数字信号处理基础

1、1.1 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 数字信号处理数字信号处理 1.3 数字滤波器数字滤波器 1.2 傅里叶变换傅里叶变换 信号信号 系统处理的是信号，但本质是信息系统处理的是信号，但本质是信息 红绿灯、红绿灯、ct、心电图、股票、心电图、股票k线图线图 幅度、频率、相位均可携带信息幅度、频率、相位均可携带信息 信号处理的目的是提取想要的信息信号处理的目的是提取想要的信息 正弦信号正弦信号: asin(2p pft+f f) 信号的分类信号的分类 2. 连续信号连续信号x(t)和离散信号和离散信号x(n) / 数字信号数字信号/序列序列 3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号

2、1. 确定性信号和随机信号确定性信号和随机信号 4. 能量信号和功率信号能量信号和功率信号 5. 一维信号、多维信号一维信号、多维信号 平稳和非平稳（时变）信号平稳和非平稳（时变）信号 )()(kttxtx)()(knnxnx n nxe 2 )( n nn n nx n p 2 )( 12 1 lim 离散信号离散信号( (序列序列) )的表示的表示 x(n)=1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3 )(nx n 1 2 1 -1 -101 2 3 1 )(tx11211 0 n ntt 丢失了具体的时间信息，丢失了具体的时间信息，只表明信号的先后顺序只表明信号的

3、先后顺序 图示法、图示法、 解析公式、解析公式、 数值集合数值集合 典型离散信号（序列）典型离散信号（序列） 1. 单位脉冲序列单位脉冲序列 00 01 n n n )( 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列 00 01 n n nu )( 3. 矩形序列矩形序列 otherwise 0 )( 0 11nn nr n h(n) 因果序列因果序列 最基本的窗函数最基本的窗函数 反映开关闭合反映开关闭合 4正弦型信号正弦型信号 )sin()( 0 fnanx 0 数字域频率数字域频率 t )sin()( 0 ftatx ntt txnx )()()sin( 0 fnta)sin( 0 fna 数字频率与

4、模拟频率的关系数字频率与模拟频率的关系 t s f s f f p 2 0 模拟角频率模拟角频率 是一个相对频率是一个相对频率 交流电信号、通信载波信号交流电信号、通信载波信号 5. 指数序列指数序列z,)(nanx n anu(n)：右边指数序列右边指数序列|a| 1序列有界序列有界 anu( n)：左边左边指数序列指数序列|a| 1序列有界序列有界 6. 复指数序列复指数序列 nj renx)()( njne r )sin(cosnjnr n ejw n复正弦信号傅里叶变换的基函数、系统的特征函数复正弦信号傅里叶变换的基函数、系统的特征函数 描述指数增长、衰减特性；如：生物繁衍、存款描述指

5、数增长、衰减特性；如：生物繁衍、存款 本息、大气传播、电路震荡本息、大气传播、电路震荡 a = re jw 1) ) 相加与相乘相加与相乘 x1(n) + x2(n) c x(n) 4) ) 位移（延时）位移（延时） x(n) x(n n) 离散信号（序列）的基本运算离散信号（序列）的基本运算 2) ) 翻转翻转 x(n) x( n) 3) ) 差分差分 )() 1()(nxnxnx ) 1()()(nxnxnx 1 z )(nx)(ny 单位延时单位延时 5) 卷积卷积 m mnhmxny)()()( )()()(nhnxny acc 卷积的实时处理卷积的实时处理 卷积的卷积的fft算法算法

6、 分段卷积分段卷积重叠相加法和重叠保留法重叠相加法和重叠保留法 h(n)为为m点点，将，将x(n)分为每段分为每段l点，点，l和和m的数量级相同的数量级相同 可得每段的卷积结果可得每段的卷积结果yi(n)为为l+m-1点，点，由于每段由于每段xi(n) 为为l点点，故相邻两段输出序列必然有故相邻两段输出序列必然有(m-1)个点发生重个点发生重 叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成 卷积结果卷积结果y(n)。 重叠相加法：重叠相加法： 重叠保留法：重叠保留法： 将将x(n)分段，每段分段，每段l个点个点, ,在每一段的前边补上前一段在每一段

7、的前边补上前一段 最后最后(m-1)个值，组成个值，组成l+m-1点序列点序列xi(n) 然后用然后用fft实现实现h(n)和和xi(n)的的l+m-1点点圆周卷积，卷积圆周卷积，卷积 结果的前结果的前(m-1)点发生混叠，舍去点发生混叠，舍去混叠混叠点点后，用每段后，用每段的的 后后l个值，首尾相接构成个值，首尾相接构成y(n)。 6) 抽取抽取(decimation)与与插值插值(interpolation) d为正整数为正整数是是x(n)的抽取序列的抽取序列 每每d个样值抽取一个个样值抽取一个 是是x(n)的插值序列的插值序列 每两个样值之间插入（每两个样值之间插入（i - -1）个零值

