圆锥曲线专题

1、圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”一 直线与圆锥曲线的位置关系(1) 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2) 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程 解的情况来判断.1设直线I的方程为Ax + By+ C= 0,圆锥曲线方程f(x, y)= 0.由AX+By C 0，消元。如消去y后得a + bx+ c= 0.f(x,y) 0 若a= 0，当圆锥曲线是双曲线时，直线I与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线I与抛物线

2、的对称轴平行或重合. 若0，设 A= b2 4aca. A0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b. A = 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c. A v 0时，直线和圆锥曲线没有公共点.2. “点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法” 具有不等价性，即要考虑判别式A0是否成立.3直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1) 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点Pi(xi, yi), P2(X2, y2),则所得弦长IP1P2I； 2 : 1=1 + k|X1 X2|_或I P1P2| =1 + ；2|屮y2|.(2) 当斜率k不存在时，可求出交

3、点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式).2 2x y在椭圆孑+ b2= 1中，以P(X0,4圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.b2x0x2 y2y)为中点的弦所在直线的斜率 k=孑订；在双曲线存=1中，以只沟,y)为中点的弦所在直线的斜率k=号召；在抛物线？= 2px (p0)中，以P(x。，y。)为中点的弦所在直线的斜率k_ pyo.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线 C： y2 = 4x,过点A( 1,0)的直线交抛物线 C于P、Q两点，设AP =:AQ.(1) 若点P关于x轴的对称点为 M，求证：直线 MQ经过抛物线C的焦点F

4、;1 1(2) 若腹3, 2，求I PQI的最大值.思维启迪(1)可利用向量共线证明直线MQ过F; (2)建立| PQ|和入的关系，然后求最值.解析：(1)证明 设 P(x1, yd, Q(x2, y2), M(x1, yj.fft AP= AQ，二 X1+ 1 = Xx2 + 1), y1 =入2，y1= Z?y2, y2= 4x1, y2= 4x2, X1= Z?x2,巩X2+ 1 = 4冷+ 1),入 2并1)= 1,1入工 1, . x2= , X1=入又 F(1,0),f.MF = (1 X1, yd= (1 入入2,1 f=入：一1 , y2 = ?FQ , 人.直线MQ经过抛物线

5、C的焦点F.1(2)解由(1)知 X2=； X1=入人得 x1x2= 1, y! y2= 16x1x2= 16, 丫$20,. 丫两4,=x2+ x2 + y1+ yf 21X2+ yy)=U -+ 2 2 16,1 10当心十3,即| PQ|2有最大值1129，| PQ|的最大值为111510入-,32，入23 ，此时,MA的斜率为土，x + 1MB的斜率为探究提咼圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函 数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求

6、最值.变式训练1 (2012 四川如图，动点 M与两定点A( 1,0)、B(1,0)构成 MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程.(2)设直线y= x+ m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q, R,|PR|且|PQ|0 , 而当1或一1为方程(*)的根时，m的值为一1或1.结合题设(m0)可知，m0且mM 1.设Q、R的坐标分别为(xq , yQ), (Xr, yp),则Xq, Xr为方程(*)的两根.因为 | PQ| PR|，所以 | xq| xr| , xq =m 2 m2 + 3Xr=m+ 2 :m2+ 33所以此时所以211 +3，且

7、1 +2 1+2 1V m所以IPRI1 1 IPQI 3咕2一 1Xr| PR|Xr 5一 0 ,8mkX1 + x2= Cl *|2,则3+ 4k4 m2 3m2 4k23+4 k2x2 =3+ 4k2.又 y$2= (kx1+ m)(kx2+ m)=刘血+ mk(X1 + X2)+ m2=椭圆的右顶点为A2(2,0), AA2丄BA2,(X1 2)(X2 2) + yy = 0,二 y1y2+ X1X2 2(x1 + X2)+ 4 = 0,3 m2 4 k24 m2 316mk-3 + 4k2+3+ 4k2+ 3T4i? + 4= 0，oo2k 7m2+ 16mk+4k2= 0,解得 m

8、1 = 2k, m2=,由，得 3+ 4k2 m20,当mi= 2k时，I的方程为y= k(x 2),直线过定点(2,0),与已知矛盾.2k22当m2= 7时，|的方程为y= k x 7，直线过定点 7 o ,2直线I过定点，定点坐标为7， o.题型三圆锥曲线中的探索性问题【例3】已知中心在坐标原点 O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在平行于 OA的直线I,使得直线I与椭圆C有公共点，且直线 OA与I的距离等 于4?若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.思维启迪可先假设I存在，然后根据与 C有公共点和与 OA距离等于4两个条

