三角形中的最值问题

1、第42课三角形中的最值问题考占提要P八、J人匚二1掌握三角形的概念与基本性质.2能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题.基础自测1. ( ABC 中，cosA = V - 3sinA，则 A 的值为 30。或 90(22 ABC中，当A= 时，cosA 2cos- C取得最大值-_ 3 2 22.在 ABC 中,sin A: sinB:sinC 二 m:(m 1):2m，贝U m 的取值范围是 _m 冷_解 由 sin A: sin B : sin C = a : b : c = m : (m 1) : 2m ,1 令 a =mk,b = (m 1)k,c= 2mk，由

2、a b c,a c b，得 m23 .锐角三角形 ABC中，若A=2B，贝U B的取值范围是30ov B V 45o .4设R, r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则-的最大值为.2-1 .R25. 在 ABC中，内角A , B, C所对边的边长分别是 a,b,c，若b =3ac，则B的取值范围是 0旦w 120.6. 在 ABC中，若AB，则下列不等式中，正确的为 . sin AsinB ； cos Asin2B ； cos2AB ：= ab：= 2Rsi nA2Rsi nB：= si nAs in B，故正确；jincosAvcosBu si n( A) B，故正确(或由余弦函2

3、 2数在(0,二)上的单调性知正确)；由 cos2Acos2B= 1-2si n2A si n B aB，故正确.知识梳理1. 直角 ABC中，内角A , B, C所对边的边长分别是 a,b, c , C=90若内切圆的半a b -C径为r，则r ：22. 在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用.它们在处 理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用.例题解析例1已知直角三角形的周长为 1,求其面积的最大值.5.解析方法一设直角三角形的三边长为心扒 c.c 为斜边，则 ac * sioA fb c * cosA.又 abJt

4、-c= 1,:、sinA 4 cos A+1） 1 -， 彳1* * C si nA 4 cosjA 4- 1T三甫形面积S =寺应仃=匸却哮艺 siMgsA（sitiA+cosA+D2令 片 jiinA + giA=V5in （ A +手） 则 sinAcos-A = Z -.T ?! W （ 0 号）故A十于E （手，羽衣（1工 3尸J_上一 1 =丄门_ 2 ）4（7+1 泸 4（H D 41 广+1 八故当尸雄时.面积弘严+（1花倉）二上晋爲 注三设直角三角形的三边长为s札G ,为 斜边*则a +办+ f 1，即a十0-F丿左+ / 1 * : l = ci + b+、J/ 十 /+

5、/2ab.解之得g3-严* 故三角形面积朋寻空-*“Z4当且仪当a = b时等号成立.点评例 2 已知 ABC 中，a=1,b=2 .（1 ）求最小内角的最大值；（2）若厶ABC是锐角三角形，求第三边 c的取值范围.S+2c,解（1）由三角形三边关系得第三边c满足2 c 1,解得1 . c : 3，故最小内角为A.1 C 2,又 cosA 二b2 c2 -ac2 312bc4c 4-4(c 3) 4 c 4（当且仅当C = J3时等号成立），所以A W 30即最小内角的最大值为30（2）因为 ABC是锐角三角形，即 A , B,C三个角均为锐角，又因为av b,所以A v B,故只需说明B ,

6、 C为锐角即可.由B , C为锐角得0cOSB ：1,0 cosC : 1,0上上I2c 20：丄旦I41, - _ 解得、,3 ： c ”5 .1,点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件.另外 要注意变形的等价性，如“内角A为锐角=0 cosAc1 ”.例3 （2008江苏）求满足条件 AB = 2, AC二.2BC的厶ABC的面积的最大值. 解设 BC = X，则 AC = 2x .根据面积公式得 S.abc =1 AB BC sin B = x、. 1 - cos2 B ,根据余弦定理得AB2+BC2-AC24 + x2 -2x24-X2cosB =2AB