8、）个零值 i为正整数为正整数 时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽 时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩 选择合适的选择合适的i和和d，就能够任意地改变采样频率，就能够任意地改变采样频率fs 一般是先做一般是先做i倍插值，再做倍插值，再做d倍抽取倍抽取 x(dn) x(n/i) 需要先滤波器再进行抽取需要先滤波器再进行抽取 将待抽取序列的频谱限制在将待抽取序列的频谱限制在 范围内范围内 d p | d )(nxd)(nx )(nh p 0 1 d eh j|, )( )(nx )(nh )(nxi i )(nxe s f

9、s if s if p , |, )( 0 i i eh j )(nh i d )(nxid)(nx 使用一个低通虑波器使用一个低通虑波器 无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当 于经过一个线性于经过一个线性时变时变系统系统! 前置预前置预 滤波器滤波器 a/d 变换器变换器 数字信号数字信号 处理器处理器 d/a 变换器变换器 抗镜像抗镜像 滤波器滤波器 模拟模拟 xa(t) 模拟模拟 ya(t) 离散系统离散系统 y(n) = tx(n) 离散时离散时 间系统间系统 n x ny )()()()(nxbtnxatnbxnaxt 2121 2

10、. 时不变时不变 tx(n)=y(n)，tx (n-m)=y(n-m) 系统性质系统性质 1. 线性线性 lti (linear time-invariant) y(n)=2x(n)+3 / y(n) = imx(n) y(n)=x(2n) lsi (linear shift invariant) 3. 因果性因果性（causality） 系统系统n时刻的输出只与时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关时刻及以前的输入有关 因果的因果的lti：h(n)=0, n|a| 时其时其zt存在，存在， 其收敛域是半径为其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。的圆外区域。 |a| im z re z 1 k k

11、k za 1 1 )( k k za za za 1 1 1 za z ) 1()(kuakf k 1 1 za 3) ) 反因果序列反因果序列z变换及其收敛域变换及其收敛域 k kk zkuazf) 1()( az 反因果序列仅当反因果序列仅当 |z|a| 时其时其zt存在，存在， 其收敛域为半径为其收敛域为半径为|a|的圆内区域。的圆内区域。 a im z re z )() 1()(kuakubkf kk 4）双边序列的）双边序列的z变换及其收敛域变换及其收敛域 az z zb z bza 0 1 )( k kk k kk zazbzf 1 1 )( k k zb 1 1 zb az 0

12、1 )( k k az 1 1 az bz 双边序列当双边序列当|a|b|时其时其z变变 换存在，收敛域为换存在，收敛域为 |a|z|b|的环状区域的环状区域 im z re z 半径为半径为|b| 半径为半径为|a| 当当|a| |b|时没有公共收敛域，时没有公共收敛域， 即其即其z变换不存在！变换不存在！ 系统函数系统函数h(z) (transfer function, system function) j ez j zheh )()( z变换变换 零、极点图零、极点图 框图框图/流图流图 )(nh)(zh )( j eh 差分方程差分方程z变换变换 n n znhzh)()( )(zh

13、zz z 65 6 2 2 )2(6)()2(6) 1(5)(kekekykyky 21 2 651 61 zz z ze zy )( )( )()( 221 61651 zzezzzy 借助借助z变换，在系统的不同描述方法之间架起桥梁变换，在系统的不同描述方法之间架起桥梁 系统的因果、稳定性与系统的因果、稳定性与h(z)的收敛域的收敛域 因果：因果：n时刻的输出只与时刻的输出只与n和和n以前的输入有关以前的输入有关 因果系统的充要条件是因果系统的充要条件是h(n)是因果序列是因果序列 h(n)=0 n0 | zrx 系统系统h(n)是因果序列，则系统函数是因果序列，则系统函数h( (z) )

14、的收敛域为的收敛域为 稳定系统的充要条件是稳定系统的充要条件是h(n)绝对可和绝对可和 n nh| )(| 稳定：稳定：有界输入产生有界的输出有界输入产生有界的输出 稳定系统的系统函数稳定系统的系统函数h(z)的收敛域：的收敛域： 一定包括单位圆一定包括单位圆|z|=1，也就是，也就是h(e j)存在存在 n n znhzh)()( 因果且稳定因果且稳定 1| xx rzr 也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。 因果稳定系统的系统函数因果稳定系统的系统函数h(z)必须在从单位圆到必须在从单位圆到 的整个的整个z域内收敛，即域内收敛，即 h(n