9、件探求.解析x2 y2解方法一(1)依题意，可设椭圆C的方程为+ 2= 1(ab0)，且可知其左焦点为F(a b2,0).从而有c= 2, 解得a= 4.c= 2,2a= | AF| + | AF | =3+ 5= 8, 又 a2= b2 + c2，所以 b2= 12,x2y2故椭圆c的方程为16+12= 1.3y= 2%+1,16+12=1得 3x2 + 3tx+ t2 12= 0.因为直线l与椭圆C有公共点， 所以 A= (3t)2 4 X 3 X(2 12) 0,解得4 ： 3b0),49且有討孑=1,才一b2= 4.从而a = 16.所以椭圆c的方程为16+12=1.(2) 同方法一.

10、探究提咼解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确.变式训练3(2012 江西已知三点0(0,0), A( 2,1), B(2,1),曲线C上任意一点 M(x, y)满ffff足 | MA + MB| = OM (OA + OB)+ 2.(1) 求曲线C的方程；(2) 动点Q(Xo, y)( 2X02)在曲线C 上,曲线C在点Q处的切线为l问：是否存在定点P(0, t)(t0)，使得I与PA, PB都相交，交点分别为 D ,己，且厶QAB与厶PDE的面积之比是常 数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由.ff解 (1)由MA = (

11、 2 x,1 y), MB = (2 x,1 y),| MA + MB| = 厂-2x2+2-2y2,OM (OA + OB)= (x, y) (0,2) 2y=由已知得；一2x_2+一2 2y2= 2y+ 2, 化简得曲线C的方程：x2= 4y.(2)假设存在点P(0, t)(t0)满足条件，t 1则直线PA的方程是y=-x+1,1 tPB的方程是y=x+1.xox0xo曲线C在Q处的切线I的方程是y= 2X 4，它与y轴的交点为F 0, 4 .xo由于一2X02，因此一121.t 11x0 t 1当一1t0 时，一1 2,存在 x0 ( 2,2),使得-=2- 即I与直线PA平行，故当1t

12、0时不符合题意.t 1X0 1 tX0当 t-1 时，丁-1 12, 所以I与直线PA, PB 一定相交.t 11 ty=x+1,y=x+1,分别联立方程组22x0X0X0Xo尸 ix 4,尸 ix 4,解得D , E的横坐标分别是 Xd= 2 “节 十2 X0+ 1 tx2+ 4tXE= 2 x+11XE Xd =x + 4t(10X01又 |FP| = X0 t,11 t有 Sa pde= I FP| Xe Xd| =x2 + 4t 2t 12 x0,1又 Sa qab= 2 4 x24x21 & P，Sa qab4曰 是 SA pde 1 tx0-4x0-t 1x2+ 4t 2力一4+t

13、 12x2 + 4 t 122x4 + 8tx0+ 16t2S qab对任意Xo ( 2,2),要使 为常数,Sa pde即只需4 t 12= 8t,t 满足 4 t 12 = 16t2.Sa qab解得t=- 1此时=2,Sa pde故存在t= 1,使得 QAB与厶PDE的面积之比是常数 2.1该直线恒过一个定点A(2,0).19.圆锥曲线中的函数思想思想与方法2 2x y典例：(12分)已知椭圆-+ - = 1上的两个动点 P, Q,设P(X1, y, Q(X2, y2)且X1 + X2= 2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点 A;(2)设点A关于原点O的对称点是B,求| PB

14、|的最小值及相应的 P点坐标.审题视角(1) 引入参数PQ中点的纵坐标，先求 kpQ，利用直线PQ的方程求解.(2) 建立| PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值.规范解答（1）证明 P（X1,yi）,Q（X2,y，且 xi+X2= 2.x2 + 2y1= 4当X2 时，由 x2 + 2y2= 4，得yi y2Xi X21 Xi + X22 yi + y2yi 一 y2i设线段PQ的中点N（i，n）心Xi2亦,线段PQ的垂直平分线方程为y n= 2n（X i）,（2x i）n y= 0,i该直线恒过一个定点A q, 0）.当Xi = X2时，线段PQ的中垂线也过定点 A（i, 0

