5.椭圆两垂直半径的性质

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)圆锥曲线两垂直半径的性质圆锥曲线上两点p、q满足opoq的母题 椭圆c:=1(ab0)上两点a、b满足oaob,则直线ab恒过定点m(,0),由此生成一列高考试题,为此,我们构成母题如下,并着意关注由母题生成子题的方向.母题结构:直线l与椭圆c:=1(ab0)相交于a、b两点,oh直线l于点h,则oaob等价于:原点o到直线ab的距离d=;直线l与圆x2+y2=相切于点h;=.母题解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab:xcos+ysin=r,代入=1得:(a2cos2+b2sin2)x2-2a2rxcos+a2r2-a2b2sin2=0x1

2、+x2=,x1x2=y1y2sin2=(r-x1cos)(r-x2cos)=r2-r(x1+x2)cos+x1x2cos2=;由oaob=0x1x2+y1y2=0(a2r2sin2-a2b2sin4)+(b2r2sin2-a2b2sin2cos2)=0r=原点o到直线pq的距离d=;直线l与圆x2+y2=相切于点h;=oaob. 1.线段的度量关系 子题类型:(1991年全国高考试题)己知椭圆的中心在坐标原点o,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于p和q,且opoq,|pq|=,求椭圆的方程.分析:设椭圆方程的标准形式,然后与直线方程联立消去y,得到两根之和、两根之积的关系式,再由巳知

3、条件得关于a,b的方程组,求a,b的值.解析:设p(x1,y1),q(x2,y2),椭圆c:=1(ab),把y=x+1代入=1得:(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0x1+x2=-,x1x2=y1y2=(x1+1)(x2+1)=,|pq|=;由opoq=0x1x2+y1y2=0+=0a2+b2=2a2b2;又由|pq|=a2+b2-1=a2b2a2=2,b2=;或a2=,b2=2椭圆的方程为x2+3y2=2,或3x2+y2=2.点评:设p为椭圆c:=1(ab0)长轴上的一个动点,过p点斜率为k的直线交椭圆于a、b两点,若oaob,则|ab|=的值仅依赖于k而与p无关. 2.直线与圆

4、相切 子题类型:(2009年山东高考理科试题)设椭圆e:=1(a,b0)过m(2,)、n(,1)两点,o为坐标原点.()求椭圆e的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a、b,且？若存在,写出该圆的方程,并求|ab|的取值范围;若不存在,请说明理由.分析:第()问是常规问题,第()问与圆的切线有关,是母题的直接子题,求|ab|的取值范围,可用上题点评中给出的弦长公式.解析:()将两点m(2,)、n(,1)的坐标代入椭圆e:=1得:椭圆e:=1;()设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab:xcos+ysin=r,代入=1得:(2cos2+sin2)x

5、2-4rxcos+2r2-8sin2=0x1+x2=,x1x2=y1y2sin2=(r-x1cos)(r-x2cos)=;由oaob=0x1x2+y1y2=0|r|=原点o到直线pq的距离d=存在圆x2+y2=满足题目条件;设a(rcos,rsin),b(rcos(900+),rsin(900+)=b(-rsin,rcos),则(rcos)2+2(rsin)2=8,(-rsin)2+2(rcos)2=8r2=,r2=|ab|2=r2+r2=+=,12|ab|,2.点评:通过“椭圆c:=1(ab0)上两点a、b满足oaob的充要条件是直线ab与圆o:x2+y2=相切”,可以构造:已知椭圆c及oa

6、ob,求圆o;已知oaob及圆o,求椭圆c. 3.构造特殊问题 子题类型:(2008年课标高考试题)在直角坐标系xoy中,椭圆c1:+=1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2,f2也是抛物线c2:y2=4x的焦点,点m为c1与c2在第一象限的交点,且|mf2|=. ()求c1的方程;()平面上的点n满足=+,直线lmn,且与c1交于a、b两点,若=0,求直线l的方程.分析:第()问是常规问题,第()问是母题的逆向问解析:()由抛物线c2:y2=4xf2(1,0)a2=b2+1;设m(x0,y0),由m在c2上|mf2|=x0+1=x0=m(,),代入+=1+=14b2+24a2=9a2b24

