含参二次不等式因式分解

1、、公式法必会的乘法公式【公式1】(abc)22 a.2 2b c2ab 2bc 2ca【公式2】(ab)(a2abb ) a3b (立方和公式)【公式3】(ab)(a2ab,2.3b ) ab (立方差公式)【公式4】(ab)3a3b32 23a b 3ab【公式5】(ab)3a33a2b 3ab2b3【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: 8 x3 (2) 0.125 27b3【例2】分解因式：(1) 3a3b 81b4(2) a7 ab6、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多 项式，如ma mb na nb既没有公式可用，

2、也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.1 分组后能提取公因式【例3】把2ax 10ay 5by bx分解因式.【例4】把ab(c2 d2) (a2 b2)cd分解因式.2 分组后能直接运用公式2 2【例5】把xy ax ay分解因式.2 2 2【例6】把2x 4xy 2y 8z分解因式.十字相乘法分解因式1 二次三项式(1) 多项式ax2 bx c,称为字母 _的二次三项式，其中 称为二次项，为一次项，为常数项.2 2例如：x 2x 3和x 5x 6都是关于x的二次三项式.(2) 在多项式x2 6xy 8y2

3、中，如果把 看作常数，就是关于 _的二次三项式；如果把 _看作常数，就是关于 _的二次三项式.(3) 在多项式2a2b2 7ab 3中，把看作一个整体，即 ，就是关于 的二次2三项式同样，多项式(x y) 7(x y) 12，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式.2 十字相乘法的依据和具体内容2(1)对于二次项系数为1的二次三项式x (a b)x ab (x a)(x b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.于 二 次

4、 项 系ax2bx ca1a2x2(玄&2 a?C| )x Cj C2(a-ix C|)(a2x c2)大家知道，(a G)(a2X C2)a1 a2x(aQ2 a2G )x C1C2.反过来，就得到:a1a2x2(a1C2a2G )xC1C2(a1x C1)(a2x c2)a1C1我们发现，二次项系数a分解成a2，常数项c分解成C1C2，把a1, a2, C1, C2写成oa2c，这里按c22斜线交叉相乘，再相加，就得到ac a2Ci，如果它正好等于ax bx c的一次项系数b，那么2ax bx c就可以分解成(x q)(a2X g)，其中aq位于上一行， a?,。?位于下一行.十字相乘法的

5、要领是：头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三 项式能否用十字相乘法分解.它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个

6、积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.【例1】把下列各式因式分解：(1)2 x7x6x213x362 x5x24x22x152 xxy6y22(6) (xx)28(x2x) 12 竖分二次项与常数项 交叉相乘，和相加 检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验,横写因式不能乱例2、因式分解与系数的关系若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有（）A.5个B.6个C.8个D.4个分析：因为二次项系数为 1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16 , k=m+n ，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中

7、m、n为整数)因为 16=2 X8，16=(-2) x(-8)16=4 X4, 16=(-4) X(-4) 16=1 X16, 16=(-1) X(-16)所以 k= 10 ,8, 16答案：B22 一般二次三项式ax bx c型的因式分解【例2把下列各式因式分解：2 2 2(1) 12x 5x 2(2) 5x 6xy 8y1时较困难，具体分解时，为提高速”凑”看是否符合一次项系数，否则用说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法 加法”凑”先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.练习1 :分解因式2(1) 2x 15x

8、72(2) 3a 8a 42(3) 5x 7x 62(4) 6y 11y 102 2 5a b 23ab 102 2 2 2(6) 3a b 17abxy 10x y(7) x2 7xy 12 y2(8) x4 7x218(9) 4m2 8mn 3n2532(10) 5x 15x y 20xy练习2分解因式42(1) x 10x9;3 2 7(x y) 5(x y) 2(x y);(a2 8a)222(a2 8a) 120 224324、(x 2x 3)(x 2x 24) 90 . 5 6x 5x 38x 5x 6.2 26 x 2xy y 5x 5y 6 . 7 ca(c a)+ bc(b

9、c) + ab(a b).三、十字相乘与其它知识综合例1.分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y 2-11x+22y+15分解因式解：原式=(2x 2-8xy+8y 2)-(11x-22y)+15=2(x-2y) 2-11(x-2y)+15=(x-2y)-32(x-2y)-5=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解例2.换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x 2+x+2)-6 分解因式分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数