15、)、h(z)、差分方程区分、差分方程区分iir和和fir系统系统 fir系统和系统和iir系统系统 fir iir iir(infinite impulse response) fir(finite impulse response) h(n) h(n)有限长有限长 )(5.0)(nunh n 12321)(nh h(z) h(z)没有极点没有极点 n k k k m k k k za zb zh 1 0 1 )( m k k kz bzh 0 )( 差分方程差分方程 差分方程一般是非递归型结构差分方程一般是非递归型结构 n k k m k k knyaknxbny 10 )()()( m k

16、 k knxbny 0 )()( 无限长无限长 有极点有极点 递归型结构递归型结构 fir系统一般采用非递归结构实现系统一般采用非递归结构实现 iir系统只能采用递归型结构实现系统只能采用递归型结构实现 )()()()(21ncxnbxnaxny )()()()(11ncxnbxnayny 有时有时fir系统也使用递归结构实现，可以提高计算效率系统也使用递归结构实现，可以提高计算效率 )()()()(11 1 lnxnxnx l ny )()()()(lnxnx l nyny 1 1 l点的滑动平均器：点的滑动平均器： )()()()()()(lnxlnxlnxnxnx l ny11 1 en

17、d 利用利用dft分析信号的频谱分析信号的频谱 双音多频信号（双音多频信号（dtmf）的检测）的检测 1-4-5-9 频域分析往往比时域分析更直观、容易频域分析往往比时域分析更直观、容易 n一、四种傅里叶变换之间的关系一、四种傅里叶变换之间的关系 n cft、cfs、dtft、dfs n二、利用二、利用dft分析连续非周期信号频谱分析连续非周期信号频谱 n 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 n三、三、dft参数选取参数选取 n采样定理采样定理 利用利用dft分析信号的频谱分析信号的频谱 连续连续 离散离散 非周期非周期 周期周期 时域函数时域函数 ft 频域函数频域函数

18、 变换：变换： 当基本信号为复正弦信号时，变换为傅里叶变换当基本信号为复正弦信号时，变换为傅里叶变换 把信号表示成一组基本信号的线性组合把信号表示成一组基本信号的线性组合 谱谱(spectrum)的概念的概念 连续时间、连续频率连续时间、连续频率 连续时间、离散频率连续时间、离散频率 离散时间、连续频率离散时间、连续频率 离散时间、离散频率离散时间、离散频率 - - - - 连续傅里叶变换（连续傅里叶变换（ft/cft） 连续傅里叶级数（连续傅里叶级数（cfs） 序列傅里叶变换（序列傅里叶变换（dtft） 离散傅里叶级数（离散傅里叶级数（dfs） 连续连续 离散离散 函数函数 1、傅里叶级数、

19、傅里叶级数( (cfs) - ) - 连续时间、离散频率连续时间、离散频率 周期信号周期信号(函数函数)分解成一系列谐波的线性组合分解成一系列谐波的线性组合 )( 0 jkx 0 0 2 2 0 0 0 0 0 )( 1 )( t t tjk dtetx t jkx k tjk ejkxtx 0 )()( 0 基频基频 00 2tp 时域连续、周期时域连续、周期 t 0 )(tx 0 t 0, 00 t 非周期信号对应连续频谱非周期信号对应连续频谱 频域非周期、离散频域非周期、离散 2、傅里叶变换、傅里叶变换( (cft) - ) - 连续时间、连续频谱连续时间、连续频谱 时域连续、非周期时域

20、连续、非周期 )( jx 0 t 0 )(tx dtetxjx tj )()( dejxtx tj )( 2 1 )( p 频域非周期、连续频域非周期、连续 对连续信号对连续信号x(t)等间隔采样得等间隔采样得x(n) 3、序列傅里叶变换、序列傅里叶变换( (dtft) - ) - 离散时间、连续频谱离散时间、连续频谱 p2p2 n njj enxex )()( p p p deexnx njj )( 2 1 )( 时域离散、非周期时域离散、非周期 t s p2 n 0 )(nx t )( j ex t 0 s s )( tj ex 频域周期、连续频域周期、连续 s f s ff 对连续频域进

21、行等间隔采样得离散频域对连续频域进行等间隔采样得离散频域x(k) 4、离散傅里叶级数离散傅里叶级数( (dfs) - ) - 离散时间、离散频谱离散时间、离散频谱 n 0 )( nx 0 t t 1 0 2 )( 1 )( n k nk n j ekx n nx p 1 0 2 )( )( n n nk n j enxkx p 时域的离散、周期时域的离散、周期 0 k t s p2 0 0 2 t p )( )( 0 kxex tjk 频域的周期、离散频域的周期、离散 时域周期点数时域周期点数 ttn 0 频域周期点数频域周期点数 0 stt0 周期序列可以用一个周期的值表示周期序列可以用一个

