2018年高考理科数学(全国I卷)试题及答案

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷)理科数学一、选择题：(本题有12小题，每小题5分，共60分。1、设 Z - ，贝Ul Z I =()1-ri?A. 0B.-C.1D.v2?2、 已知集合 A=x|x 2-x-20，则 CrA =()A、x|-1x2B、x|-1 x 2C、x|x2 D 、x|x 23、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是()A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农

2、村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S为等差数列an的前n项和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，则as =()A、-12 B 、-10 C 、10 D 、12A.y= -2xB.y= -x C.y=2x D.y=x6、在? ABC中,AD为BC边上的中线，E为AD的中点，贝U =()5、设函数f (x) =x3+ (a-1 ) x2+ax .若f (x)为奇函数，则曲线y= f (x)在点(0，0)处的切线方 程为()3A. -4 AB4 ACB.4 AB4 ACc.4 ACD.13+4 AB 4 AC7、某圆柱的高为2

3、,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 A, 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中，最短路径的长度为（）A. 2 vl7B. 2 v5C. 3D. 228.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为3的直线与C交于M, N两点，则扁=()9.已知函数f (x)=U* x Org (x) =f (x) +x+a,若g (x)存在2个零点，贝U a的取值范围是A.5B.6C.7D.8()A. -1, 0) B. 0, +x)C. -1, +x)D. 1, +x)10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何

4、图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB, AC. ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为 n,其余部分记为川。在整个图形中随机取一点，此点取自I, n,川的概率分别记为p , p2 , pa ,则()A. p 1 = p2B. p 1=paC. p 2=paD. p 1=p2+pa11. 已知双曲线C: ? - y 2=1 , O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交 点分别为M N.若AOMF为直角三角形,贝Z MNI =()A. 2B.3C.D.412. 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a

5、截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.4342二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。rz 2y 2013. 若x , y满足约束条件x-yl0则z=3x+2y的最大值为.y 014. 记S为数列 an的前n项和.若S = 2an+1,则S=15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种(用数字填写答案)16. 已知函数f (x) =2sinx+sin2x，贝U f(x)的最小值是.三. 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

6、作答。(一)必考题：共60分。17. (12 分)在平面四边形 ABCD中，/ AD(=90，Z A=45, AB=2, BD=5.(1) 求 cos/ ADB(2) 若 DC = .，求 BC18. （12 分）如图，四边形ABCD正方形，E，F分别为AD BC的中点，以DF为折痕把？DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF .(1) 证明：平面PEFL平面ABFD(2) 求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19. (12 分)?设椭圆C: ? + y 2=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A, B两点，点M的坐标为(2, 0)(1) 当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2) 设0

7、为坐标原点，证明：/ OMA=Z OMB.20、(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P (0P 1的解集；(2) 若x( 0, 1)时不等式f (x) x成立，求a的取值范围.绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案3、选择题1 . C7. B2. B3. A9. C&D二、填空题13. 614.6315. 164. B5 .D6. A10. A11 .B12

8、. A16.3. 32三、解答题BDABsin A sin ADB17 .解:由题设知，52所以5sinADBV2sin 45sinADB5由题设知，ADB90 ,所以cos ADB12. 23V255(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB(1)在 ABD中，由正弦定理得5BC2 BD2DC22 BDDCcosBDC25 82 52 2525.所以BC 5 18.解：(1)由已知可得，BFPF ,BFEF ,所以BF又BF 平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD 在厶BCD中，由余弦定理得平面PEF .(2)作PH EF，垂足为H 由(1)得,UUD以H为坐标原点，HF的方向为y轴

9、正方向,PH 平面 ABFD UUD|BF |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz.由(1)可得，DE PE.又 DP 2 , DE可得 PH - , EH 32 2则 H (0,0,0) , P(0,0,-2所以 PE 3 .又 PF 1 , EF 2，故 PE PF )，D(urn1,0) , DP(1,3),HP (0,0,2 2-3)为平面ABFD的法向量2设DP与平面ABFD所成角为，则sinuur uinHP DP| -HtU HtUF |HP|DP|2,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19.解：(1)由已知得F(1,0) , l的方程为x 1.由已知可得，点A的

10、坐标为(12)或(12 所以AM的方程为y 2x 2或y 2x 2 2 2(2)当I与x轴重合时，OMA OMB 0 .OMB .当I与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y k(x1)(k0) , AgyJ , B(X2, y2)，则 x 2 , X2直线MA，MB的斜率之和为kMA kMB%X12y2x2 2由y1k， y2kx2 k 得2kx1x2 3k (x1k|MB(X12)(X2X2) 4k2)k(x所以,Xi21)代入-2(2k24k2X22, X1X22k 1y2 11)x2则 2kx1x23k(x1从而kMA综上，KmbOMA

11、2 24k x 2k 22k222k21 .4k3 4k 12k30.8k3 4k2 -2 k210，故MA , MB的倾斜角互补OMB .x2) 4k.所以20.解：(1) 20件产品中恰有2件不合格品的概率为218217f (p) C202 p(1 p) 18p (1 p) 2C2p(1 令 f (p)f(p)2 .0.OMA_2 2C20 p (1x17P) (1OMB .P)18.因此10p).0,得 p 0.1 当 p (0,0.1)时，f (p)0；当 p (0.1,1)时，f (p) 0所以 f(p)的最大值点为Po0.1.(2)由(1)知，p 0.1 .(i) 令 Y表示余下的

12、180件产品中的不合格品件数，依题意知Y: B(180,0.1) , X 20 2 25Y，即X 40 25Y .所以 EX E(40 25Y)40 25EY 490.(ii) 如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX 400，故应该对余下的产品作检验.21 . 解:(1)i)f (x)的定义域为(0,) , f (x) 丄Xw 2，贝y f (X) 0，当且仅当a右a2 ,令f (X)-aa24、a(0,2)U (aa24 ;a 、a2(2520得，x4)时,若、a -2当X当xf 、a 42(2) 由2 dx ax 1x1时f (X) 0，所以f (x)在(0

13、,)单调递减.)时，f (x)0 ;f (x)0 .所以 f (x)在(0,a 、a 4、丿，2(p,)单调递减，在a一-4)单调递增.2(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当由于f (x)的两个极值点x , x2满足x2ax所以XX21，不妨设XX2，则X21 .由于f(xj f(X2)X1X2丄1X1X2In n In x2 a X2In x2X1X2In x2a X2X2所以 HXJ f(X2)X1 X22等价于X2X22lnX20.设函数g (x)2ln x(1)知,g (x)在(0,)单调递减，又g(1) 0 ,从而当x (1,)时，g(x) 0 .所以X2X22ln x2f (X

14、1)f(X2)X1 X222 解：(1)cossin得C2的直角坐标方程为(2)由(1)2y -.知C2是圆心为A( 1,0)，半径为2的圆.(X1)2由题设知,G是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为I1，y轴左边的射线为 J 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于I1与C2只有一个公共点且I2与C2有两个公共点，或I2与C2只有一个公共点且I1与C2有两个公共点当I1与C2只有一个公共点时，A到I1所在直线的距离为 2，所以121Jk2 1-故k -或k 0.经检验，当34k 0时，I1与C2没有公共点；当k -时，h与C2只有一个公共点，I2与C2有两个公共点3当I2与C2只有一个公共点时，A到I2所在直线的距离为2，所以12，故k 0或kVk214-经检验，当k 03时，I1与C2没有公共