10、分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.解：(x2+x+1)(x 2+x+2)-6=(x 2+x)+1(x 2+x)+2-6=(x 2+x) 2+3(x 2+x)-4=(x 2+x+4)(x 2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，例 3、 把 10x 2-27xy-28y 2-x+25y-3 分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x

11、2-27xy-28y 2-x+25y-3=10x 2-( 27y+1 )x - ( 28y 2-25y+3 )4y -37y X -1=10x 2- (27y+1 ) x - (4y-3 )( 7y -1 )2- (7y - 1)5 X 4y - 3=2x-(7y -1 ) 5x +(4y -3 )=(2x -7y +1)( 5x +4y -3 )10x(5x说明：在本题中先把 28y2-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3 ) (7y -1 )，再用十字相乘法把2- (27y+1 ) x - (4y-3 )( 7y -1 )分解为：2x - (7y -1 ) 5x +(4y -3 )解法二

12、、10x 2-27xy-28y 2-x+25y-32-7y5 X 4y=(2x -7y )( 5x +4y ) - (x -25y ) - 32 x -7y15 x +4y X -3=(2x -7y ) +1 (5x +4y ) -3=(2x -7y+1)( 5x +4y -3 )说明:在本题中先把10x2-27xy-28y 2用十字相乘法分解为(2x -7y )( 5x +4y )，再把(2x -7y ) +4y ) - ( x -25y ) - 3 用十字相乘法分解为(2x -7y ) +1 (5x +4y ) -3.(试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幕的

13、次数及各项系数去分析)例4因式分解与十字相乘法 已知(x2+y 2)(x2-1+y 2)=12求：x2+y 2的值解：(x2+y 2)(x2-1+y 2)=12 (x2+y 2)(x2+y 2)-1-12=0(x2+y 2)2-(x2+y 2)-12=0 (x 2+y 2)-4(x 2+y 2)+3=0x2+y 2例5把下列各式分解因式:4(1) X10x29;7(Xy)325(x y) 2(x y)；2(a8a)2222(a8a)120.2 2点悟：(1)把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式;(2)提取公因式(x+ y)后，原式可转化为关于(x + y)的二次三项式;以(a28a)为

14、整体，转化为关于(a28a)的二次三项式.4 2 2 2解： x 10x9 (x 1)(x9)=(x + 1)(x- 1)(x+ 3)(x 3).3 2(2) 7( x y) 5( x y) 2(x y)(x y)7(x y)25(x y) 2=(x + y)(x + y) 17(x + y) + 2=(x + y)(x+ y 1)(7 x + 7y+ 2).2 2 2(3) (a 8a)22( a 8a) 1202 2(a8a 12)(a8a 10)(a 2)(a 6)(a2 8a 10)点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体, 才能构成二次三

15、项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要 分解到不能再分解为止.2 2例 6 分解因式：(x 2x 3)(x 2x 24)90.2点悟：把x2x看作一个变量，利用换元法解之.2解：设x 2x y，贝U原式=(y 3)(y 24) + 902y227y 162=(y 18)( y9)(x2 2x 18)(x2 2x 9).点拨：本题中将x2 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，y 27y 162 (y 18)(y 9) 一步，我们用了 “十字相乘法”进行分解.4 32例7 分解因式6x 5x 38x 5x 6 点悟：可考虑换

16、元法及变形降次来解之.2 211解：原式x26(x2)5(x-)38Xx2 1 2 1x26(x -)2 5(x -) 50,XX1令x y，则X2 2原式 X (6y 5y 50)x2(2y 5)( 3 y 10)23X2 (2x5)( 3x10)XX2 2(2x 5x 2)(3x10x 3)(x 2)(2x 1)(x 3)(3x 1) 点拨：本题连续应用了 “十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.例 8:解关于 X 方程：x2- 3ax + 2a 2 -b -b 2=0分析：2a 2 -b-

17、b 2可以用十字相乘法进行因式分解解：x2- 3ax + 2a 2 -b -b 2=0x2- 3ax + (2a2 -ab - b2) =01 -b2 X +bx2- 3ax + (2a+b )(a-b ) =01- (2a+b )1 X - (a-b )x- (2a+b ) x- (a-b ) =0所以 x仁2a+b x2=a-b例9已知4 x6x2x 12有一个因式是x2ax 4，求a值和这个多项式的其他因式.点悟：因为4 x6x2x 12是四次多项式，有个因式是2x ax4 ,根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是2 xbx3（ a、b是待定常数），故有42x 6xx 12(x2ax 4

