(完整版)立体几何知识点总结完整版

1、立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。5理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量

2、积公式.6了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图7空间平行与垂直关系的论证 8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。【知识络构建】专间

3、儿何体空问点仁n线、平面ft置关系 翅MJL何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 I吩间儿何体的三视图和吒现图宀VIHI向虽与7口?十 引去十门=；(2) 线面垂直丄贯口4(10戊=切0口= 也尹 ,=肪耳C tc：(引面面平行1gur也疗=汽0色=辿9旣=辻豪C;=Ti(4)面面垂亘卫丄口圧丄TUmY=Clo上丢十粘乩-I务=：】.17例6、如图，平面 PAC丄平面ABC , ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E, F, O分别为PA, PB , AC的中点，AC= 16 , FA= PC = 10.(2)证明：在厶ABO内存在一点 M，使FM丄平面BOE.【方法技巧】1 用向量法来

4、证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方 体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误.(0,0,0)不能作为法向量.2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意考点七利用空间向量求角b |=器.1 向量法求异面直线所成的角:若异面直线a, b的方向向量分别为a, b，异面直线所成的角为0则cos0=|cosa,2.向量法求线面所成的角:求出平面的法向量n,直线的方向向量a,设线面所成的角为 0,则sin 0= |cos =求出二面角 aI 3. 向量法求二面角:B的两个半平面 a与B的法向量n1,

5、n2,若二面角 a l B所成的角贝U cos 0= |cos n1.|n1 n2|n2 |= |n1|n2|；若二面角a l B所成的角0为钝角,则 cos0= |COSn1, n2 =黑.例7、如图，在四棱锥 P ABCD中，PA丄平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， AB = 2,Z BAD = 60(1)求证：BD丄平面PAC ;若PA= AB,求PB与AC所成角的余弦值；当平面PBC与平面PDC垂直时，求 PA的长.考点八 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把 是否存在”问题，转化

6、为 点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例8、如图，在三棱锥 P ABC中，AB= AC, D为BC的中点，P0丄平面 ABC，垂足 O落在线段 AD 上.(1)证明：API BC;(2)在线段AP上是否存在点 M,使得二面角A MC B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【难点探究】难点一空间几何体的表面积和体积例1、(1) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A . 48B. 32+8.17C . 48+8 .17D. 80某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. n+ 12C. 9 n

7、+ 42B.2兀+ 18D. 36183止视图左猊图侧视图难点二球与多面体俯视图例2、已知球的直径SC= 4, A, B是该球球面上的两点,AB = V3，/ ASC=Z BSC= 30 则棱锥 S ABC 的体积为()B. 2 .3【解题规律与技巧】【历届高考真题】【2012年高考试题】-、选择题(A)6(B) 9(C)(D)2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC= . 2。将沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

8、.D.对任意位置，三对直线“ AC与 BD”，“ AB与 CD，“ AD与 BC均不垂直3.【2012高考真题新课标理 11】已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2 ；则此棱锥的体积为（）(A)f (B)f (c)f (D)于【答案】A【解靳】的外接囲的半径尸=也,点O到面的距禽片，按二里SC为球O的直径n点到面-胡C的距离为山史此棱锥册仕丰口*盯 1 L1 占.-56 怎 住.辛毛、为j = $ 扌皮 w 国=”=3选4. 【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平

9、行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答S1C【解析】扎两直线可能平行，相交，异而故A不正确；民两平百平行或相交；U正确；沁两个平面平行或相交.5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面 内，过点O作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆O的 直径CD作平面 成45角的平面与半球面相交， 所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，该交线上的一点 P满足 BOP60，贝U A、P两点间的球面距离为（A、 RarccosAC、 R

10、arccosD、西理5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1 , CA CC1 2CB，则直线BCi与直线ABi夹角的【答案】A 【解析】根据题直，易知平酝期E丄平而叮乂少厶10尸二心一扭从心。尸手由弧长公式易得、朋点间的球面距韶为3TCCO5.6.【2012高考真题陕4余弦值为（5A.55B.-3D. 3【答案】A.【解析】设 |CB| a，则 |CA|g| 2a , A(2a,0,0), B(0,0,a),G(0,2a,0), Bi(0,2a, a),ABr ( 2a,2a, a),BG (0,2a, a) , cos AB1, BC1AB1 BCr|AB；|BC；|5，

11、故选A.57.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图A . 12 n B.45 n C.57 n D.81 n1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题.由几何体的正视图和测视圏均如图1所示知.眞 图下面图为圆柱或直四棱杜，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直縮的三棱柱，A, B, C都 可能是该几何体的1视圏，D不可能量该几何体的俯视圈，囲淘它的正视图上面应为如圈的 矩形-9. 【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为【答案】C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得V V圆锥 V圆

