(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

1、正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形 正余弦定理及三角形面积公式. 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形 知识点清单 一.正弦定理： 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外 接圆的直径，即a b c 2R （其中R是三角形外接圆的半径） sin A sin B si nC 2.变形： 1) a b c a b c sinsin si nC sin sin si nC 2）化边为角： a :b: c sin A: sin B : sin C - a si nA. b sin B a sin A

2、 J b sin B c sin C c sin C 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC 4 ）化角为边： sin A a ; J sin B b ; si nA a J 7 sin B b sin C c sin C c 5 ）化角为边： sin A a sin B b si nC c 2R 2R 2R 3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a, 解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn; b sin Bc sin C a sin A ;求出b与c c

3、 sin C 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理旦泄求出c边 c sin C 4. ABC中，已知锐角A,边b,贝U a bsin A时，B无解； a bsinA或a b时，B有一个解; bsin A a b时，B有两个解。 如：已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B（有一个解） 已知A 60 ,b 2,a23,求B（有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 .三角形面积 1. S abc labs inC 2 -bcsi nA 2 acs in

4、 B 2 1 2. S ABC -（a b c）r ,其中r是三角形内切圆半径 2 , 1 3. S abc P(P a)(p b)(p c),其中 p (a b c), 2 4. S abc 空,R为外接圆半径 4R 5. S ABC 2R2sin A si n Bsin C ,R 为外接圆半径 三.余弦定理 1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的2倍，即 a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B 2 2 2 cab 2abcosC b2 2 c 2 a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 .2 2

5、a b c 2ab 2.变形：cos A cosB cosC 注意整体代入，如：a2 c2 b2 ac cosB 2 3利用余弦定理判断三角形形状： 设a、b、c是C的角 、C的对边，贝U: 2:-I c2 +Zj2ccsA = B.: C.二 D. 2 T 题型4三角形形状的判断 例题 1 在厶 ABC中, a、b、c 满足 a+b+c =ab+bc+ac,则厶 ABC一定是（） A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 例题2在厶ABC中, A、B C所对的边分别是 a、b、c,且bcosB是acosC、ccosA 的等差中项. （1）求B的大小； （2）若a+ c =10

6、, b= 2,求厶ABC的面积. 变式训练 1、在厶ABC中，a, b, c分别是/ A,/ B,/C的对边，若a2+b2v孑，则厶ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形 2、已知a、b、c分别为 ABC三个内角 A B C的对边，acosC+3asinC b c= 0. 求A; (2)若 a= 2， ABC的面积为 3 求 b、c. 课后作业 1、设厶ABC的内角A、B、C所对边的长分别为 a、b、c,若b+ c= 2a，3sinA = 5sinB，则角 C=. nn 2、 A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b = 2,，则 ABC的面积

7、64 为. 3、 已知 ABC中,/ B= 45, AC= 4,则厶ABC面积的最大值为 . 4、在厶ABC中, a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c = 3bcosA, tanC = 3 4. 求tanB的值； (2)若c= 2,求厶ABC的面积. 1 5、在厶ABC中，设角 A B C的对边分别为a、b、c,且acosC+空。=b. 求角A的大小； 若a=15, b = 4,求边c的大小. 6在厶ABC中，/ A、/ B/C所对的边长分别是a、b、c. 若c= 2, C3，且 ABC的面积为.3,求a、b的值； (2)若 sinC + sin(B A) = sin2A，试判断厶 ABC的形状. 解题技巧 1. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角， 这是解题的难点，应引起注意. 2. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将