22、周期的值表示 t )(tx n )(nx n )( nx )( kx k )( jx cft dfs dtft )(kx k dft )( j ex p20 是是2 p p的的n等分等分 隐含周期性隐含周期性 n )(nx 取一个周期取一个周期 取一个周期取一个周期 )( 0 jkx 0 0 t 0 0 t 问题：问题：如何利用数字方法分析信号的频谱？如何利用数字方法分析信号的频谱？ dtetxxtx tj )()j ()( t tk tt dtetx t kxtx 0 j 0 )( 1 )()( n n enxexnx jj )( 1 0 2 j n n kn n enxkxnx p cft

23、 cfs dtft dft/dfs 在在dft中，时域和频域都是有限长的序列中，时域和频域都是有限长的序列 x = fft(x,n) x = ifft(x,n) x2 = fftshift(x) 频域坐标的标定频域坐标的标定 n点序列点序列 n = 0:n-1/n*2*pi; plot(n,x) n = 0:n-1/n *fs; plot(n,x) n = (0:n-1/n-0.5)*2*pi; plot(n,x2) n = (0:n-1/n -0.5)*fs; plot(n,x2) 0:n-1 采样定理采样定理/奈奎斯特定理奈奎斯特定理/香农定理香农定理 模拟信号模拟信号 数字信号数字信号

24、采样、量化采样、量化 t 0 被抽样信号被抽样信号 )(tf )( jf 0 被抽样信号的频谱被抽样信号的频谱 a h h )(tfs t 0 理想抽样信号理想抽样信号 s s )( jfs h h ta 0 理想抽样信号的频谱理想抽样信号的频谱 奈奎斯特频率：奈奎斯特频率： 奈奎斯特间隔：奈奎斯特间隔： 0 )( jfs s s s t1 s t 0 )( jh 2 s 2 s 0 0 )( jf 1 1 t ts2ts0ts 3ts )(tfs t 0 h(t) tsts ) 2 ( t sa s = t 0 )(tf = * 带通信号采样定理带通信号采样定理 量化位数与抗混叠滤波器阻带衰

25、减的关系量化位数与抗混叠滤波器阻带衰减的关系 使用使用dsp方法降低对抗混叠滤波器的要求方法降低对抗混叠滤波器的要求 max ff s 2 bs ff2 b=8位位as约约50db，12位时位时as约约74db / 16位位98db ).log( b s a25120 前置预前置预 滤波器滤波器 a/d 变换器变换器 xa(t)x(n) 一些典型信号的傅立叶变换一些典型信号的傅立叶变换( (cft) ) )(tg )(t)(2p ) 2 ( sa 1 )()( 00 p t 0 cos 离散傅里叶变换离散傅里叶变换( (dft) )的性质的性质 1、时域、时域/ /频域频域( (圆周圆周) )

26、移位性质移位性质 2、对偶性、对偶性/ /互易性互易性 mk n j ekx p 2 )( )()(nrmnx nn nl n j enx p2 )( )()(krlkx nn )()(kxnx )(nx )()(krkxn nn 反映了信号时域、频域之间的对称关系反映了信号时域、频域之间的对称关系 3、parseval 定理定理 1 0 2 1 0 2 | )(| 1 | )(| n k n n kx n nx 相变相变 = = 时移时移 4、( (圆周圆周) )共轭对称性质共轭对称性质 )(renx )(kx ep )(imnxj)(kx op )(nxep )(rekx )(nxop )

27、(imkxj )()(kxnx )(kx ep 实部实部( (圆周圆周) )偶对称，虚部偶对称，虚部( (圆周圆周) )奇对称奇对称 模模( (圆周圆周) )偶偶对称，相位对称，相位( (圆周圆周) )奇对称奇对称 5、( (圆周圆周) )卷积性质卷积性质圆周卷积与线性卷积的关系圆周卷积与线性卷积的关系 )()(kxkx 21 n)()( 21 nxnx)()(nxnx 21 节省节省dft的计算量的计算量 利用利用dft分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 )(nxn 加窗加窗 出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏 )(tx)(nx 抽样抽样 )(kx d

28、ft )j (x 0 a p2p2 )( j ex 0 p2p2 )( j exn 0 )(txa)( jx a )(nx)( j ex ft dtft )()8 . 0(10tu t 混叠失真混叠失真 )()( 11 nrnx)()( jj erex dtft dfs dft 频频 谱谱 泄泄 漏漏 栅栅 栏栏 效效 应应 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 1) 混叠现象的解决办法混叠现象的解决办法: : )(tx抗混滤波抗混滤波)( 0 tx 抽样抽样 )(nx0)(kx dft 0 a p2 p2 )( j 0 ex )j ( x 0 a )j ( x 0 a 0

29、 m m 增大采样频率增大采样频率fs，加抗混滤波器，加抗混滤波器 0 )( j er 0 )( j n ex n )(nrn 0 n )(nxn 0 0 )( j ex n )(nx 0 时域加窗时域加窗( (数据截断数据截断) )造成频谱泄漏现象造成频谱泄漏现象 2）泄漏现象（时域加窗对频谱的影响）泄漏现象（时域加窗对频谱的影响） )()()( jjj ewexex nn )()()()(nwnxnxnx nn 加窗加窗 泄漏现象减轻的方法泄漏现象减轻的方法: : n n p2 n p4 pp n p2 主瓣主瓣 旁瓣旁瓣旁瓣旁瓣 0 截取更长的数据、不要突截取更长的数据、不要突 然截断，

30、即选择渐变的窗函数然截断，即选择渐变的窗函数 矩形窗矩形窗 巴特列特窗（三角窗）巴特列特窗（三角窗） 汉宁窗（升余弦窗）汉宁窗（升余弦窗） 海明窗（改进的升余弦窗）海明窗（改进的升余弦窗） 布莱克曼窗（二阶升余弦窗）布莱克曼窗（二阶升余弦窗） 凯泽窗凯泽窗 是一个可以自由选择的参数，用于调整主瓣是一个可以自由选择的参数，用于调整主瓣 宽度和旁瓣的幅度宽度和旁瓣的幅度 3）栅栏现象：）栅栏现象： 1,.,1 , 0 ,| )( 2 nkexkx k n j np 就像通过栅栏看景象就像通过栅栏看景象. 解决栅栏现象的方法：解决栅栏现象的方法： f频率分辨率频率分辨率 0 1 t f t0信信号的

31、实际长度号的实际长度 序列后补零序列后补零 提高频率分辨率的方法？提高频率分辨率的方法？ )52. 0cos()48. 0cos()(nnnxpp )(kx dft参数选取参数选取 maxs 2 ff f t p 1 1. 2. 3. 抽样频率抽样频率: : 时间长度时间长度: : 抽样点数抽样点数: : t t n p 4. 截断窗的选取截断窗的选取 end 快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（fft） p 1 0 2 n n kn n enxkx j )()( 基基2、基、基4、分裂基算法、分裂基算法 wfta 、素因子算法、素因子算法、goertzel dft面临的问题面临的问题计算效率低计

32、算效率低 dit / dif 数字滤波器设计数字滤波器设计 选频滤波器选频滤波器: :能让某些频率分量通过，而完全拒绝能让某些频率分量通过，而完全拒绝 其他频率分量的系统。其他频率分量的系统。 滤波器广义定义滤波器广义定义: :任何能对频率进行修正的系统。任何能对频率进行修正的系统。 线性时不变的因果稳定的数字系统线性时不变的因果稳定的数字系统 数字滤波器的描述数字滤波器的描述 传递函数传递函数 h(z) 差分方程差分方程 单位冲激响应单位冲激响应 h(n) n k k m k k knyaknxbny 10 )()()( m mnhmx)()()()()(nhnxny n k k k m k

33、 k k za zb zh 1 0 1 )( 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 1. 从单位冲激响应的角度分类从单位冲激响应的角度分类 j ez j zheh )()( )( )()( jj n nj eehenh 频率响应频率响应 iir (infinite-duration impulse responses) fir (finite-duration impulse responses) n k k k m k k k za zb zh 1 0 1 )( 滤波器的阶数滤波器的阶数 )( j hp eh pp c c 1 )( j bp eh p p 1 c 1 2 c 1 c 2 c )

34、( j bs eh pp 1 c 1 2 c 1 c 2 c )( j lp eh pp c c 1 2.从频率响应的角度分类从频率响应的角度分类 低通低通(low pass filter)、高通、高通(high pass filter)、带通、带通 (band pass filter)、带阻、带阻(band stop filter) 全通全通 数字滤波器的性能参数数字滤波器的性能参数/设计指标设计指标 通带波纹通带波纹 rp(passband ripple) 阻带衰减阻带衰减 as (stopband attenuation) )1(log20 10pp r ss a 10 log20 截止

35、频率与通带边沿频率截止频率与通带边沿频率 数字频率与模拟频率数字频率与模拟频率 增益与衰减增益与衰减 滤波器类型的选择滤波器类型的选择 iir / fir 1) )从实现结构看，递归结构、极点、受有限字长影响大从实现结构看，递归结构、极点、受有限字长影响大 2) )从单位冲激响应看，有限长可以用从单位冲激响应看，有限长可以用fft快速运算快速运算 3) )从成本上看，从成本上看，iir可用较低阶数实现，系数少，存储可用较低阶数实现，系数少，存储 少，经济少，经济 4) )从设计方法看，可借助模拟滤波器设计工具要求不高从设计方法看，可借助模拟滤波器设计工具要求不高 5) )从所设计滤波器类型看，