12、柱 33252 - 3232 5 57 .故选C.10. 2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球 B.三棱柱 C.正方形D.圆柱【答案】D.是等BS直角三角瑕 正方体三视图都杲正方形.可以拄除肚心覘选D.11. 2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1,吁2和a，且长为a的棱与长为.2的棱异面，贝U a的取值范围是(D) (1,- 3)(A) (0, ,2)( B) (0,-3)( C) (1,.2)【答案】A【解析】因为BE2 2(2)BE , AB 2BF2BE . 2，选 A ,12. 2012

13、高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（D. 60+125A. 28+6 5 B. 30+6 5C. 56+ 12 5【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得:S底10，S后 10，S右10, S左 6.5，因此该几何体表面积13. 2012高考真题全国卷理 4】已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CCi=2 2 E为CCi的中点,则直线AC1与平面B

14、ED的距离为（）A 2 B ,3 C .2 D 1【答案】D【解析】淳结ACBD交于点0 哇结OE ,因为。卫是中乩 所以OE ACJ且 OE =AC.,所N AC, BDE ,即直绽AC-与平面BED的距禽等于点C到平蔚BED的 距离,过匚傲于&则QF即为所求距离因为底面过长为凸高为2不，所以 3C 1/1 3 OC 近、CE * OE 2 ,所以利用等积法得CF二1 ,选D.、填空1412012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm3.【答案】i【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于11 2

15、1315.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体 ABCDABQ1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A,M与DN所成角的大小是【答案】-7【解柘】本题有两种育法，一、几何法；连S,则九亠ZXY, LDY,易知D-V-Mlpl/Dp BtUADN所成角的大小i-s二 坐标滄 建立空间直角坐标系.利用向屋的夹角公式计算得异面亘线斗m与“V所成角的大小是4-题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为16.【2012高考真【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,

16、所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 2(3 4 4 1 3 1) 21 1 23817. 2012高考真题山东理14】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别为线段 AABQ上的点，则三棱锥 D1 EDF的体积为【答勅6【解析】法一=因揃触衽址段七上，所以L车二灯弓 又因为F点在堤段鸟亡上，所以点产到平面DED的距离为1,即/?=!.所法二；使曲特殊点的位亘进行求解*不失一嚴性令E点在川点处，戸点在匚点.处,18.【2012高考真xDD, - - x丄xl xlx 1 =1 3 26题辽宁理16】已知正三棱锥 P ABC，点P，

17、A，B，C都在半径为 3的求面上，若FA，PB， PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为【答案】【解析】因为在正三棱锥 P ABC中,PA, PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P ABC在面ABC上的高。已知球的半径为.3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥 PABC在面 ABC上的高为 亠3，所以球心到截面ABC的距离为319.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为【答莉J

18、【解析】因齿半囿面的面积为2才=2仆 所収广=4,即7 =2,即圆谁的母线为i = 1 底面匮的周长2肿三切=，所UAlSffi的庭酝半径y 1所以罔维的高h = JF-J =忑,所以园锥的体和为2R卑=l/T/5 = 才.J_ll予-1Jjj题上海理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC20.【2012高考真若AD 2c ,且AB BDAC CD 2a，其中a、c为常数，则四面体 ABCD的体积的最大值是A为AD的中点，又2cm，则四棱锥【答案】2c：a2 c2 1。3【解析】过点 A做AE丄BC,垂足为E,连接DE,由AD丄BC可知，BC丄平面ADE ,12所以 V V

19、bade Vcade 1Sade BC=#Sade，33当AB=BD=AC=DC= a时，四面体 ABCD的体积最大。过E做EF丄DA，垂足为点 F，已知 EA=ED，所以 ADE为等腰三角形，所以点E2 2 2 2 2 2 2 2 .AE AB BE a 1 ,二 EF八 AE AF . a c 1 ,1:22 Sade = AD EF = c a c 1 ,22 2 i oo四面体ABCD体积的最大值Vmax Sade=C-a2 J 1。3 321.【2012高考江苏 7】（5分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB AD 3cm , AA BB1D1D的体积为 cm3.【答

20、案】6-【解析】T摂方体底面肿少是正污略曲7中cn, RD迦上的高是1/2 cm (它也是A-SB.Dfi中関D】D上的高).二四棱锥A-BS.D.D的体积为 1xX/2x2x-72=6,-22.【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 .【答案】92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是 S 2 1 (25) 4(25 4. 42(5 2)2) 492 .23.【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为 m3.俯视图【答案】18+9陌【解祈】根据三视图可知，这是一个上面沖长方体，下更

