1993考研数一真题及解析

1、因跨考敎育KUKAO EDUCATIONBorn to win1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）(1)x函数 F(x) = 1 (2 -x 0）的单调减少区间为由曲线3x2 2y2 =12,绕z = 0y轴旋转一周得到的旋转面在点（0,、3,、2）处的指向外侧#的单位法向量为_ 设函数f（X）二二x X2（第 - x :：二）的傅里叶级数展开式为a-0 +瓦（an cosnx +bn sin nx）,则其中系数b3的值为.2 ni 设数量场 u=ln Jx2 +y2 +z2,则 div（gradu）=. 设n阶

2、矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n -1,则线性方程组 Ax = 0的通解 为.、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）sin x(1)f (x)=234sin(t )dt, g(x)二 x x 则当 x 0 时,f (x)是 g(x)的（A）等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小 双纽线（X2 y2）2 =x2 -y2所围成的区域面积可用定积分表示为匹(A)2 7cosn (C) 2 4 cos2nd =0(B)(D)4：cos2 心n4 (cos 2 )2d0x

3、1 v5 z+8x y=6设有直线L1:-二-二与L2 :,则L1与L2的夹角为1-212y + z = 3(A)(B)(D)(C) 设曲线积分 Lf(x)_eXsinydx _ f (x)cos ydy与路径无关，其中f (x)具有一阶连续导数,且f (0) =0,则f(x)等于(A).x xe e2(B)x . xe -e2(C)-1(D)x . x e e12(5)已知Q = 22 34 t , P为三阶非零矩阵，且满足PQ = 0 ,则6 9 ?(A)t =6时，P的秩必为1(B)(C) t = 6时，P的秩必为1(D)三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分.)(1)lim(sin

4、 xxxdx.(3)求微分方程x2 y xy二y2,满足初始条件y卜弓=1的特解.四、(本题满分6分)计算.i .i2xzdydz，yzdzdx-z2dxdy,其中二是由曲面x2 y2 与yz =密2 -X2 - y2所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)od求级数二n =0(_1)n(n2 -n 1)六、(本题共2小题，每小题5 分,满分10分.)(1)设在0,匸：)上函数f (x)有连续导数，且f(x)_k 0, f(0) : 0,证明f (x)在(0,+二)内有且仅有一个零点设b a e,证明ab ba.Born to win因跨考敎肓严二J RUKAO EDUCATION七、(本题满

5、分8分)2 2 2已知二次型f (Xi, X2,X3)=2xi 3x2 - 3x3 - 2ax?X3(a - 0),通过正交变换化成标准形2 2 2 f二yi 2y2 5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、(本题满分6分)设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n : m , E是n阶单位矩阵，若AB = E ,证明 B的列向量组线性无关九、(本题满分6分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数 v沿y轴正向运动.物体B从点(_1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向 A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方 程,并写出初始条件十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分

6、，把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .(2) 设随机变量 X服从(0, 2)上的均匀分布，则随机变量 Y = X 2在(0,4)内的概率分布密度 fY(y) =.十一、(本题满分6分)1设随机变量X的概率分布密度为 f (x) e4,： x .(1) 求X的数学期望E(X)和方差D(X).(2) 求X与|X |的协方差，并问X与| X |是否不相关？(3) 问X与|X |是否相互独立？为什么？3国跨考敎育护匚二J RUKAO EDUCATIONBorn to win1993年全国硕士研究生入

7、学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.)1(1)【答案】0：x 4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性将函数F(x)= ：(2 -Jjdt,两边对x求导，得 F(x)=2-_J.1_ 1若函数F (x)严格单调减少,则F (x) = 2， 0,即、x.Vx21所以函数F(x)单调减少区间为0*x乞丄.4【相关知识点】函数的单调性：设函数 y = f (x)在a, b上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内f (x) O那么函数y = f(x)在a, b上单调增加; 如果在(a,b)内f (x) ：0,那么函数y二f (x)在a,

8、b上单调减少【答案】【解析】先写出旋转面 S的方程：3(x 02 3,3 2?|n| J(2 +(4応,+(6丘 j2【答案】一二 z2) 2y2 =12.令F(x, y, z) =3(x2 z2) 2y2 -12.则S在点(x, y, z)的法向量为F ;:F 干n,6x,4y,6zf,I x :y ；z所以在点(0, 、3,、2)处的法向量为n =二 0,4 =3,6 V20,23,3、.刃.因指向外侧，故应取正号，单位法向量为51 ：02、3,3、2；=-0, 2,、3?. 305囱跨考敎肓严二J KUKAO EDUCATIONBorn to win【解析】按傅式系数的积分表达式bn =