36、从所设计滤波器类型看，iir只能设计片断常数性的只能设计片断常数性的 滤波器，滤波器，fir更灵活更灵活 6) )从使用要求看，从使用要求看，iir适用对相位要求不敏感的场合适用对相位要求不敏感的场合 fir数字滤波器设计数字滤波器设计 fir滤波器的特点滤波器的特点 4种线性相位种线性相位fir滤波器滤波器 1) 1) 极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； 2) 2) 可以使用可以使用fftfft算法实现过滤信号，从而提高效率算法实现过滤信号，从而提高效率 3) 3) 容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号容易获得严格的线性相位，避免被处理的

37、信号 产生相位失真。产生相位失真。 d d)( )( h(n)=h(n-1-n) )(nh 偶对称偶对称 奇对称奇对称 奇数奇数 偶数偶数 n 1、h(n)偶对称，偶对称，n为奇数为奇数 2、h(n)偶对称，偶对称，n为偶数为偶数 3、h(n)奇对称，奇对称，n为奇数为奇数 4、h(n)奇对称，奇对称，n为偶数为偶数 类型类型3、4只适用于设计特殊意义上的滤波器，如只适用于设计特殊意义上的滤波器，如 差分器、希尔伯特变换器等；差分器、希尔伯特变换器等； 类型类型2不能设计高通、带阻滤波器；一般来说，使不能设计高通、带阻滤波器；一般来说，使 用最多的是用最多的是h(n)偶对称、偶对称、n为奇数的

38、类型为奇数的类型1滤波器。滤波器。 fir滤波器系数的计算方法滤波器系数的计算方法 1）窗函数设计法）窗函数设计法 b = fir1(n,wn,type,window) )(nhd )( j d eh )()(nwnhd 设计原理简单，设计时运算量小设计原理简单，设计时运算量小 缺乏灵活性，不能精确控制通、阻带截止频率缺乏灵活性，不能精确控制通、阻带截止频率、通通 带波动，产生的系数多，性能和所选窗函数有关带波动，产生的系数多，性能和所选窗函数有关 窗函数基本参数的比较窗函数基本参数的比较 窗函数窗函数 窗性能指标窗性能指标加窗后滤波器性能加窗后滤波器性能 旁瓣峰值旁瓣峰值主瓣宽度主瓣宽度 过

39、渡带过渡带 宽度宽度 阻带最小阻带最小 衰减衰减 rectangula r -13 db-21 db bartlett -25 db-25 db hanning -31 db-44 db hamming -41 db-53 db blackman -57 db-74 db n p p4 n p p8 n p p8 n p p8 n p p12 n p p8 . 1 n p p2 . 4 n p p2 . 6 n p p6 . 6 n p p11 阻带衰减只与窗函数形状有关；过渡带宽度即和窗函阻带衰减只与窗函数形状有关；过渡带宽度即和窗函 数形状有关又和数形状有关又和n有关，随着有关，随着n的的

40、增大，增大，过渡带变窄过渡带变窄 b = fir2(n,f,m,window) 2）频率设计法）频率设计法 )()(khidftnh nk j d ehkh / | )()( p 2 )()(nwnh 直接从频域设计，能设计任意幅频响应的滤波器直接从频域设计，能设计任意幅频响应的滤波器 不能精确控制通、阻带边沿频率、通带波动，产不能精确控制通、阻带边沿频率、通带波动，产 生的系数较多生的系数较多 b = remez(n,f,m,weigh,ftype) 3）最优化设计法）最优化设计法 等波纹方法、切比雪夫逼近法、等波纹方法、切比雪夫逼近法、parks-mcclellan方法、方法、 最佳方法等

41、，最佳方法等，使实际滤波器与理想滤波器的逼近误差使实际滤波器与理想滤波器的逼近误差 在全频带区间上是均匀分布的在全频带区间上是均匀分布的. 可以精确控制通、阻带截止频率，通带、阻带波可以精确控制通、阻带截止频率，通带、阻带波 动，产生的系数最少动，产生的系数最少 有时估算的阶次有时估算的阶次n偏小，使设计结果达不到指标要偏小，使设计结果达不到指标要 求，所以必须检验设计结果，增大求，所以必须检验设计结果，增大n 1 2852 1320 10 )(. log ps sp n firpmord() firpm() fir滤波器实现结构滤波器实现结构 一、一、 fir数字滤波器的直接型结构数字滤波器

42、的直接型结构 k k m k n m n zbznhzh 00 )( m+1个乘法器个乘法器，m个延迟器个延迟器 m阶阶fir数字滤波器数字滤波器 xn yn 二、线性相位二、线性相位firfir数字滤波器结构数字滤波器结构 奇数个系数奇数个系数 利用线性相位利用线性相位fir hn的对称特性的对称特性： hn= hm n 相同系数的共用乘法器，省略近一半的乘法器相同系数的共用乘法器，省略近一半的乘法器 xn yn 偶数个系数偶数个系数 相同系数的共用乘法器，省略一半的乘法器相同系数的共用乘法器，省略一半的乘法器 xn yn 当当fir为窄带滤波器时，该结构运算效率高为窄带滤波器时，该结构运算