21、有两个亘径次巧的球构戚的组合飒 两个球的协积沏X处分=9巧 厉体的床积対1门恋二1乩所以该几何体32BAA i=CAA i =60。则异面直线 ABi 与 BCi真题全国卷理16】三菱柱ABC-A iBiCi中，底面边长和侧棱长都相等,所成角的余弦值为【答案】i8【解析】如ABi a b, BCi a1 a ?b a ?c b ?c 一2BC设AA| a, AB b, AC c,设棱长为a c-b ,因为底面边长和侧棱长都相等，且 BAAiCAAiABiv(a b)ABi ?BCi (a b)?(a c-b) 2，设异面直线的夹角为，所以cos600所以BCiABi ? BCiABi BCic

22、-b)22,6三、解答题27. 20i2高考真题湖北理i9】(本小题满分i2分)如图i, ACB 45, BC 3，过动点 A作AD BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿人。将厶ABD折起，使 BDC 90 (如图2所示).(I)当BD的长为多少时，三棱锥 A BCD的体积最大；(H)当三棱锥 A BCD的体积最大时，设点 E , M分别为棱BC , AC的中点，试在 棱CD上确定一点N，使得EN BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.DAC图2第i9题图【答第】(I)解法匚在如图1所示的.妇C中，设5)-r(0x=3-r.由 Q丄玫 厶CS“5*知* *4DC为等睡宜角三角形，

23、fiFrOJljW=CD = 5-x.由折起前 Q_BC知，折起后(如圏2) *9_D(?,，且RDrDCT -所以Q丄平面3CDZBDC = POi)所以=妙CD=*Jt0-打于是 匚十 土加斗 v) $ -的$ + 337。划12“G卫(3 x)T 2二 =,-12L3_3当且仅2i=3-.n即工=1时，等号咸立，故当工=1,乐加=1时三棱锥A-BCD的体积最大.解法2:同解法1,得VA1BCD3AD S BCD1-(3 x)3-x(32x)1 . 3- 2(x 6x69x).令 f (x)-(x3626x9x)，由 f1(x) 尹1)(x3)0，且 0 x3，解得x当 x (0,1)时,

24、f (x)0 ;当x(1,3)时，f (x)0所以当x 1时，f(x)取得最大值.故当BD 1时,三棱锥A BCD的体积最大.31（ID解袪h以D为原点，建立如圈占所示的空间直角坐标系D_z由（I ）知，当三棱黑七-BU7的体和最大时！ BD -L CD=2.于杲可得DQQ% 段仏QQ），C（12,0h 执0=6 2，“AU），丄仍，且勿=（-L 1. 0设机扎小 M7=（-tz-1:0）.因为EV丄3釈寺价于畐丽入 即(-1,0) (-l: l; 1 1-Z-O,故打(Q,f所以当DX=1 （專1是3的靠近点口的一个四等分点）时，V .设平SJ3MY的一个法向量対“gm 由汇壽严軌（7訓得*

25、，-f 可取 M =(L 2. -1).Y”设三V与平面弐“所成角的大小沖&.则由Zv =（-l?-laon =(1: 2 -1)可得11 & = co9C： - 0)邑即 = 60:.C图c图d第19题解答图故EN与平面BMN所成角的大小为60.解法2：由（I）知，当三棱锥 ABCD的体积最大时，BD 1 ,AD CD 2 .AD .如图b,取CD的中点F，连结 MF , BF , EF，贝U MF /由（I）知 AD 平面BCD，所以MF 平面BCD .如图c,延长FE至P点使得FP DB，连BP , DP，则四边形DBPF为正方形, 所以DP BF .取DF的中点N，连结EN，又E为FP

26、的中点，贝U EN / DP , 所以EN BF .因为MF 平面BCD，又EN 面BCD，所以 MF EN .又MF I BF F，所以EN 面BMF .又BM 面BMF，所以EN BM .因为EN BM当且仅当EN BF ,而点F是唯一的，所以点 N是唯一的.即当DN 1 （即N是CD的靠近点D的一个四等分点），EN BM .2连接MN , ME，由计算得 NB NM EB EM 5 ,2所以 NMB与厶EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG , NG ,则BM 平面EGN .在平面EGN中，过点E作EH GN于H ,则EH 平面BMN .故 ENH是E

