对量子力学中表象及变换的理解

1、 对量子力学中表象及变换的理解摘 要： 表象问题是量子力学中一个重要而基本的问题，从表象的定义出发，把表象变换与数学上几何坐标和线性代数进行类比，并从物理学角度来理解表象及其变换，表象理论是量子力学的基本内容之一，量子力学难以理解，一是由于它的描述方法的特殊，另一方面是在于表象及其表象变换的抽象，波函数的叠加原理是表象及其表象变换的基础，要正确理解表象就要求我们深入理解波函数及其波函数的叠加原理。关键词： 基矢；希尔伯特空间；波函数；态叠加原理；表象；表象变换1 表象的引入并给出表象定义1.1 表象的引入一般文献中常用到坐标表象，动量表象，能量表象，粒子数表象等词，实际上涉及到态的表象，力学量

2、的表象，应注意所用的表象的意义。量子力学与经典力学在描述物理体系的方法上截然不同，其根本原因在于微观体系的运动规律具有不确定性和统计规律，德布罗意的波粒二象性学说引导人们找到了描述微观体系状态的恰当方法，根据统计诠释，波函数作为一个复合函数本身并没有物理意义，如果知道了波函数，粒子处于空间某点的几率，力学量的平均值均可求得，因此说波函数完全描述粒子体系的运动状态，量子力学的另一种基本假设满足态叠加原理：（1）是体系的可能态， 为发现体系处于相应的本征态的概率满足：此式的物理意义是量子体系的一般状态是所有本征态的线性叠加。某一力学量的本征函数系所构成的希尔伯特空间就构成了这一力学量的表象，在量子

3、力学中研究不同问题需要采用相应的表象，就如同经典物理学中适当选取坐标系研究具体问题一样，表象变换就是hilert空间中的“坐标变换”，是量子力学中一个最基本问题。1.2 表象的定义关于表象的定义有许多种，比如用能量就是能量表象，用动量就是动量表象，这种说法比较通俗易懂。假设体系的状态在坐标表象中用波函数 描写，而知道动量的本征函数组成完全系，由量子力学展开公式得 ，设 是归一化波函数，则由归一化条件很容易证明 ，是在 所描写的状态中，测量粒子位置，所得结果在 范围内的几率；而 是在同一状态中，测量粒子动量，所得结果在范围的几率，由上可见，当 已知， 就完全确定；反之，已知， 就完全确定，所以，

4、 描写的是同一状态是这个状态在坐标表象下的波函数，而 是同一状态在动量表象的波函数。2 关于表象及其变换的理解在经典物理中，不同坐标系之间可以互相变换，例如，直角坐标系（x，y，z）和球坐标系之间的变换关系：；而量子力学中不同表象间也可以进行相互变换，如某一力学量的表象可以表示一个n行1列矩阵，而力学量在某一具体表象下对应于某个矩阵，这是一个厄米矩阵，如某一力学量在一自身表象下是由该力学量本佂值所构成的对角矩阵，力学量在不同表象下的矩阵形式是不同的。2.1 从几何坐标的角度来理解表象及其变换我们知道量子态可以在各种表象中表示，只需将该态波函数用该表象的本征函数系展开，在量子力学中，把状态 看成

5、一个态矢量，选择一个特定的q表象，就相当于选取一个特定的坐标系，在量子力学中， 的本征函数有无限多，称态矢量所在的空间是无限维的希尔伯特空间，我们知道在矢量中，一个矢量在不同坐标系中的展开可以相互转换，而量子力学则借助么正矩阵来实现不同表象间的变换。量在两个基底下坐标间的关系x=my。2.2 从物理的角度来理解表象及其变换在经典力学中，描述一个物体力学性质的物理量，无非是它的位移、速度、加速度、动量和能量等，我们常用坐标来表示质点的位置，为方便起见，设物体在一维空间中运动，某时刻位于x处，由于经典力学遵循牛顿运动定律，这是一种精确的因果关系，即只要给定宇宙中每个粒子的初始速度，它在以后所有时刻

6、的行为，就都由牛顿运动定律确定，所以，若已知 ，只要通过微分 和 ，就可以得到其它精确的物理量，当然，如果已知速度 ，加速度 ，动量 和动能 等，实际上，经典力学通过微分积分这样的关系，实现了物理量之间的相互转化。而量子理论与经典理论暗示的物质本性之间有着本质的差别，尤其是微观粒子的波粒二象性，使得量子理论中完全决定论不再适用，因此，在量子力学中，物理体系的表示法是抽象化的，表象就是表示物理体系状态的函数，并且这个函数用什么物理量来表示的问题，同时在量子力学中，各物理量之间也存在着一定的关系，使得我们也可以用其它的物理量来表示体系的状态函数这就是表象变换，量子理论的不完全确定性，使得量子态并不

7、像经典力学那样具有确定物理量，如动量、坐标等，而只能给出力学量的几率分布。3 总结量子力学之所以难理解，一方面是由于它的描述方法的特殊，导致许多结论与我们的经验常识严重抵触，另一方面就在于表象及表象变换的抽象，波函数的叠加原理是表象及表象变换的基础，要正确理解表象就要求我们深入理解波函数及波函数的叠加原理，选择一种表象，就相当于选择了一组基矢，由于微观粒子具有波粒二象性，物理量的可测量值只作为一种潜在的可能性而存在，这使得经典理论的完全决定性不再适用，而只能采用一种抽象的表示法表象来表述物理体系的行为，并通过么正变换来实现不同表象间的变换。参考文献：1周世勋，量子力学教程m.北京：高等教育出版社，1979.2刘连涛，理论物理简明教程j.上海：华中师范大学大学出版社，1979.3玻姆，量子理论m.北京：商务印书馆，