7、5C4x4x代入上式得128-(x2 -12)216由三角形三边关系有x 2x x 2,x 2、2x,解得 2 2-2 x 22 ,故当x2 =12,x=23时S abc取最大值点评 例4 如图，已知/ A=30 , P, Q分别在/ A的两边上, 时， APQ的面积最大？并求出 APQ的最大面积.PQ=2.当P, Q处于什么位置点评表示三角形的面积可米用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基已知 ABC的周长为6,|BC|,|CA|,|AB|成等比数列，求:（1） abc的面积s的最大值;（2） BA BC的取值范围.解 设| BC|,|CA|,| AB|依次为a, b, c,贝H

8、 a+b+c=6, b 2 = ac.本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数.2a c 6 _ b由b = ac 得0 ： b (当且仅当2ac2ac2ac 2环a=c时，等号成立)，故有0 ： B 3(1) S=】acsin B =-b2 sin B - 22 sin 3，即 Smax3 (当且仅当2223a=b= c时，等号成立);(2)BA BC=accosBa2c2-b(a c)2 -2ac -b222 2(6 -b) -3b2-(b 3)27 .： b 2, 2 BA BC ：18.（1）为不等式问题，（2）点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解. 为

9、函数问题.方法总结1三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据 余弦函数的单调性处理要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意 锐角三角形的角的关系.2三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定.3三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函 数，要注意自变量的范围.练习42三角形的最值问题班级姓名学号1.若直角三角形斜边的长 m （定值），则它的周长的最大值是 2 + 1）AB2.在锐角ABC中，若C 6，则-的取值范围是（_2，仝）解 AB sinC sin2BAC= 2coS3，而三，丿2空3sin B

10、 sin B64AC3.在 ABC中，若b二.2,a =1，则A的取值范围是0o卄/遷产十以必W12卡Qarc=2b,故7、亡成等差数列. 理+_（寺培 cqsB =2ac3(a2) 2ac-ac 2ac _ 1ButSac当且仅当时+等号成立.:Fl y=co胃工在（0兀）内是减函数*0B11.如图，正方形 ABCD的边长为a, E、F分别是边 BC、CD上的动点，/ EAF=30求厶AEF面积的最小值.解 设厶 AEF 的面积为 S,/ BAE=二（15oW rw 45o）,则由/ EAF=30 得/ DAF= 60“ 。.正方形ABCD的边长为a,AB在 Rt BAE 中，AE =COS

11、日在 RtA DAF 中,AFacosADar =cos(60)cos(60”)1 S AE AF sin EAF221aaasin30 =2 cos cos(60)4cosrcos(60)、1、罷、2cos2 v 2 3sin vcosv4cos)(cos sin2 222aacos2r. 3sin2二 112(2cos2sin 2 1222aa22aacos2 J一 3sin2v 12(lcos2v3s 巾 2R 12 22sin (2 30) 12sin(2 30 30) -24ac2由于 ABC面积_ 1acsin B ,又ac w1 / 2-(ac2) =4,i B屈 sin B w

12、,222当a =c时，两个不等式中等号同时成立，所以 ABC面积的最大值为备用题1直角 ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为 _ .2 -122232.在 ABC 中，已知 sin A + sin B = 5sin C,求证：sinC 0, C为锐角，而5c = a +b 2ab,22故 4c =2abcosC 5c cosC.4 cosC ,53 sinCw5点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过 程中.3.已知 ABC 的内角满足 sin B sin C 二 sin A(cos B - cosC).(1)求A ;(2)若厶ABC的面积为4

13、，求 ABC周长的最小值.解 (1) T sin B + sin C = sin A(cos B + cos C)t 由正、余茏定理可得 i 4-c = 卜牝简得声+抢占一胪即 = A 90： V A = 90 A寺AB X胚=4AB X AC二乳二三角形周长L = AB +AC + /AB? -|-AC2 A 2/AB AC +7ZAB AC =生(吃 + IX4.如图，边长为 a的正 ABC的中心为 O,过O任意作直线交 AB、AC于M、N ,1 1求 22的最大值和最小值.OM ON答案最大值2a最小值52 .a5 .如图/ A = 90 / B = , AH = h, , h 为常数，

14、AH 丄 BC 于 H，/ AHE= /AHD = X,问当x取何值时， DEH的面积最大？并求出最大面积.A仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken erwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu k