ： a =4,an =3an4 +2n 1,(n 2 2),求 an.解：设bn =an + an +b,则an = bn an b ,将an, an二代入递推式，得bn - an -b =3卜-a(n -1)-b12n -1 =34-(3a-2)n -(3b - 3a 1):a=3a-2 _ (a=1b =3b -3a 1 b =1二取b

16、n =an +n +1 (1)则 bn =3bn,又 b1 =6 ,故bn =6m3n4=2父3n代入(1)得 an=2m3nn1说明：(1)若f(n)为n的二次式，则可设bn = an + an2 + bn +c ;(2)本题也可由an =3an4+2n-1, anq =3an1+2(n-1) 一1( n 之3 ) 两式 相减得an -an* =3缸 1-anq) +2 转化为bn七=pbn+qbn 求之.类型 9 an 1.二 pa； （p . 0,an 0）解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为外4=pan +q ,再利用待定系数法求解。例1、 在数列a；中，ai=3,a；+=a2,

17、求通项公式a；。解 由题意知数列a；中的各项均为正数，即 an 0,对等式a；4 = a；取以3为底的对数，2 . . logo a _,.得log3 a；牛=log3a； =2log 3a；,则有 =2 ,进而可知数列log 3 a；是以log3 3=1为首log3 a；项，以2为公比的等比数列，贝ulog3a； =1父2；工=2；工，故a； =3。类型10a； 1 =f（；）a；g（；）a； h（；）解法：这种类型一般是等式 两边取倒数后换元转化为a；书=pa； +q 。2a , 一例1、在数列a；中，当a =1,a；4=a时，求通项a；。a；2由 a； 1 =2 a；a；21a； 1a；

18、2 j 12 2a； -2 1a；所以1是以工=1为首项，以1为公差的等差数列。 a,a1211；1 口口2所以 =1 + （； 1）父一=,即 a； =a；22； 1评注：在递推关系a；1=；（a, b,c,均为常数），若a=c ,对其取倒数后得到等差数列；ba； c11若a #c ,取其倒数后得到一个新的递推式 =m + ；,其解法于后。a； 1a；a 例2、已知数列a；中，其中a1 =1,且当；或 时，a； =-；,求通项公式a；。2a；1a111 解 将a；=一； 两边取倒数得： 一- =2,这说明一是一个等差数列，2a； 4 1a； a； 4a；、，一 i 1，1r1首项是 工=1,

19、公差为2,所以，=1十（；1）父2=2；1,即a；=aa；2； -1类型11二 pa； qra； hpa q ,解法：如果数列a；满足下列条件：已知 a1的值且对于；=n,都有a；+=上-（其 ra； h中p、q、r、h均为常数，且ph。qr,r = 0,a1。h）,那么，可作特征方程 x = px q rrx hx、x21当特征方程有且仅有一根 xo时，则是等差数列；当特征方程有两个相异的根an -xo |an -x1 一， 一时，则a-1是等比数列。an -x2类型12an 2aaw不动点法can dan 2对于数列aan bcan +d a =m,nu n (a,b,c, d是常数且 c

20、=0,ad bc#0)其特征方程为ax bx = - 2cx + d ,变形为 cx +(d -a)x-b = 0 .若有二异根_c an一 can-p （其中c是待定常数），代入a12的值可求得c值.an-cta 一 -这样数列lan 一 pj是首项为a1公比为c的等比数列，于是这样可求得 an .若有二重根d=p ,则可令an由一0an -：-c（其中c是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值.这样数列an 一，是首项为al公差为c的等差数列，于是这样可求得 an.例1.已知数列an满足a1 =2,anana 2(n2),求数歹i%的通项工 .2an1解：其特征方程为x=m化简得 2x2-2= 0,解得 x, =1,x2 = -1 ,an 1 -1an 1 t=c .3an 1由 a1 =2,得 a?a -1,数歹i是以科+1 j1 ,为公比的等比数列3n 1 a_d j. j an 1 33an3n -(-1)n3n (-1)n例2.已知数列an满足& =2,an42an-14an 6(n),求数列an的通项an .解：其特征方程为2x-1x 二 ,4x 6即4x2 + 4x+1 0解得入1x2 = -，由 a1 =2,得 a2314anana +1 an 2,ai2=一 (n -1