27、N与平面 BMN所成的角.在厶EGN中，易得EG GN NE 2，所以 EGN是正三角形，2故 ENH 60，即EN与平面BMN所成角的大小为60.28. 2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分）1如图，直三棱柱 ABC A B1C1中，AC BC - AA1 ,2D是棱AA的中点，DC1 BD(1)证明：DC1 BC（2）求二面角ABD C1的大小.【答案】（i）在RtADAC中，AD = AC得匸 DC = 45：同理：=45= = ZCDC =90=得：z）q丄dc:dc丄月q = zg丄面卫切丄刀c（2）DC_5OH_ED得点.H与点D重仓且一 CQO杲二面角皓卫 G的平51

28、弟设 AC = a则C0= , CJ = 4ia =ZCjDO = 3029.【2012高考江苏gjt-fi曲-BD 一C；的大小背兀：16】（14分）如图，在直三棱柱ABC ABG中，ABi A , D ,E分别是棱BC,CCi上的点（点D不同于点C ）, 且AD DE，F为BiCi的中点.求证：（1）平面 ADE 平面BCC1B1 ；（2）直线AF II平面ADE .【答案】证明.(1) 丁占场G是直三樹.CG丄平S ABC又/ .-L&c平面 ABC, .Ca iADB又丫 Q丄DG CG DEu平面BCCB: g：宀DE=E冷D一平百 恥口耳.又丁 .Du平面ADE ,二平面.丄DE

29、一平面3CC. B.A3- - AC- , F为品匚的中点，肩F丄莓q又丫 CC.丄平面 AB.C.,且 tF C 平酝/. CC. _ .1 aC V+*V!T乂T UU RC 二平面 SCCB., CC?C, = C, -4 丄平面川西G a由(1)知.AD-平面RCg 【解析】(1)要又/ AD二平面 QE：斗F塔平面.ADE,二直AF 平面.虹疋证平面ADE 平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD 平面BCGR即可。它可由已知 ABC ABG是直三棱柱和AD DE证得。(2)要证直线 AF /平面ADE，只要证 AF /平面ADE上的AD即可。32.【2012高考真题北京理16】(

30、本小题共14分)如图 1,在 Rt ABC 中，/ C=90 BC=3 , AC=6 , D, E 分别是 AC , AB 上的点，且 DE / BC, DE=2，将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使 AQ丄CD,如图2.(I) 求证：A1C丄平面BCDE ;(II) 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III) 线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【答案】解：(1) Q CD DE , AE DEDE 平面ACD ,又Q AQ 平面ACD ,AQ DE又ACCD ,AiC平面BCDE 。(2)如图建系C xyz，则 D 2,0, 0 ,

31、 A 0 , 0, 2.3 ,B 0 ,3, 0 , E 2 , 2 , 0luir二 ABl uuur0 , 3 ,2 3 , A1E2, 1 , 0设平面ABE法向量为nunrA1B uuuiA1E3y 2 3z2x1, 2,3又1,0,. 31, 0 ,3uuuu rcos.14 313CM n-uuur|CM | |n|- CM与平面ABE所成角的大小45 。(3)设线段酣上存在点乩设F点坐标洵卩G 0 ,则“飞，3则 4?= l-Oi g -2羽卜 2P=(2S at 0)设平面DP法向莖为坷J- J畫Ja) -2/3z)-0I X、-dfl. =0 1V II假设平面SF写平面主百

32、垂直,则齐斤(), 3a-12石口一12, a时二不存在銭段孔上存在点.乩 使平面平面吗歷垂弍rrA理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥 PABCDABCD , FA = 2 .6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点.(I )证明：MN / 平面 ABCD ;(H )过点A作AQ丄PC,垂足为点 Q,求二面角33.【2012高考真题浙江中，底面是边长为 2 3的菱形，且/ BAD = 120且PA丄平面AMN Q的平面角的余弦值.【答案】(I )如图连接BD . M , N分别为PB, PD的中点,在 PBD 中，MN / BD .又MN 平面ABCD , MN / 平面 AB

33、CD ;(n)如图建系:0)，P(0，0，26)，M(,I , 0),RN( 3 ,0, 0),C( 3设 Q(x ,uuuy , z),则CQuuuPPL/ CQCP (3 ,LPLTuuuumr由OQCPOQ即：Q(2 3 22 ,2 6)A(0，0，3 ,2.6 ),3, 0).(x .3, yuuuCP 0 ,得:(第 203,z), CP ( ,3, 3, 2 6). Q( 3,3 , 3 3 ,2.6 ).对于平面设其袪向重沏耳（凸叽初=（一芽，4s 蔵=（岳山0）.同理对于平面曲得旦法向量v = （75 L 一晶.记所求二面埔A1KC的平面角丈小齿4二所求二而角L越F的平而角的余