43、效率高 三、频率采样结构三、频率采样结构 四、四、fir数字滤波器的快速卷积结构数字滤波器的快速卷积结构 )(kx l-point dft l-point dft l-point idft )(nx )(ny )(kh )(ky )(nh 有两种分段卷积的办法有两种分段卷积的办法: : 重叠相加法和重叠保留法重叠相加法和重叠保留法 分段卷积法：分段卷积法：将将x(n)分成点数和分成点数和h(n)相仿的段，分别求相仿的段，分别求 出每段的卷积结果，然后用某种方式把它们合在一起，出每段的卷积结果，然后用某种方式把它们合在一起， 得到总的输出，每段的卷积均采用得到总的输出，每段的卷积均采用fft方法

44、。方法。 重叠相加法重叠相加法 设设h(n)的点数为的点数为m，将输入信号，将输入信号x(n)分为每段分为每段l点点 每段每段xi(n)为为l点，每段卷积结果点，每段卷积结果yi(n)为为l+m-1点，故点，故 相邻两段输出必有相邻两段输出必有(m-1)点重叠，将前段后点重叠，将前段后(m-1)点和点和 后段前后段前(m-1)点相加再和不重叠部分共同组成结果点相加再和不重叠部分共同组成结果y(n) 特殊的特殊的fir滤波器滤波器滑动平均滤波器滑动平均滤波器 )()()()(11 1 nnxnxnx n ny )(nh )(zh 平均滤波器的幅频响应平均滤波器的幅频响应 h,w = freqz(

45、b,a) 零极点图零极点图 zplane(b,a) 其他0 1101nnn,/ 1 0 1 n n n z n 1 1 11 z z n n iir数字数字滤波器的特点滤波器的特点 很难实现线很难实现线性相位，因为性相位，因为h(n)无限长，做不到对称无限长，做不到对称 由于递归特性，在相同性能下，阶数远比由于递归特性，在相同性能下，阶数远比fir的低！的低！ 由于存在极点，是递归结构，所以对有限字长敏感，由于存在极点，是递归结构，所以对有限字长敏感， 容易出现稳定性问题容易出现稳定性问题 iir数字滤波器设计数字滤波器设计 1. 通过模拟滤波器设计数字滤波器通过模拟滤波器设计数字滤波器 ii

46、r滤波器设计方法滤波器设计方法 模拟低通模拟低通 滤波器滤波器 模拟域模拟域 频率转换频率转换 s s 滤波器变换滤波器变换 s z 数字域数字域 频率转换频率转换 z z 模拟低通模拟低通 滤波器滤波器 滤波器变换滤波器变换 s z 这些典型的滤波器各有特点：这些典型的滤波器各有特点： 巴特沃思滤波器巴特沃思滤波器: :具有单调下降的幅频特性；具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器: :幅频特性在通带或者在阻带有波动，幅频特性在通带或者在阻带有波动， 可以提高选择性；可以提高选择性； 椭圆滤波器椭圆滤波器: :选择性相对前两种是最好的选择性相对前两种是最好的, ,在通带和阻在

47、通带和阻 带内均为等波纹幅频特性。带内均为等波纹幅频特性。 根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。 常用模拟原型滤波器有巴特沃思常用模拟原型滤波器有巴特沃思( (butterworth) )滤波器、滤波器、 切比雪夫切比雪夫( (chebyshev) )滤波器、椭圆滤波器、椭圆( (ellipse) )滤波器等滤波器等 冲激响应不变法冲激响应不变法 )(th)(sh)(zh)(nh 冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器( (例如，例如， 衰减特性很好的低通或带通滤波器衰减特性很好的低通或带通滤波器) )，而且高频衰减

48、，而且高频衰减 越快，混叠效应越小。越快，混叠效应越小。 冲激响应不变法的缺点：有频率响应的混叠效应冲激响应不变法的缺点：有频率响应的混叠效应 冲激响应不变法时域逼近良好，模拟频率冲激响应不变法时域逼近良好，模拟频率和数字和数字 频率频率之间呈线性关系之间呈线性关系=t。 bz,az = impinvar(b,a,fs) 模拟滤波器到数字滤波器的转换模拟滤波器到数字滤波器的转换 双线性变换法双线性变换法 采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴压缩到采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴压缩到 -/t/t 之间，再用之间，再用z = e st 转换到转换到z平面上平面上 使使s平面与平面与z平面建立

