134_最短路径问题

1、第十三章第十三章 轴对称轴对称 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册） 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路 可供选择，选走哪条路最近？你可供选择，选走哪条路最近？你 的理由是什么？的理由是什么？ 两点之间两点之间,线段最短线段最短 F E D C B A 在灌溉时，要把河中的水引到在灌溉时，要把河中的水引到 农田农田P处，如何挖渠能使渠道处，如何挖渠能使渠道 最短？最短？你的理由是什么？你的理由是什么？ 垂线段最短垂线段最短 “ “两点的所有连线中，线段最短两点的所有连线中，线段最短”、 “连接直线外一点与直线

2、上各点的所有连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短线段中，垂线段最短”等的问题，我们等的问题，我们 称它们为最短路径问题现实生活中经称它们为最短路径问题现实生活中经 常涉及到选择最短路径的问题，常涉及到选择最短路径的问题，本节将本节将 利用数学知识利用数学知识继续继续探究数学中探究数学中的最短路的最短路 径问题径问题 已知：如图，已知：如图，A A，B B在直线在直线L L的两侧，在的两侧，在L L 上求一点上求一点P P，使得，使得PA+PBPA+PB最小。最小。 P 连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P ，就是所求。，就是所求。 思考？思考？ 为什么这样做就

3、能得到最短距为什么这样做就能得到最短距 离呢？离呢？ 根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短. P 如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、 B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所 用的输气管线最短？用的输气管线最短？ P 所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短 应用 A B l B/ P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. . M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交

4、直线l l于点于点P.P. 已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上 求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得 到最短距离呢？到最短距离呢？ MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站， 向居民区向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从才能使从A A、B B到它的距离之和最短到它的距离之和最短

5、 练习练习 请你自己动手 试一试！ 只有A 、C、B在一直线上时，才能使 AC+BC最小作点A关于直线“街道”的 对称点A，然后连接AB，交“街道”于点 C，则点C就是所求的点 D 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点， 在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小. B C D E 分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任

6、意一点，内部任意一点， 在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小. 1.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对的对 称点称点A，A； 2.连接连接A，A，分别交，分别交OM，ON 于点于点B、点、点C; 3.则点则点B、点、点C即为所求即为所求 如图，A.B两地在一 条河的两岸，现要在 河上建一座桥MN， 桥造在何处才能使从 A到B的路径AMNB最 短？（假设河的两岸 是平行的直线，桥要 与河垂直） A B 作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个沿垂直与河岸的方向平移一个 河宽到河宽到E E

7、， 2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。 所以桥的位置建在所以桥的位置建在MNMN处，处，ABAB两地的路程最短两地的路程最短 A B M N E C D 某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条( (如图中的如图中的AOAO， BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌面上摆满了糖桌面上摆满了糖 果，坐在果，坐在C C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然 后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，后回到座位，请你帮助他设计一条行走路

8、线， 使其所走的总路程最短？使其所走的总路程最短？ 作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D, 2. 作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短 A O B C 4. 如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要为帐篷，牧马人某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到 河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一 天的最短路线。天的最短路线。 作法：作法：1.作点作点C

9、关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F, 2. 作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接EF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短 F A O B D C E G H A B A/ B/ P Q 最短路线：最短路线：A P Q BA P Q B l M N 巩固反馈：巩固反馈： 1、如图，张庄、如图，张庄A、李庄、李庄B位于河沿的同侧，现要在位于河沿的同侧，现要在 河沿河沿g上修一提灌站上修一提灌站C向张庄向张庄A、李庄、李庄B提水。当提提水。当提 灌站修在河沿灌站修在河沿g的的C处时，所用水管最短，为处时，所用水管最短，为

10、3千米。千米。 已知已知BC的长为的长为2千米，你能在图中找出张庄千米，你能在图中找出张庄A的位的位 置吗？置吗？ g . 提灌站提灌站C 李庄李庄B 2、如图，小河边有两个村庄、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自 来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。 (1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在村庄的距离相等，则应选择在 哪建厂？哪建厂？ （2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什村的水管最省料，应建在什 么地方？么地方？ A村村 B村村 3、如图，两条公路、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的相交，在两条公路的 中间有一个油库，设为点中间有一个油库，设为点P。如在两