15、）.i综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A（2，0）.（2）解 由于点B与点A关于原点O对称，i 故点 B（ 2，0）.一 2Xi0,可利用根与系数之间的关系求弦长2. 圆锥曲线综合问题要四重视：(1) 重视定义在解题中的作用；(2) 重视平面几何知识在解题中的作用；(3) 重视根与系数的关系在解题中的作用；(4) 重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.失误与防范1. 在解决直线与抛物线的位置关系时， 要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况. 2中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证40或说明中点在曲线内部.练出高分A组专项基础训练1直线y= kx+ 2与抛物线y2=

16、 8x有且只有一个公共点，则k的值为( )A. 1B. 1 或 3C. 0D . 1 或 0解析y= kx+ 2,由 2得 ky2 8y+ 16= 0,若 k= 0,贝V y= 2,若 kz 0，若 A= 0, 即卩 64 64k = 0,y = 8x解得k= 1，因此直线y = kx+ 2与抛物线y2= 8x有且只有一个公共点，则k= 0或k= 1.2 2x y2. AB为过椭圆-+ 2= 1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则 FAB的最大面积为a b()A. b2B. abC. acD . bc解析设A、B两点的坐标为(X1, y”、( X1, y”，1则 Safab= 2l OF|2

17、y1| = c| yf 0)的焦点F且倾斜角为60。的直线l与抛物线在第一、四象限分别| AF|交于A、B两点，贝U的值等于()B. 4C. 3解析记抛物线y2= 2px的准线为I,作AAi丄I, BBi丄I, BC丄AAi，垂足分别是 Ai、Bi、C,则有cos 60| AC| AAi| - | BBi|LAB? = |AF| + | BF|I AF| BF|1 l|zb |AF| AF| + | BF| = 2，由此得 | BF| = 3,选 C4. (2011 山东设M(xo, yo)为抛物线C: x2 = 8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、 |FM|为半径的圆和抛物线 C的准

18、线相交，则y。的取值范围是()A. (0,2)B. 0,2C. (2,+ ) D. 2,+)解析 x2= 8y,.焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=- 2.由抛物线的定义知|MF| = yo+ 2. 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为 4,故42.5设抛物线x2 = 4y的焦点为F,经过点 只1,4)的直线I与抛物线相交于 A、B两点，且点P恰为 AB 的中点，U | AF| + | BF| =.解析y1 y2 设 A(X1,yj,B(X2,y2),由题意知X1 + X2=2,且x1= 4y1,x2= 4y?,两式相减整理得， X1 X2X1+ X21=

19、4= 2，所以直线 AB的方程为X 2y+ 7= 0.将x= 2y 7代入x2= 4y整理得4f32yff+ 49 = 0,所以 y1 + y2= 8，又由抛物线定义得 | AF | + | BF| = + y2 + 2 = 10.? | PF2| = 4 | PF1| = 4 2= 27.直线y= kx 2与抛物线y2 = 8x交于不同两点 A、B,且AB的中点横坐标为 2,则k的值 是.y= kx2,设 A(x1, y1)、B(X2, y2),由 y2= 8x, 消去 y 得 k2x2 4(k+ 2)x+ 4= 0,4 k+ 2X1 + X2 = 4 k+ 2 2 4 Xk2 X 40 ,

20、由题意得k 1,k = 1 或 k= 2,即 k= 2.x2 y28.(10分)椭圆孑+孑=1 (a b0)与直线x+ y 1 = 0相交于P、Q两点，且OP丄0Q(0为原 (1)求证：*+ 等于定值;(2)若椭圆的离心率e三3, #，求椭圆长轴长的取值范围.b2x2+ a2y2= a2b2,(1) 证明由 x+ y 1 = 0 消去 y, 得 (a + b2)x2 2ax+ a2(1 b2) = 0,直线与椭圆有两个交点，$0,即 4a4 4(a2+ b2)a2(1 b2)0? a2b2(a2+ b2 1)0,/ ab0 , s2 + b21.设P(X1, yj、Q(X2, y2),贝U X

21、1、血是方程的两实根.2a2a2 1 b2:x1+ x2= OTP, x1x2=a2+ b2由 OP丄 OQ 得 X1X2 + 出比=0,又 y1 = 1 X1, y2= 1 x, 得 2x1X2(X1+ X2)+1 = 0.式代入式化简得 a2+ b2 = 2ab2.1 1二 a2+ 芦2.(2)解利用的结论，将a表示为e的函数c由 e= _? b2= a2才e2,a代入式，得 2-e2- 2a2(1 - e2) = 0.2 - e2二 a = 21 - e21 12+ 2 1 - e2V 4,沁 2.长轴长的取值范围为/ a0,9. (12分)给出双曲线X2 - = 1.求以A(2,1)为