18、) (x2 bx 3).根据此恒等关系式，可求出 a, b的值.解：设另一个多项式为x2 bx 3，则x4 6x2 x 122 2(x ax 4)(x bx 3)x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2(3a 4b)x 12，42432 x 6x x 12与x (a b)x (3 4 ab)x (3a 4b)x 12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等即有I 3+4 十值& i 6,无+牡=1.由、解得，a = 1 , b = 1,代入，等式成立. a = - 1，另一个因式为 x2 x 3 .点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常 用的方

19、法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视.422ax 4，求a值和这个多项式的其他因式.2、若 x y= 6, xy，则代数式x3y 2x2y236xy3的值为练习3、1、已知x 6x x 12有一个因式是x提高版练习1、把下列各式分解因式:4(1) x7x26 ;4 L 2(2) x 5x36 ;,4(3) 4x65 x2 y2416y ；6a7a3b38b6 ； 6a4 5a3 4a2;,64a37a4b2C 2 4 9a b .练习2、2(1) (x3)24x2 ；2(2) x (x2)29;2(3x2x 1)2(2x2 3x3)2 ;z 2(4)(xx)217( x22x)

20、 60 ; (5) (x2x)27(x22x) 8 ； (6) (2a2b) 14(2a b)48 .一-33练习 3 .已知 x+ y = 2, xy = a + 4, x y26，求a的值.四、其它因式分解的方法1 .配方法【例11】分解因式x2 6x 16解：x2 6x 16 x2 2 x 3 32 32 16 (x 3)2 52(x 3 5)(x3 5)(x 8)(x 2)说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用 平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.2 .拆、添项法【例12】分解因式x3 3x24分析：此多项式显然不能直接

21、提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决.3232解：x 3x 4 (x 1)(3x3)(x1)(x2x 1)3(x1)(x1) (x 1)(x2x 1) 3(x 1)2 2(x 1)(x 4x 4) (x 1)(x 2)说明：本解法把原常数 4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公222322式法及提取公因式的条件.本题还可以将3x拆成x 4y ,将多项式分成两组(x x )和4x 4 .一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果

22、多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.A组1 .把下列各式分解因式：(1) a327(2)83 m(3)27x3813133 3113 31 3(4)- pq(5)8xy(6)x yc864125216272 .把下列各式分解因式：34n3n 3(1) xy x(2)xx y232 3(3) a (m n) a by (x2x)32y3 .把下列各式分解因式:(1)2 x3x 22 x37 x

23、362 x11x262 x6x 272 m4mn 5n2(ab)211(ab)284 .把下列各式分解因式：(1)5 ax4310ax4 16ax3n 2n 1aa b6anb2(x22x)294 x7x2182(5) 6x 7x38x226xy15y2(7)7(ab)25(ab)2(8)(6x27x)2255.把下列各式分解因式:(1)3axc23ay xy y(2) 8x34x22x 1(3) 5x215x2xy 6y4a2220ab 25b364xy1.2 24x y (6)a4ba3b2224a b ab6 xy 2x 1(8)x2(x1)y(xy x)B 组1 .把下列各式分解因式：

24、(1)2 2ab(c d )cd (a2b2)2(2) x4mx8mn 4n2(3)4x4643x11x231x213(5) x2234xy 2x y 8y2 .已知2 a b, ab2，求代数式2 2t 2 a b 2a b2ab的值.33 .证明：当n为大于2的整数时，n5 5n3 4n能被120整除.4 .已知 a b c 0，求证：a3 a2c b2c abc b30.第二讲因式分解答案A组2 2 21 . (a 3)(a 3a 9),(2m)(4 2m m ),(23x)(4 6x 9x ),1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 264(2p q)(4p 2pq q ),(2xy /(4X y 5xy R莎(xy 2c)(x y 2xyc 4c )2 .x(x y)(y2 xyx2),xn(x y)(x2 xyy2),a2(m nb)(mn)2b(m n) b2, y2(x 1)2(x4 4x3 3x22x 1)3.(x 2)( x1),(x36)(x1),(x13)(x2),( x 9)(x3)(x 9)( x3),(m5n)(m n),(a b 4)(a b 7)4ax3(x 2)(x8), an(a 3b)(a2b),( x 3)(x1)(x22x 3),( x 3)( x23)(x2)(2x:3)(3x1),(2xy)(4x15y),