9、丄f (x)sin nxdx ,兀-Ji1 二2二11;.2所以b3(二 x x )sin 3xdx = xsin 3xdxx sin 3xdx 兀ttn t因为x2sin3x为奇函数，所以x2sin 3xdx =0 ;5xsin3xdx为偶函数，所以b =xsin 3xdx = 2 xs in 3xdx0=2 o xd(*cos3x) * 2xo cos3xdx7TT2 -2 sin3x 2_Tt + I = J3 3 IL 3o 3【答案】1x2y2z2【解析】先计算u的梯度，再计算该梯度的散度.因为uuugrad u i jexdydz所以-A 1盘2口2口2cu cu cu 已u丄$

10、u丄 udiv(gradu)=div,= + +2J x : y : z x y : z数量场二ln打x2 y2 z2分另【J对x, y, z求偏导数，得.:u1x x2y2z212 x2y2z22x由对称性知；:uy：y x2 y2 z2分别对x, y, z求偏导，得:z/z 2.2.:u (x yc 2:xz2) x 2xy2z2 x2/ 2 . 2 . 22(x y z )/ 2 . 2 . 2、2 (x y z )囱跨考敎育雾匚二J RUAKAO EDUCATIONBorn to win_U:y22 2 2 2:u xy -z,.:z(xy z )222z x - y；22FT2(x

11、y z )2 2 2U ； U j u1因此， div (grad u) = +2 +2 = 22excydzx+y+z(5)【答案】k(1,1川,1)T【解析】因为r(A)二n -1,由n - r(A) =1知，齐次方程组的基础解系为一个向量，故Ax =0的通解形式为 k .下面根据已知条件“ A的各行元素之和均为零”来分析推导Ax = 0的一个非零解，它就是Ax = 0的基础解系各行元素的和均为 0,即严2! +a22 川 +a2n =0iiiiiiniiiiiiiiiiiniii+an2 川 +ann =0#而齐次方程组Ax = 0为+H+ainxi =0&2必 +a22X2 十川 +a

12、2nXn =0IHIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIaMX1 an2X2 川 annXn =0两者比较,可知x, = x2 = 11( = xn =1是Ax = 0的解.所以应填k(1,1川,1)T.二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】lim丄也为“ 0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在 xT g(x)0运用洛必达法则，有XXf gm-.H Xsin x2* sin(t )dt 洛 sin (sin 2 x) cosx= limx J0c 2,33x 4x2sin (si n x)c 2 丄 3-3x 4xlim

13、 cosxx 0二 limx0sin (si n x)33x 4x因为当 x 0 , sin Xr 0,所以 sin(sin 2 x) L sin2 x _ x2,所以因跨考敎育严二J RUKAO EDUCATIONBorn to win9lim 亦捫2 X)Jim 2X2 厂 lim 丄二 x)0 3x2 4x3 x 0 3x2 4x3 x 0 3 4x 3所以f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量应选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中，： (x), - (x)为无穷小且存在极限lim匚凶二I ,B(x)(1)若丨=0,称:(x), -(x)在该极限过程中为同阶无穷

14、小； 若丨=1,称：(x)(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为：(x)U - (x)； 若丨=0,称在该极限过程中：(x)是-(x)的高阶无穷小，记为(x)=o -(x) 若lim .(x)不存在(不为：),称.J(x), ：(x)不可比较. P(x)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对称,(如草图)只需计算所围图形在第一象限部分的面积;双纽线的直角坐标方程复杂，而极坐标方程较为简单：严=cos2显然,在第一象限部分-的变化范围是齐兀 0,.再由对称性得41 二S = 43 =4 o4 ?2d应选(A).【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题L1与L2的方

15、向向量分别是44 ih =(1,-2,1), 10j-12k0 =(-1,-1,2),1L1与L2的夹角的余弦为因跨考敎肓KUKAO EDUCATIONBorn to wincos =| cos(li2) |2,山 IHI 4646 2 所以，应选(C).3【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上，该曲线积分与路径无关二丄(f (x)-ex)sin y) =：(_f(x)cos y),.y；x即(f (x) -ex)cos y =-f (x)cos y ,化简得f (x) f(x)二 ex，即|ex f (x) = e2x,11解之得exf (x)e2x C，所以 f (x) =e(e2x

