圆锥曲线离心率题型

1、P是它们的一个公共点，且）B 圆锥曲线的离心率题型解析华中师大一附中博乐分校833400刘族刚 朱新婉圆锥曲线的的离心率 e是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念本文以 离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题 有所帮助.类型一：离心率的定义例1（ 2014湖北卷）已知F

2、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,F1PF2 600，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（分析：PF1F2既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“ 2a,2c ”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点解析：不妨设 PR m, PF2n,（m n），椭圆的长半轴长为 a!，双曲线的实半轴长为 a2，椭圆、2a! , m n 2a2,双曲线的离心率分别为 q,e2，则由椭圆、双曲线的定义,2 2 2平方得m 2mn n4a!,2mn4a22,又由余弦定理得 m2 mn n2 4c2,32e24.2 2 2 1由消去 mn得a1 3a

3、24c2，即一2 2(11ei 3 2)e211(12）e2163再据平面向量不等式（a b）2 a b的坐标表示得所以11 乞邑故选A. e?3c评注：圆锥曲线的离心率的定义 e -是解决离心率问题的基础，值得注意的是，椭圆离心率ae (0,1)；抛物线的离心率e 1双曲线的离心率 e (1,).类型二：离心率的几何意义2 2例2已知双曲线C：笃 爲 1(a0,b0)的离心率为2，若直线l : y kx 3与曲线C的左右a2b2分析：双曲线离心率 e决定了双曲线的分布与形状，另外直线l : y kx 3中k的几何意义明显(直线陡峭程度)，故本题可用数形结合求解22b, _解析：由双曲线C：%

4、珞1(a0, b 0)的离心率为e 2，可得-Je21 J3，a ba依离心率的几何意义，双曲线的两支应夹在两渐近线y3x之间且无限接近(如图)，要使过点(0,3)且斜率为k的直线l : y kx 3与曲线C的左右支各一个交点，直线l必须绕(0,3)在两直线yV3x 3之间转动，所以k ( v33).评注：离心率e是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线形状、分布等(做双曲线先画渐近线)，借助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利 聪明的读者，k在什么范围时，直线l与双曲线C的右支(或左支)有两个交点呢?类型三：求离心率的值2 2例3设双曲线x2y21(a b 0)的半焦距为c，直线I过(a

5、,0),(0,b)两点，若原点到直线I的a2b23距离为 _c,求双曲线的离心率 e.4分析：求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件(如等量关系、几何图形的特征等)建立关于a,b,c的等量关系式，进而转化为关于e的方程求解.解析：直线I过(a,0),(0,b)两点，直线I的方程为x ya b1，即 bx ay ab 0,.3因为原点到直线I的距离为一3 C，所以4ab 3 c ,a2 b2c 4则4ab v3c2，又因为b2 c2 a2且离心率e ,a所以 3e4 16e2 16 0，则 e2 4 或 e2 ,因为 a b 0 , 3所以e .1 b2 色，即e 2 3或e 2 （舍）. a3

6、评注：有没有注意到条件 a b 0,涉及到最终答案的取舍,也是能不能准确求解本题的关键类型四：求离心率的范围例4 （2016浙江）2如图，设椭圆 2 y21(a1)a(I)求直线ykx 1被椭圆截得到的弦长(用 a,k表示)(n)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围分析：求圆锥曲线的离心率取值范围，就是列出关于a,b, c,e的不等关系，再解不等式y kx 1解析：(I)设直线y kx 1被椭圆截得的线段为 AP，由x22 得y 1 a2a2k1 _因此AP i 3）的右焦点为F，右顶点为A.已知1OF10A3eFA其中0为原点，e为椭圆的离心率求椭圆

7、的方程2 22、（ 2016山东）已知双曲线x VE：二 2 1（a 0,b 0），若矩形ABCD的四个顶点在 E上,a bAB,CD的中点为E的两个焦点，且 2 AB 3BC，贝U E的离心率是 3、已知斜率为1的直线l与双曲线2 x2 a2Vb21(a0,b0）相交于A,B两点，且AB的中点为C（1,3），求双曲线C的离心率2 24、设FF2为椭圆C： x2 V2ab1( ab0）的两焦点，若上存在点P，使得F1PF2900，求椭圆离心率的范围5如图，在等腰梯形 ABCD中，AB/CD，且AB 2AD，设 DAB ,（0, ），以A, B为2焦点，且过C,D的双曲线的离心率为ei，以C, D为焦点，且过 代B的椭圆的离心率为e2，则（）(A