圆锥曲线的又一个优美性质

1、圆锥曲线的又一个优美性质新课标高中数学选修 4-1 即几何证明选讲 (北师大版 ) ，在 圆锥曲线的几何性质的习题和复习题中， 都涉及了椭圆的一个性 质，在教学中通过演算感到结论很是优美 . 下面给出证明并推广 到双曲线和抛物线，使之成为圆锥曲线的又一统一性质 .性质 1 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(ab0) ，F 为椭圆的一个焦 点，I为其相应的准线，点P是椭圆上的一点，过点 P作椭圆的 切线，交准线I于点Q此时：PF丄QF.证明：仅证 F 是左焦点的情形，则 F(-c,0),I:x=-a2c, 不妨 设点P在第二象限，由题知，过点 P椭圆的切线斜率存在，记切 线方程为y=kx+t，代

2、入椭圆方程x2a2+y2b2=1，得 (b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2- a2b2=0.=0,即(2a2kt)2-4(b2+a2k2)(a2t2-a2b2)=0, 整理得 t2=b2+a2k2.二 xp= -2a2kt2(b2+a2k2)=-a2ktt2=-a2kt,yp=kxp+t =-a2k2t+t=b2t. 则 P(-a2kt,b2t), 又准线 I:x=-a2c, 和切线 y=kx+t 的交点 Q的坐标为(-a2c,-a2k+tcc), 注意到 a2-c2=b2 , 则PF=(-c+a2kt,-b2t)=(-ct+a2kt,-b2t),QF=(-c+a2c,a2k-tcc

3、)=( b2c,a2k-tcc) ，PFQF=-ct+a2ktb2c-b2ta2k-tcc=0. 即PF丄 QF.F 是右焦点的情况，结论仍成立 .性质 2 已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a0,b0) ，F 为双曲线的 一个焦点 ,l 为其相应的准线，点 P 是双曲线上的一点，过点 P 作双曲线的切线，交准线I于点Q此时：PF丄QF.证明：仅证 F 是右焦点的情形，则 F(c,0),l:x=a2c, 不妨设 点P在第一象限，由题知，过点 P双曲线的切线斜率存在，记切 线方程为 y=kx+t ，代入双曲线方程 x2a2-y2b2=1 ，得 (b2-a2k2)x2-2a2ktx-(a2t2+

4、a2b2)=0. v b2 -a2k2M0 且厶=0,即(-2a2kt)2+4(b2-a2k2)(a2t2+a2b2)=0, 整理得t2=a2k2- b2.二 xp=2a2kt2(b2 -a2k2)=a2kt-t2=-a2kt,yp=kxp+t= -a2k2t+t=-b2t, 则 P(-a2kt,-b2t), 又准线 I:x=a2c 和切线 y=kx+t的交点Q的坐标为(a2c,a2k+tcc), 注意到c2-a2=b2，则 PF=(c+a2kt,b2t)=(ct+a2kt,b2t),QF=(c-a2c,-a2k+tcc)=(b2c，-a2k+tcc),PFQF=ct+a2ktb2c-b2ta

5、2k+t cc=0.即 PF丄 QF.F 是左焦点的情况，结论仍成立 .性质 3 已知抛物线 y2=2px(p0),F 为抛物线的焦点， I 为其 准线，点P是抛物线上的一点，过点 P作抛物线的切线，交准线 I于点Q 此时：PF丄QF.证明：由题知F(p2,0),I:x=-p2 ，不妨设点P在第一象限， 由题知，过点P抛物线的切线斜率存在，记切线方程为 y=kx+t , 代入抛物线 y2=2px,得 k2x2+(2kt-2p)x+t2=0,贝U k20 且厶=0, 即 (2kt-2p)2-4k2t2=0, 整理得p=2kt.二 xp= -(2kt-2p)2k2=2kt2k2=tk,yp=kxp+t=ktk+t=2t,即P(tk,2t), 又准线l:x=-p2 和切线y=kx+t的交点Q的坐 标为 (-p2,t-k2t), 则PF=(p2-tk,-2t)=(k2t-tk,-2t),QF=(p,k2t-t)=(2kt,k2t-t),PFQF=k2t-tk2kt-2t(k2t