7、b2+24(b2+1)=9(b2+1)b2b2=3a2=4c1:+=1;()由=+四边形mf1nf2是平行四边形直线lmnlomkl=直线l:y=(x-m),代入椭圆方程得:9x2-16mx+8m2-4=0;设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=;由=0x1x2+y1y2=0x1x2+6(x1-m)(x2-m)=0m=直线l:y=(x-),或y=(x+).点评:通过 “椭圆c:=1(ab0)上两点a、b满足oaob的充要条件是点o到直线ab的距离d=”,可以构造:限定直线ab过定点,求直线ab的斜率;限定直线ab的斜率,求直线ab的方程. 4.子题系列:1.(2014

8、年全国高中数学联赛天津预赛试题)设a,b是椭圆+y2=1上的两动点,o为坐标原点,且oaob,又设点p在直线上,且opab,求|op|的值.2.(2010年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)设a,b是椭圆x2+5y2=1上的两动点,且oaob,o为坐标原点,求|ab|的最大值和最小值.3.(2009年全国高中数学联赛试题)椭圆=1(ab0)上任意两点p,q,若opoq,则乘积|op|oq|的最小值为 .4.(2012年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设p为椭圆+=1长轴上的一个动点,过p点斜率为k的直线交椭圆于a、b两点.若|pa|2+|pb|2的值仅依赖于k而与p无关,求k的值.5.(2009年

9、山东高考文科试题)设mr,在平面直角坐标系中,己知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点m(x,y)的轨迹为e. ()求轨迹e的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;()己知m=,证明存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a、b,且oaob(o为坐标原点),并求该圆的方程;()己知m=,设直线l与圆c:x2+y2=r2(1rb0)的左、右焦点分别为f1、f2,a是椭圆上的一点,原点o到直线af1的距离为|of1|. ()证明:a=b;()(理)设q1、q2为椭圆上的两个动点,oq1oq2,过原点o作直线q1q2的垂线od,垂足为d,求点d的轨迹方程;

10、 (文)求t(0,b)使得下述命题成立:设圆x2+y2=t2,任意点m(x0,y0)处的切线交椭圆于q1、q2两点,则oq1oq2.7.(2010年陕西高考试题)如图,椭圆c:=1的顶点为a1,a2,b1,b2,焦点为f1,f2,|a1b1|=,=2. ()求椭圆c的方程;()设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于p点、与椭圆相交于a,b两点的直线,|=1,是否存在上述直线l使=1成立？若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.8.(2014年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知焦点在x轴上的椭圆e:+=1內含圆c:x2+y2=,圆c的切线与椭圆e交于点a,b,满足. ()求b2的值; (

11、)求|ab|的取值范围.9.(2004年天津高考试题)椭圆的中心是原点o,它的短轴长为2,相应于焦点f(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点a,|of|=2|fa|,过点a的直线与椭圆相交于p、q两点. ()求椭圆的方程和离心率;()若=0,求直线pq的方程;()设=(1),过点p且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点m,证明=-.10.(2008年辽宁高考试题)在直角坐标系xoy中,点p到两点(0,-)、(0,)的距离之和等于4,设点p的轨迹为c,直线y=kx+1与c交于a、b两点. ()写出c的方程;()若,求k的值;()若点a在第一象限,证明:当k0时,恒有|. 4.子题详解:1.解:

12、|op|=.2.解:设a(rcos,rsin),b(rcos(900+),rsin(900+)=b(-rsin,rcos),则(rcos)2+5(rsin)2=1,(-rsin)2+5(rcos)2=1r2=,r2=|ab|2=r2+r2=+=,.3.解:设p(rcos,rsin)q(rcos(900+),rsin(900+)=q(-rsin,rcos)r2()=1,r2(+)=11=(rr)2()()=(rr)2+(-)2sin22(rr)2+(-)2=(rr)2rr.4.解:设a(x1,y1),b(x2,y2),直线ab:y=k(x-t),由(16+25k2)x2-50k2tx+25k2t2-400=0x1+x2=,x1x2=y12+y22=32-(x12+x22)|pa|2+|pb|2=(x1-t)2+y12+(x2-t)2+y22=(x12+x22)-2t(x1+x2)+2t2+32=(k2+