16、 C).2211由 f (0) =0 得 C = 2 因此 f (x) =?(ex e)，故应选(B).【相关知识点】曲线积分 LPdx Qdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是沪_ g L、L、:y伙【答案】(C)【解析】若 A是m n矩阵，B是n s矩阵，AB=0,则r(A)，r(B)三n.当t =6时，矩阵的三行元素对应成比例，r(Q) =1,有r(P) r(Q)岂3,知r(P2,所以，r(P)可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当t=6时，矩阵的第一行和第三行元素对应成比例 ，r(Q) = 2,于是从r(P) r(Q3得r(P)，又因P=0,有r(P) -1,从而

17、r(P)=1必成立，所以应当选(C).三、(本题共3小题，每小题5 分,满分15分.)1(1)【解析】令 t,则当X时,t- 0,xlim(sin - cosxx厂xx1二 lim(sin 2t cost)t,11这是1：:型未定式因跨考数肓护匚二J KUAKAO EDUCATIONBorn to win1lim(sin 2t cost)t = lim(1 sin 2t cost-1)sin2t cost1而 lim(1 - sin 2t - cost -1)sin2t cost J 是两个重要极限之一，即sin2t -cost J所以1lim(1 sin 2t cost -1)sin2t c

18、ostJe.1sin 2t 亠cost _jsin 2t：:cost _1limlim(sin 2t cost )t = lim e t=et 0 tt_0t_0sin2t cost -12cos2t -sintlim洛 lim2,t0tt_plim(sin - cos =e2. xr x x【解析】方法x一?dx = 2 xd ex -1 = 2x , ex 一1 一 2ex 一 1dx.,ex-1QLplX令、ex1=t,则 x = ln(t2 1),dxt2 +1所以ft沉=2 亠 dt t2 11= 2()dt15所以方法所以x3dx 二(t2 1)ln(t2 12 dt=2 M 1)

19、dtt2 1=2t -2arctant C = 2 , ex -1 -2arctan , ex -1 C ,xxedx = 2x ex -1 -2 ex -1dx 、ex -1=2x .ex-1-4, ex-1 4arctan .ex-1 C.:令.ex -1 = t,则ex = t2 1,x = In(t2 1),dx 二t 2222t= 2tl n(t1)-2 tdl n(t 1) = 2tl n(t 1)-4 2 dt .t +1关于t21t dt的求解同方法一，所以xxedx = 2t In(t2 1) 4(t arctant) C ex -1= 2xjex -1 -4牯-1 +4ar

20、ctan Jex _1 +C .(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程，两边除以y2得x2y2y xyA =1,即-x2(yJf xyJ =1.x2.-z,则方程化为-X2Z、XZ=1,即-z-xz .1()3 ,x x积分得z 12x C.x 21 1=z得x C ,xy 22xy 一 1 2Cx2代入初始条件y |x = 1,得1 2xC2所以所求方程的特解是“口解法二：所给方程可写成y =(-)2 -的形式，此方程为齐次方程x x令=u ,则y = xu, yu xu ,所以方程可化为 xu xu = u2 - u ,分离变量得dudxu(u-2) x积分得 ln | ln | x

21、| +G , 即=Cxi以上=u代入上式，得y -2x二Cx2y.代入初始条件yr 1,得C = -1, x2x故特解为y2 .1 +x四、(本题满分6分)【解析】将I表成I二 Pdydz - Qdzdx - Rdxdy,则y=2z z 2z = z.又匕是封闭曲面，可直接用高斯公式计算.记3围成区域门,见草图，三取外侧，由高斯公式得dV 二I i .i zdV. Q同跨考敎肓护匚二J KUAKAO EDUCATIONBorn to win用球坐标变换求这个三重积分在球坐标变换下，门为：0“：；：；2二，0乞冬x 2 ,于是4:iiizdV = d；d：. :as 22sin d、Q 、0L0

