圆中的“知二求一法”

1、圆中的“知二求一法”垂径定理不仅是证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据， 而且还为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，我们在学习这部分知识时，要注意理解垂径定理的理论基础： 教材中通过对一 张圆形纸片沿着一条直径对折， 直径两侧的两个半圆能够完全重 合这一事实，指出：“圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴”，然后利用圆的轴对称性探究得出了垂径定 理，因此，圆的轴对称性是垂径定理的理论依据。由垂径定理的 得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养 学生思维的严谨性，通过对垂径定理的教学，对学生渗透类比， 转化，数形结合，方程，建模等数学思想和方法，培养学生实验,

2、 观察，猜想，抽象，概括，推理等逻辑思维能力和识图能力。垂径定理在具体运用中具有一定的灵活性。 对于在垂径定理 这类题中为什么添加“半径”这条辅助线的引导应该非常具体， 应该做到让学生“不仅知其然，还要知其所以然”。 口：一些问 题的图形或条件中没有出现“垂直于弦的直径”，而是出现“垂直于弦的半径或圆心到弦的距离”，此时也可以利用垂径定理。 在解决圆中有关弦、弧等问题时，若没有给出“垂直于弦的直径 或半径、圆心到弦的距离”，通常是过圆心作弦的垂线段或直径、 半径，构造出利用垂径定理的条件。垂径定理告诉我们：垂直于弦的直径平分弦， 且平分弦所对的两条弧。如图 1v AB是直径，ABL CD-CM

3、=DMAO =AD = ,=BD该定理中出现了以下四个量：直径 AB弦长CD弦心距OM 和弓形的高AM在用垂径定理解决圆中的计算问题时，其实大 部分都是围绕这四个量展开的，而这四个量之间又有如下关系： 弦心距与弓形的高的和等于半径， 直径的二分之一是半径，若直 径垂直于弦，则垂足是弦的中点，连接圆心和弦的一个端点，就 会出现直角三角形，而在直角三角形中，已知任意两条边长，可 以求出第三边，所以只要已知上述四个量中的任意两个量一定能 求出其余的量，我把它归纳为圆中的“知二求一法”。 此时需要 把垂径定理和勾股定理有机结合起来计算弦长、半径、弦心距、 弓形的高等问题，这就需要构造直角三角形（注意该

4、直角三角形 一定是由半径，弦心距和弦构成的），在教学中，一定要教会学 生如何添加辅助线，（ 1）如果见到弦心距和弦，那么直接连接 半径就构成直角三角形（如例 1）；（ 2）如果就知道一条弦长 的题目，就要把半径和弦心距都做出来，构造直角三角形（如例 2）；（3）如果只知道弓形的高和弦长，就要把弓形的高延长至 圆心，再连接半径构造直角三角形（如例 3），下面我以几道例 题来展示以上圆中的“知二求一法”：例1如图1,已知在00中，弦CD的长为8厘米，圆心O到CD的距离为3厘米，求00的半径。思路分析：这是已知弦长和弦心距求圆的半径问题。解：连结0C过0作OMLCD垂足为 M,由垂径定理，得 点M是

5、CD的中点，?tCM=BM=0.5CD=4在 Rt?SCOM中,根据勾股定理有 0C=5厘 米/.OO的半径为5厘米。这是已知弦长和弦心距求圆的半径问题。例 2：如图 1 所示4是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面4 其水面高宽为 1.6 米4求这条管道中水的最大深度是 多少？思路分析：审题后首先要让学生明确该“管道中水的最大深 度”的含义4 其实转化为数学语言就是指“弓形的高”4 那么这 道题就是已知半径和弦长求弓形的高的问题。解:如图，最大深度即为AM的长度，设圆心为Q作OMLCD 于点M,交O0于点A,由垂径定理，得 CM=0.5CD=0.8 （米）。 在Rt?SCOM中，由勾股定理，得 0M= 12-0.82=0.6 （米）。以 AM=OA-OM=1- 0.6=0.4（米）。这是已知弦长