2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

1、2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考 上海市光明初级中学 刘颖颋近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。背景1：如图点P是正方形ABCD对角线上任意一点。求证：PAPC证明：四边形ABCD是正方形ABCB，ABPCBP又BPBPABPCBP PAPC背景2：接上题，以P为圆心，以PA为半径画弧交AB（或AB的延长 线）于点Q。求证：PQPC证明：PAPQ13又ABPCBP 12123而：3424又QBCQPC PQPC当点Q在AB的延长线上时，23；45BQHCPHQPC PQPC背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方

2、形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。求证：PQPC证明：过P作MN平行于BC交AB、CD于M、N1QPC2PNC12又MBPMPMBNC而QMPPNCQMPPNC PQPC 从上述的几个背景看出，当QPC时，一定有PQPC，即；但反过来当，即PQPC时，因为有PAPC时APC不一定成立，所以QPC不一定能够成立。下面我们将背景弱化：背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。求证：证明：易证：QMPPNC背景5：如图，矩形ABCD的ABa，ADb，点P在对角线

3、BD上运动，点Q在射线AB上运动，若，试探索a，b满足什么条件时，会有PQPC探索：正常情况下，QMPPNCQPC PQPC但若点Q关于MN的对称点也在射线AB上时，如同上述背景一样，连P，PC就不一定成立了。这里：；两式相乘：从这两个背景看出，当QPC时，一定有；但反过来当时，QPC若遇到ba时就一定能成立。背景6：如图四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC，若将一个直角顶点放在对角线BD上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与腰AB（或AB的延长线）交于点Q。求证：证明：易证：QMPPNC背景7：如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC， ABa，BCb，AD=x,点P在对角线BD上

4、运动，点Q在射线AB上运动，若，试探索x与a、b之间应该满足什么条件时，一定会有PQPC 探索：正常情况下，QMPPNCQPC PQPC但若点Q关于MN的对称点也在射线AB上时，如同上述背景一样，连P，PC就不一定成立了。所以这里我们应该关注当点“最低”时点P的位置，其实无论AD边的长度如何要使得点的位置“最低”，那么点P的位置只能与点B重合。 这时DPPQC，且PPQ又，而当AD时，在AB、BC都是定值的情况下，PQ也就变大了，即点就不在射线AB上了（而是在射线BA上了），那样PC就一定成立了所以结论就是当AD时，PC一定成立09上海市中考数学压轴题：25（本题满分14分，第（1）小题满分4

5、分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）”时，一定有QPC第二步：做第一小题时，我们知道ADAB时一定有PBPC，又因为有BAD又BC3。出

6、题者的本意是想给同学一个QPC的提示的。但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问题，第一小题“铺垫”的目的没有很好地达到。第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个，所以我们还要对这个图形单独地做个分析：这是的ADB和PQC都是345的直角三角形，因为BC2AD，也容易证明DBC为等腰三角形，DCDB等等。第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x等于多少？y存在还是不存在？要注意这里的“点P为线段上的动点，点在线段上”，所以有三个图： 在图1中x0，y是存在的，在图3中而，这时y也是存在的。所以x的取值范围应该是：。在图2中我们容易知道：第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点在线段的延长线上时、如图10所示”两个明确条件，所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了。最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所有的背景都在初二几何证明部分中出现过），注重双基，不偏不怪，也有一定的分析问题、解决问题