34、往值为匹.*40. 2012高考真题湖南理18】（本小题满分12分）如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中，PA丄平面 ABCD , AB=4 , BC=3 , AD=5，/ DAB= / ABC=90 , E 是 CD 的中占八、-（I）证明：CD丄平面PAE;（n）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD的体积.【答案】解法1（ I如图（D）,连接AC由AB=4, 5C = 3,厶4占匸=90：得TC二至又D=5jE是CD的中点，所以CD *花一V旳一平面討处CD匚平EJ5CP,所以ET _ 3.而尸TJE是平面FAE內的两条相交直銭，所狠CD丄

35、平而FAE.C II ）过蠱E作眉G C0分别母匹/D相交于F；G；连按戸戸一由（I） CD丄平ffi FAE M- B G平面FAE-于是-EFF九直线F日与平面FAE所成的:,且BG-AE.AB 4, AG 2,BGAF ,由题意，知PBABPF,PABF因为sin PBA,sin BPF,所以PABF.PBPBPA 平面ABCD知， PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.由 DAB ABC90知，AD/BC,又BG/CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GDBC 3.于是 AG 2.在 RtABAG 中，AB4, AG 2,BGAF,所以BG AB2 AG22 .5,BFAB2BG1

36、6 8.52、55是PA BF詈又梯形ABCD的面积为S1-(53)16,所以四棱锥P ABCD的体积为V - S PA -33168.55128 -51535y解法2:如图（2）,以A为坐标原点，AB, AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PA h,则相关的各点坐标为:A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2,4,0), P(0,0, h).(I )易知 CD = (-4:1 OX=(2:4: OX AP = (0:0: ；0.C3-a = -8 + S0 = 0TCP J? = 0,所UACDi迟而沖,4 是平面F1E内

37、的两条相交直线，所以CD _平面丹E（II）由题设和（I ）知，苛工？分别量平面PAE.平fflJSCD的法向墾 而丹与平面E匹所航的角和旳与平面仞所咸的角相等，所以uuur uuuuuu uuucos CD, PBcos PA, PB,即UUT PAuuu PBnurPAuuu PBuur PBUULT UUU CD PB uuur CDuuuCDuuu(4,2,0), AP(0,0,uuuh),由 PB (4,0,h),故由（I）知,16 0 0解得h0 0 h2h 16 h28、55又梯形ABCD的面积为S-（5 3） 416，所以四棱锥P ABCD的体积为3 $ PA 3 16 哼弩【

38、2011年高考试题】、选择题：1. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正 (主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A) 3(B)2 (C)1(D)0【答案】A【解析】对于，可以是放倒的三棱柱；容易判断可以(A)48(B)32+8 .(C) 48+8 .(D) 804. (2011年高考安徽卷理科 6) 个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为【答案】C【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为 2,下底为4，高

39、为4，。故S表 -厂5. (2011年高考辽宁卷理科 8)如图，四棱锥 S-ABCD的底面为正方形，SD丄底面ABCD，则下列结论中不正确的是()(A) AC 丄 SB(B) AB /平面 SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D) AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案】D御析：时于心因为D丄平面ABCD,所以DS丄AC因为四辺册ABCD为正方形，所读AC丄眦 故M丄平面ABD,因为岛二平面ABD,所以M丄骚 正确对于E：因为AB.-/CD,所以阴/？平面HD，对于设心0 = 0，因沟曲丄平面船5所以弘和SC在平面沏内的射彫为SOi PJZASC和ZC3Q

40、就是SA与呼面5BD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二着相壽,正瞞故选A& （2011年高考江西卷理科8）已知1 , 2 , 3是三个相互平行的平面. 平面1 , 2之间的距离为d1，平面2， 3之间的距离为d2 .直线I与1 ,2,3分别相交于P, P2, P3，那么RF2=F2B ”是d1 d2”的B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】C【解析】过点R作平面2的垂线g,交平面 2,3分别于点A、B两点,由两个平面平行的性质可知F2A /P3B,37所以證【故选C.9. （2011年高考湖南卷理科 3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 1229B.218 C. 942 D. 3618侧视图23俯视图图1答案：B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于 4 （3）33218。故选B10.（2011年高考广东卷理科7）如图I 3某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图323#都是矩形，则该几何体的体积为（）A.6、3 B.9、3C.12.3 D.18、3【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱,EA 平面 ABCD.V S平行四边形abcd ?h 322 1 3 9