22、L02 3=2二 0f (x) - f (0) = f ( )(x -0) =xf (),即 f (xxf ( ) f (0).si n ds in； i d ?ay4a e),则 fx) =ln a 空.x因为 x a -e,所以 lna 1,- ： 1,故 f (x) =1 na-空 0.xx从而f(x)在x a - e时为严格的单调递增函数，故 f (x) f (a) =0, (x a e).由此 f(b)二 bl naal nb 0,即 ab ba.证法二：令 f(x (x e),则 f (x) =.xx当x (e, 二)时，f (x) ： 0 ,所以f (x)为严格的单调递减函数，故

23、存在b a e使得f(b)ln b:f(a)二ln a成立.即ab ba.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型2 0f的矩阵为A = 03,0 a0a ,它的特征方程是3几-2| 丸 E-A|=000 0_r 22丸一3_a =(丸_2)(丸 _6扎+9 a )=0.-a九一32 2 2f经正交变换化成标准形f = % 2y2 5y3,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A的特征值.把星=1代入特性方程，得a2 -4 = 0 = a二2.因a0知a =2.这时A =a0i00 123对于 “ =1,由(E -A)x = 0,对于2 =2 ,由(2E -A)x =0,000对于 3 =5,由

24、(5E A)x = 0,z301将Xi,X2,X3单位化，得故所用的正交变换矩阵为0-2-202-20-2-20-2-10、-220、1 ,得 X1 = (0,1 1)T .00卫z30223 ,得 X2 =(1,0,0)T.0-1 ,得 X3=(0,1,1)T.00Y1，八石1*2 =0101=2P=( 1, 2, 3)=0121201n1【相关知识点】 二次型的定义：含有n个变量X1,X2H , Xn的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式）n nf (X1,X2,ill,Xn 尸送送 ajXXj,其中 aj =aji ,i# j #称为n元二次型.令X二N,X2,HI,Xn T , A二

25、aij ,则二次型可用矩阵乘法表示为f X1,X2,l,Xn = XT AX,其中A是对称矩阵 AT二A ,称A为二次型f X1,X2,HI,Xn的矩阵.Born to win八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B按列分块,记BNsNLn)，若ki ：1 2 | kn ：n =0,kif 川，Pn) k2 =0,亦即k2%、k2两边左乘A,得AB ? = 0 ,即 +kn丿k2*h=0,亦即k2*b=0kn Jkn )所以-仆-2h n线性无关.证法二：因为B是m n矩阵，n ： m ,所以r(B)辽n .又因r(B) r(AB)二r(E)二n,故r(B)二n.所以川订线性无关.【相关知识点

26、】1.向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数 k1,k2, |,km,使ki：1人2 111 km：m=0,则称12l(m线性相关；否则,称：，12I (m线性无关.2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分6分)【解析】如图，设当A运动到(0,Y)时，B运动到(x,y).由B的方向始终指向A,有史=Y ,即dx x -0dyY = y _ x _dx(1)又由v竺,2vdty -4IAk1J0dx由题意，x(t)单调增， 0 ,所以dtdx dtdY.亦即dt1,23dxdY2xy . 1 y2 =0.由(1),(2)消去Y ,叟，便得微分方程dx初始条件

27、显然是 y( 一1) = 0, y (一1) = 1.十、填空题(本题共2小题，每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1)【解析】可以用古典概型，也可以用抽签原理.方法一：从直观上看，第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关，所以考虑用全概率公式计算.2 10设事件Bi二“第i次抽出次品” i =1,2，由已知得P(B.),P(BJ,12 121 21111P(B21 B1), P(B2 | B1).应用全概率公式2 1 10 2 1P(B沪印迪旧)P(B1)P(B2|B1)兀石也不6方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽

28、样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得2 1次品的概率相同，都是12 6(2)【解析】方法一：可以用分布函数法，即先求出分布函数，再求导得到概率密度函数由已知条件，X在区间(0,2)上服从均匀分布，得X的概率密度函数为Fx(x)= 20,其它先求F的分布函数Fy(y)二P(Y乞y)二P(X2乞y).当 y 乞0时，FY(y);当 y -4时，FY(y) =1 ；当 0 ： y : 4时,FY(y)二 PY 曲 gplx2 乞 y .； = p1 J G0,2._：Fx(x)dx = Odx V1dx-J J77y - 4.于是,对分布函数求导得密度函数, ： y ： 4 fY(y)二 Fy( y) = 4 *；yh(y) =1=恒不为零2、y,因此，由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量 丫的概率f,其他2故随机变量Y=X在(,4)内的概率分布密度1方法