49、了一、一对应的单值关系，消除平面建立了一、一对应的单值关系，消除 了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象 1 1 1 12 z z t s 2 2 tan t 优点：消除了冲激响应不变法的混叠效应优点：消除了冲激响应不变法的混叠效应 缺点：存在严重的非线性频率变换缺点：存在严重的非线性频率变换 bz,az = bilinear(b,a,fs) 利用利用matlab计算计算iir系数系数 n,wn = buttord(wp,ws,rp,as) n,wn = cheb1ord(wp,ws,rp,as) n,wn = cheb2ord(wp,ws,rp,as) n,

50、wn = ellipord(wp,ws,rp,as) b,a = cheby1(n,rp,wn, ftype) b,a = butter(n,wn,ftype) b,a = cheby2(n,as,wn,ftype) b,a = ellip(n,rp,as,wn,ftype) n k k k m k k k za zb zh 0 0 )( ftype : low | bandpass | high | stop 2. 零、极点放置法零、极点放置法 通过在通过在z平面放置零点和极点的方法设计简单的平面放置零点和极点的方法设计简单的iir 滤波器，该方法简单直观，但准确性较差滤波器，该方法简单直观

51、，但准确性较差 单位圆附近的零点具有阻带的作用，零点距离单位单位圆附近的零点具有阻带的作用，零点距离单位 圆越近阻带衰减越大；单位圆附近的极点具有通带圆越近阻带衰减越大；单位圆附近的极点具有通带 的作用，极点距离单位圆越近通带的增益越高。的作用，极点距离单位圆越近通带的增益越高。 一、直接型结构一、直接型结构 直接直接i型型 n k k m r r knyaknxbny 10 )()()( 滤波器需要滤波器需要? ?个延时单元个延时单元? ? （n+m） iir滤波器实现结构滤波器实现结构 n k k k m i k k za zb zh 1 0 1 )( 直接直接ii型结构型结构 n k k

52、 k m i k k za zb zh 1 0 1 )( 交换级联子系统交换级联子系统 只需只需?级延迟单元级延迟单元 max(n,m) iir数字滤波器的直接型结构优缺点数字滤波器的直接型结构优缺点 n优点：简单直观优点：简单直观 n缺点：缺点： 1. . 改变某一个改变某一个ak 将影响所有的极点将影响所有的极点 2. . 改变某一个改变某一个bk 将影响所有的零点将影响所有的零点 3. . 对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象 对于三阶以上的对于三阶以上的iir滤波器，几乎都不采用直接型滤波器，几乎都不采用直接型 结构，而是采用级联型、并联型等

53、其它形式的结构结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构 2 2 1 1 2 2 1 10 1 )( zaza zbzbb zh 直接直接i型型直接直接ii型型 )2()1()2()1()()( 21210 nyanyanxbnxbnxbny )2()1()()( 210 nwbnwbnwbny z-1 a1 z-1 a2 b1 b2 b0 z-1 z-1 )(ny)(nx z-1a1 z-1 a2 b1 b2 b0)(ny)(nx )2()1()()( 21 nwanwanxnw 5 5次乘法，次乘法，4 4次加法，次加法，4 4个延时单元个延时单元 )(nw 5 5次乘法，次乘法，4 4

54、次加法，次加法，2 2个延时单元个延时单元 直接直接i/ii型的实现型的实现 二、二、iir数字滤波器的级联型结构数字滤波器的级联型结构 将滤波器系统函数将滤波器系统函数h(z)的分子和分母分解为的分子和分母分解为 一阶和二阶实系数因子之乘积的形式一阶和二阶实系数因子之乘积的形式 21 21 1 2 , 2 1 , 1 1 1 1 2 , 2 1 , 1 1 1 )1 ()1 ( )1 ()1 ( )( n k kk n k k m k kk m k k zzzp zzzz kzh )( 1 1 )( 1 2 , 2 1 , 1 2 , 2 1 , 1 1 zha zz zz azh i l

55、i ii ii l i 画出各二阶基本节的直接画出各二阶基本节的直接ii型结构，再将它们级联型结构，再将它们级联 二阶基本节二阶基本节 级联型结构信号流图级联型结构信号流图 基于直接基于直接ii型的型的级联型结构级联型结构 sos,g=tf2sos(b,a) )2()1()()( 210 nwbnwbnwbny )2()1()()( 21 nwanwanxnw sos = 1.0000 -0.1900 0 1.0000 -0.2500 0 1.0000 -0.3100 1.3161 1.0000 -1.0000 0.5000 )5.01( )3161.131.01( )25.01( )19.01( 21 21 1 1 zz zz z z iir数字滤波器的级联型结构优缺点数字滤波器的级联型结构优缺点 优点：优点： 1. .硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用硬件实现时，可以用一个二阶节进行时