【初三】线段、角的和差倍分

1、初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段 或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。一. 转化为证明相等的一般方法通过作图转化1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）分解法把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量合成法一一作出两个小量的和，证它与大量相等2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的 2倍折半法一一作出大量的一半，证它与小量相等加倍法作出小量的2倍，证它与大量相等应用有关定理转化1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半3. 直角

2、三角形中，含 30度的角所对的直角边等于斜边的一半4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为 2 : 17. 有关比例线段定理二. 用代数恒等式的证明1. 由左证到右或由右证到左2. 左右两边分别化简为同一个第三式3. 证明左边减去右边的差为零4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知： ABC中，/ B = 2/ C, AD是高求证：DC = AB + BD分析一：用分解法，把 DC分成两部分，分别证与 AB , BD相等。 可以高 AD为轴作 ADB的对称三角形 ADE，再证

3、EC = AE。/ AEB =Z B = 2 / C 且/ AEB = Z C+Z EAC ,二/ EAC = Z C 辅助线是在 DC上取DE = DB，连结AE。分析二：用合成法，把 AB , BD合成一线段，证它与 DC相等。 仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。为便于证明，辅助线用延长DB到F,使BF = AB，连结AF，则可得例2已知： ABC中，两条高AD和BE相交于 H，两条边 BC和AC的中垂线相交于 O,垂足是M, N求证：AH = 2MO ,BH = 2NO证明一：（加倍法一一作出 OM , ON的2倍） 连结并延长 CO至U G使OG = CO连结AG , BG 则

4、 BG / OM , BG = 2MO , AG / ON , AG = 2NO 四边形AGBH是平行四边形，AH = BG = 2MO , BH = AG = 2NO证明二：（折半法一一作出 AH , BH的一半） 分别取AH , BH的中点F , G连结FG, MN 1则 FG= MN = AB , FG / MN / AB2又 OM / AD ,A/ OMN =Z HGF （两边分别平行的两锐角相等） 同理/ ONM =Z HFG OMN HFG例3. 已知：在正方形 ABCD中，点E在AB上且CE= AD + AE , F 是AB的中点求证：/ DCE = 2/BCF分析：本题显然应着

5、重考虑如何发挥CE = AD + AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。我们可将AE （它的等量DG）加在正方形边 CD的延长线上（如左图） 也可以把正方形的边 CD （它的等量 AG）加在AE的延长线上（如右图） 后一种想法更容易些。G：.辅助线如图，证明（略）自己完成135例4已知： ABC中，/ B和/ C的平分线相交于I,1求证：/ BIC = 90 斗 / A2证明一：(由左到右)1/ BIC = 180 :(/ 1 + Z 2)= 180 :(/ ABC +Z ACB )2(/ ABC +Z ACB + Z A) +1=180 :21=90 ?+/

6、A2证明二：(左边右边=0)1/ BIC ( 90 :+/ A)211=180 -(/ ABC +Z ACB ) 90 -/ A221=90 : (/ ABC + Z ACB + Z A )=2证明三：(从已知的等式出发，进行恒等变形)/ A +Z ABC + Z ACB = 180 ：/-Z A = 180 ?(Z ABC +Z ACB )11Z A = 90 - (Z ABC +Z ACB )2211190 叫一Z A = 180 (Z ABC + Z ACB ),即Z BIC = 90+ Z A222三、练习1. ABC 中，Z B= 2Z C, AD 是角平分线，求证： AC = AB

7、 + BD2. ABC 中，Z B= 2Z C, AD 是高，M 是 BC 的中点，贝U AB = 2DM3. ABC中，Z B的平分线和Z C的外角平分线交于 E,则Z A = 2Z E4. ABC的AB = AC , CD是中线，延长 AB至U E使BE = AB，连结 EC, 贝U CE=2CD5. 已知：等腰直角三角形 ABC中，Z A = RtZ, BD是角平分线求证：BC = AB + AD6. 已知： ABC中，AB V AC , AD是高，AE是角平分线1求证:Z DAE = (Z B + Z C)27. 已知： ABC中，AB = AC,点D在AC的延长线上，1求证：Z CB

8、D = - (Z ABD Z D)8. 已知：AD是厶ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交 AC于F 求证：BF = 4EF9. 已知：在正方形 ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分/ DAE，交CD于F求证：AE = BE + DF10. 在厶ABC中，/ BAC = RtZ, BC的中垂线 MN交AB于M，交BC于 N，角平分线 AD延长线交 MN于E,则BC = 2NE（1987年泉州市双基赛题）11. 以Rt ABC两直角边 AC , BC为边向形外作正方形 ACDE和BCFG , 分别过E, G作斜边AB所在直线的垂线段 EE，, GG，则AB = EE，+ GG，12.

9、已知： ABC中，AB = AC , AD是高，CE是角平分线 EF丄BC于F, GE丄CE交CB延长线于G,求证:1FD = CG （提示：以CE为轴作 CEG的对称三角形）413.已知： ABC 中，/ A = 100 -； AB AC , BD 是角平分线求证：BC BD + AD14.已知：正方形 ABCD中，AE平分/ BAC交BC于E,交BD于F, 0 是对角线的交点求证:CE 2FO15.已知：如图 AC , BD都垂直于 AB，且CD交AB于E, CE 2AD求证:/ ADE 2 / BDE16.已知： ABC中，AB v AC v BC ,点D在BC上，点 E在BA的延长线上， 求证：且 BD BE AC , BDE的外接圆和 ABC的外接圆交于点 F BF AF + FC（1991年全国初中数学联赛题 ）（提示：在BF上取BG = CF）练习题参考答案1. 以AD轴作轴对称三角形2. 取AB中点N，再证明DN = DM3. 利用外角性质，分别用两角差表示/A和/ E4. 有多种证明方法，注意三角形中位线性质5. 在BC上取BE = BD，则 EDC等腰，作 DF / BC交AB于F,可证ECD ADF6. / B +(/ BAE -Z DAE )= 90,/ C +(/