


下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、圆锥曲线的又一个优美性质新课标高中数学选修 4-1 即几何证明选讲 (北师大版 ) ,在 圆锥曲线的几何性质的习题和复习题中, 都涉及了椭圆的一个性 质,在教学中通过演算感到结论很是优美 . 下面给出证明并推广 到双曲线和抛物线,使之成为圆锥曲线的又一统一性质 .性质 1 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(ab0) ,F 为椭圆的一个焦 点,I为其相应的准线,点P是椭圆上的一点,过点 P作椭圆的 切线,交准线I于点Q此时:PF丄QF.证明:仅证 F 是左焦点的情形,则 F(-c,0),I:x=-a2c, 不妨 设点P在第二象限,由题知,过点 P椭圆的切线斜率存在,记切 线方程为y=kx+t,代
2、入椭圆方程x2a2+y2b2=1,得 (b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2- a2b2=0.=0,即(2a2kt)2-4(b2+a2k2)(a2t2-a2b2)=0, 整理得 t2=b2+a2k2.二 xp= -2a2kt2(b2+a2k2)=-a2ktt2=-a2kt,yp=kxp+t =-a2k2t+t=b2t. 则 P(-a2kt,b2t), 又准线 I:x=-a2c, 和切线 y=kx+t 的交点 Q的坐标为(-a2c,-a2k+tcc), 注意到 a2-c2=b2 , 则PF=(-c+a2kt,-b2t)=(-ct+a2kt,-b2t),QF=(-c+a2c,a2k-tcc
3、)=( b2c,a2k-tcc) ,PFQF=-ct+a2ktb2c-b2ta2k-tcc=0. 即PF丄 QF.F 是右焦点的情况,结论仍成立 .性质 2 已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) ,F 为双曲线的 一个焦点 ,l 为其相应的准线,点 P 是双曲线上的一点,过点 P 作双曲线的切线,交准线I于点Q此时:PF丄QF.证明:仅证 F 是右焦点的情形,则 F(c,0),l:x=a2c, 不妨设 点P在第一象限,由题知,过点 P双曲线的切线斜率存在,记切 线方程为 y=kx+t ,代入双曲线方程 x2a2-y2b2=1 ,得 (b2-a2k2)x2-2a2ktx-(a2t2+
4、a2b2)=0. v b2 -a2k2M0 且厶=0,即(-2a2kt)2+4(b2-a2k2)(a2t2+a2b2)=0, 整理得t2=a2k2- b2.二 xp=2a2kt2(b2 -a2k2)=a2kt-t2=-a2kt,yp=kxp+t= -a2k2t+t=-b2t, 则 P(-a2kt,-b2t), 又准线 I:x=a2c 和切线 y=kx+t的交点Q的坐标为(a2c,a2k+tcc), 注意到c2-a2=b2,则 PF=(c+a2kt,b2t)=(ct+a2kt,b2t),QF=(c-a2c,-a2k+tcc)=(b2c,-a2k+tcc),PFQF=ct+a2ktb2c-b2ta
5、2k+t cc=0.即 PF丄 QF.F 是左焦点的情况,结论仍成立 .性质 3 已知抛物线 y2=2px(p0),F 为抛物线的焦点, I 为其 准线,点P是抛物线上的一点,过点 P作抛物线的切线,交准线 I于点Q 此时:PF丄QF.证明:由题知F(p2,0),I:x=-p2 ,不妨设点P在第一象限, 由题知,过点P抛物线的切线斜率存在,记切线方程为 y=kx+t , 代入抛物线 y2=2px,得 k2x2+(2kt-2p)x+t2=0,贝U k20 且厶=0, 即 (2kt-2p)2-4k2t2=0, 整理得p=2kt.二 xp= -(2kt-2p)2k2=2kt2k2=tk,yp=kxp+t=ktk+t=2t,即P(tk,2t), 又准线l:x=-p2 和切线y=kx+t的交点Q的坐 标为 (-p2,t-k2t), 则PF=(p2-tk,-2t)=(k2t-tk,-2t),QF=(p,k2t-t)=(2kt,k2t-t),PFQF=k2t-tk2kt-2t(k2t
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 甜品店对外承包合作协议范本
- 书店开业秋天活动方案
- 医院安保基金管理制度
- 宿舍煮饭消防管理制度
- 劳动实践设备管理制度
- 合同管理中心管理制度
- 医院深化基础管理制度
- 办公场所财产管理制度
- 厨房人员思想管理制度
- 候诊大厅人群管理制度
- 大学物理实验(上):透镜焦距的测量
- 认识飞机(课堂PPT)
- 绿化检验批划分
- BEC-V-剑桥商务英语中级真题集-第三辑第四辑第五辑合并-Word版-附答案及听力原文
- 《国歌法》、《国旗法》主题班会
- 回避声明模板
- 泵的选型原则、依据及步骤
- 2023年检验检测机构质量手册(依据2023年版评审准则编制)
- 变压器空负载损耗表
- 2023-2024学年安徽省铜陵市小学语文六年级期末自测试卷附参考答案和详细解析
- 货物验收单表格模板
评论
0/150
提交评论