(完整版)初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

1、初二二次根式所有知识点总结和常考题 知识点： 1、二次根式： 形如a（a 0）的式子。二次根式必须满足：含有 二次根号“ 一 ”被开方数a必须是非负数。非负性 2、最简二次根式：满足：被开方数不含分母；被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式的二次根式。 3、化最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成 分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数 或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式 （1）Ga）2 a（a 0）（ 2）. a2 a （3）乘法公式 Jab 、a

2、? b（a 0,b0） I a va （4）除法公式b b（a 0，b0） 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被 开方数相同的二次根式进行合并。 5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的 先算括号里的 常考题: .选择题（共14小题） 1. A. 2. A. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ V14 B.顷 C. D. 式子 匚有意义的x的取值范围是（） I-L 丄且 xm 1 B. xm 1C. x- 3. 下列计算错误的是（） A. 十 w G : B.C.：- I D.-：- 一: 4. 估计：_： |的运算结果应在（） A. 6到7之间

3、B. 7到8之间 C. 8到9之间 D . 9到10之间 5. 如果：-匕1 - 2比则（ A. 6. A. 7. A. 8. A. 9. k、 A. B. D .嗨 若.=（x+y） 2，则 x- y 的值为（） -1 B . 1C. 2D . 3 是整数，则正整数n的最小值是（） 4B . 5C. 6D . 7 化简.：| . -1的结果是（） - B .:C.D .: k、m、n为三整数，若.-=k 一 = ；亍=15，门=6 i丨，则下列有关于 m、n的大小关系，何者正确？（） k m=n B . m=n k C. m n kD . m k n a 10 .实数a在数轴上的位置如图所示

4、，贝U 见一4）2点-12化简后为（ 05 cr 10 11.把 A . 7 B . - 7 C. 2a- 15 D .无法确定 艮号外的因式移入根号内得（ A.血 B.C.D. V-ir 12 .已知 厂I是正整数，贝U实数n的最大值为（ 13.若式子 A. 12 B. 11 C. 8 D. 3 有意义，则点P （a, 6在（ D.第四象限 + n3mn 的值为（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限 14. 已知 m=1+Vl, n=1-J，则代数式 7 A. 9 B. 土 3 C. 3 D. 5 二.填空题（共13小题） 15.实数a在数轴上的位置如图所示，则|a- 1|+.：= -1

5、 16. 17. 18. 19. 20. 计算： - 化简：_；（ :. ）- r - 3|=. 如果最简二次根式；与小“-宋是同类二次根式，则a=_ 定义运算“ 勺运算法则为：xy三丨贝9（ 26） 8= 化简|v X -4X X（ 1-二）0的结果是 21. 计算：-I. - 丨：= 22三角形的三边长分别为I , 广,.广，贝U这个三角形的周长为 cm. 23. 如果最简二次根式， 与.能合并，那么a=. 24. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2和6，那么矩形内阴影部分的面 积是.（结果保留根号） 在数轴上的位置如图所示 =.- -：-: 26. 计算：（需-2） 2 乐二. 2

6、7. 已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且 amn+bn2=1，贝U 2a+b=. 三.解答题（共13小题） 28.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式 2 子，其实我们还可以将其进一步化简: 3X3 -.: = 3 2 - 2X（V3-1） 1 2CVs-i3 如1 （V3+1）（V3 l） （V3）2-i2 3 =1 （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2还可以用以下方法化简： 3+1 2 =（忌苗+D （苗_D 岛+1=亦+V3+1 V3+1 请用不同的方法化简扁T =- 1 （四） 2 = 亦+75= ?参

7、照（四）式得-=. （2 （3）化简: + +V2rrT 第16页（共 20页） 29. 30. 31. 32. 33. 先化简, 先化简, 先化简, 再求值: 再求值: 已知a=:l*. -2+| 1 -佢 | -( n- 2) 0枇. （書+1）-（-） （apj） （a+屈）乍，其中旦詔兮. ，求 r2 x+2. .:管 x+2 再求值: 2 a-1 其中- -1-:. 的值. ,其中 x=1+ :, y=1 - :. 34. 对于题目化简并求值：吉+J寺+/_2,其中a*”，甲、乙两人的解答不同. 甲的解答: 乙的解答: 请你判断谁的答案是错误的，为什么？ 35. 个三角形的三边长分别

8、为； -：.、 （1）求它的周长（要求结果化简）； （2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值. 36. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了 三斜求积术”，即已知三角 形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： 2 2 2 /溟bU11 （其中a、b、 c为三角形的三边长, s为面 积）. 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式: s= . J - I - i（其中 p .） （1）若已知三角形的三边长分别为5, 7，8,试分别运用公式和公式，计 算该三角形的面积s； （2）你能否由公式推导出公式？请试试. 求代数式x2-xy+y2值. 37.已知:

9、 (2) (a0, b0). a+b=m， ab=n，使得 39. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如.的化简，只要我们找到两个数a、b，使 i：=m，l.=小那么便有: rl I =, -= 11，（ab）. 例如：化简一二 解：首先把.;1 . 化为 T V1 孑，这里 m=7，n=12，由于 4+3=7，4X 3=12 即?+（亦）=7，VXV =JT2 一 4.；=.匸- J=2+:. 由上述例题的方法化简：.1 ：；： 一畀. 40. 阅读材料: 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+-= （1+ -：） 2.善于思考的小明进行了以下探索：