22、中点的弦所在的直线方程；(2) 若过点A(2,1)的直线I与所给双曲线交于 P1, P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程;(3) 过点B(1,1)能否作直线 m,使得m与双曲线交于两点 Q1, Q2,且B是Q1Q2的中点？这样 的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.(1)设弦的两端点为Pg y, P2(X2, y2),则2x1y=2,2X2 y2 = 2,两式相减得到2(X1 - X2)(X1 + X2) = (y1- y?)(y1 + y2),又 X1 + X2 = 4, yt + y2= 2,y1 y2 所以直线斜率k= 一 = 4.X1- X2故求得直线方程为4x- y

23、- 7= 0.(2)设 P(x, y), P1 (X1, y1), P2(X2, y2),按照(1)的解法可得y1- y2X1- X22x由于P1, P2, P, A四点共线，得y1- y2y- 1X1 X2x- 22x y-1由可得?=三,整理得2X2- y2- 4x + y= 0,检验当 X1 = X2时，x= 2, y= 0 也满足方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2- y2- 4x+ y= 0.(3) 假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线 m的方程为y= 2x- 1.y= 2x-1,考虑到方程组 2 y2无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的.X2- - =

24、1练出高分B组专项能力提升1已知双曲线 且AB的中点为E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A, B两点,2 2X yA 1362 2X yb.4 - T = 145x2 y2C.6 3 = 1D.?-彳=1- kAB =0+ 153+ 12N( 12, 15),则E的方程为直线AB的方程为y= X 3.由于双曲线的焦点为F(3,0),. c= 3, c2= 9.y2设双曲线的标准方程为孑b2= 1(a0, b0),x2 x 3 2则孑b= 1整理，得(b2 af)x2 + 6a2x 9a2 a2b2= 0.设 A(x, y, B(X2, y2),则 x + 血=6a2

25、a2 =2 x(2),才=4a2 + 4 b2, 5孑=4b2.又 a+b2= 9,. a2= 4, b2= 5,.双曲线e的方程为牛y5 = 1.2.已知抛物线y= x2+ 3上存在关于直线 x+ y= 0对称的相异两点 A、B,则| AB|等于()A. 3B. 4C. 3 2D . 4 2解析设直线AB的方程为y= x+ b.y = x2 + 3由？ x2+x + b 3= 0? X1+ x2= 1,y= x+ b1 1得AB的中点M 2, 2+ b .1 1又M 2, 2+ b在直线x+ y= 0上，可求出b= 1, x2+ x 2= 0,则|AB| = ；1 + 12 - 1一2_ 4

26、X_ 2 = 3 2.3.如图，已知过抛物线 y2= 2px (p0)的焦点F的直线x my+ m= 0与抛物线交于 A、B两 点，且 OAB(O为坐标原点)的面积为2 :2，则m6 + m4的值是()A. 1B. .2C. 2D . 4解析p设A(xi, yi), B(X2, y2),由题意可知，=m,将x= my m代入抛物线方程 y2= 2px(p0) 中，整理得y2 2pmy+ 2pm = 0,由根与系数的关系， 得yi+ y? = 2pm, y2= 2pm,.(yi 曲1 p1=(yi + y2)2 4yiy? = (2pm)2 8pm= 16m4 + 16m2,又厶 OAB 的面积

27、 S= 2X ?|yi 谑I = ?(m) X4 m4+ m2= 2 ：2 两边平方即可得 m6 + m4= 2.4直线y= kx+ 1与椭圆X + -= 1恒有公共点，则 m的取值范围是5 m方程X2 + J 1表示椭圆， m0且m，5.5 m直线y= kx+ 1恒过(0,1)点，02 12要使直线与椭圆总有公共点，应有：+w 1, m 1,5 m m的取值范围是ml且m，5.x2 y2x y5. 已知双曲线a 了 = 1 (a1 , b0)的焦距为2c,离心率为e,若点(1,0)与(1,0倒直线ab4=1的距离之和s 5c,则e的取值范围是| b ab| b ab| 2ab 4由题意知s= -,a2+ b2 +诫+ b2= T5c,2c2 5b 2 c2 5ab,r wb又一=aa a= ,e2 1,. 2e20)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若I BC|=2| BF|，且| AF| = 3,则抛物线的方程为 如图，过A、B分别作AD、BE垂直于准线，垂足分别