10、 设 a+b =（ m+n. ：）2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有 a+：-=m2+2 n2+2m n.：. a=m2+2n2, b=2mn.这样小明就找到了一种把类似 a+b.二的式子化为平方式的 方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+M=丽亦用含m、n的式子 分别表示a、b，得：a=，b=; （2） 利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： +. +_ ） 2； （3）若a+4=（计口亦）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题 练习（含答案解析） 参考答案与试题解析 一

11、选择题（共14小题） 1. （2005?岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（） A. VH B.畅 C.將 D. V4a+4 【分析】B D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方 数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式. 【解答】解：因为：B、.=4.:; D、J L_=2; 所以这三项都不是最简二次根式.故选 A. 【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式 （或因数），如果幕的指数等于或大 于2，也不是最简二次根式. 2. （2013?娄底）式子

12、有意义的x的取值范围是（） 1-1 A. xZ且 xm 1 B. xm 1C. 、1 D. -且复式1 2 2 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解. 【解答】解：根据题意得，2x+1 0且x- 1工0， 解得X-丄且XH 1 . 2 故选A. 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0; 二次根式的被开方数 是非负数. 3. （2007?荆州）下列计算错误的是（） A、B.C.D.； 【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断. 【解答】解：A、 I. =：.n=7.正确； B、= II : =2 :;,正确； C、 ：一卄一1=3 j+5. 1=

13、8 ，正确； D、，故错误.故选D. 【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同 的二次根式. 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并. 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变. 4. （2008?芜湖）估计 的运算结果应在 A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算. 【解答】解：.1 +=4+ ,而4V -iK5， 原式运算的结果在 故选C. 8到9之间; 夹逼法 【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要

14、估算, 是估算的一般方法，也是常用方法. 5. （2011?台）如果 I =1 2 除法要统一为乘法运算. 32. （2010?莱芜）先化简，再求值：匕，其中Z+屁 I上 iCji 【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把 x的值直接代入，通常做法是先把 代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值本题注意X-2看作 一个整体. 【解答】 解：原式=2 2 x+24-x (计4)(工-4) : =-（x+4） 当时， 原式= 1:. 【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解; 除法要统一为乘法运算. 33. （2008?余姚市校级自主招生）已知 的值. 【分析

15、】先化简，再代入求值即可. 【解答】解：巴， 邑（倉T ） =a 1 - =a 1 + a =2-岳-1+2+/3 =4 1 =3. 【点评】本题考查了二次根式的化简与求值, 将二次根式的化简是解此题的关键. 34. （2002?辽宁）对于题目 化简并求值：二 a 2 :，其中a ”甲、乙两 人的解答不同. 2 甲的解答: 乙的解答: a （笔土 -時-*詈； 1 =a=- a 5 +a =1 2 请你判断谁的答案是错误的，为什么? 【分析】因为 ,a- 5=-年 V 0, 工a - ,故错误的 是乙. 【解答】解：甲的解答: 时，丄-a=5 - a 丄+ 0,所以 -a, 正确; 乙的解答：

16、因为 1 .1 a 5 ,a- -5=- 4- V0,所以q,龙a- 二，错误; a 因此，我们可以判断乙的解答是错误的. 【点评】应熟练掌握二次根式的性质：.二-a （a0，b0). 【分析】(1)先化简，再运用分配律计算； (2)先化简，再根据乘除法的法则计算. 【解答】解：(1)原式=- =6 1恥6/2 =6 18； (原式=紂后(克届小魏 =3a2b2x . 3b =a2b . 【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相 乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简， 再相乘，灵活对待. 39. (2013秋？故城县期末)先阅读下列

17、的解答过程，然后再解答: 形如I |的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m , ab=n，使得 （需）？+；）2=m,需VK=i，那么便有： “丄， =；、,.打匕.厂：二.吐 h（ a b）. 例如：化简一二 解：首先把. I , :化为叮=；右孑，这里m=7, n=12,由于4+3=7, 4X 3=12 即（眉）龙+Mr=7, Jix归彳迁 mi =（-仁!, =2+ 由上述例题的方法化简：.T 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42.再判断是选择加法，还是减法. 【解答】解：根据，可得m=13, n=42, 6+7=13, 6X 7=42, .=- t -= _. 【点评】

18、解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式. 40. （2013?黔西南州）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+.一二（1+ -：） 2善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b ：=（ m+n:）2 （其中 a、b、m、n 均为整数），则有 a+b :?=m2+2n2+2mn :. a=m2+2n2, b=2mn.这样小明就找到了一种把类似 a+b. 啲式子化为平方式的 方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+j=（丽頂）？，用含m、n的式子 分别表示 a、b,得：a= m2+3n2, b

19、= 2mn ； （2） 利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：4 + 2 . ；= （_1 + 1 .；）2; （3）若a+4.；=：n辽丿且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b的表达式； （2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值; （3）根据题意，4=2mn,首先确定m、n的值，通过分析m=2, n=1或者m=1, n=2,然后即可确定好a的值. 【解答】解：（1）v a+b_H-|- a+b - ；=m2+3n2+2mn 二, a=m2+3n2, b=2mn. 故答案为：m2+3n2, 2mn. (2)设 m=1, n