一元一次方程的知识点及经典例的题目,推荐文档

1、实用标准文案一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1. 方程：含有的叫方程注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用 x表示, 也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子： .8-7=1+0 （2）.1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=O（其中x是未知数，a,b是已知数，且0）。要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件：J（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程.2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是

2、否相等.知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a = b，那么進土c； （c为一个数或一个式子）。等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果店二，那么鹤三阮；如果口二心仗工0），那么c亡要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。a amm即:（其中0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）a-3龙+ 410a-3010 + 40化为整数，如方程：0.5一0.2=1.6，将其化为：5一2=1.6。方

3、程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形 步骤具体方法变形根据注意事项去分 母方程两边都乘以 各个分母的最小公倍 数等式性质21 不能漏乘不含分母的项；2 分数线起到括号作用，去掉分母 后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去 中括号，最后去大括号乘法分配律、 去括号法则1 分配律应满足分配到每一项2 注意符号，特别是去掉括号移 项把含有未知数的 项移到方程的一边，不 含有未知数的项移到 另一边等式性质11 移项要变号；2一般把含有未知数的项移到方程 左边，其余项移到右边合并 同 类 项把方程中的同类项 分别合并，化成

4、“ ax b ”的形式(a 0)合并同类项 法则合并同类项时，把同类项的系数 相加，字母与字母的指数不变未知 数的 系数 化成“ 1”方程两边同除以 未知数的系数 a，得bx a等式性质2分子、分母不能颠倒要点诠释:理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用bX a0时，方程有唯一解 懣; a=0, b=0时，方程有无数个解； a=0, b0时，方程无解。牛刀小试例1、解方程(1) y- - 225例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程x 10 4x的解与方程5x 2m 2的解相同，求 m的值.例3、解方程知识与绝对值知识综合题型解方程：|2x -|73精彩文档、经典

5、例题透析类型一：一元一次方程的相关概念已知下列各式:2丄丄2x 5= 1;8- 7= 1 ;x+ y; 2 x y = x2;3x+ y = 6;5x+ 3y + 4z = 0;艸 总=8 :x= 0。其中方程的个数是（）A 5B、6 C 7D、8举一反三：变式1判断下列方程是否是一元一次方程:2 2 2(1) -2x +3=x (2) 3x-仁2y(3) x+“ =2 (4) 2x -1=1-2(2x-x)变式2已知：（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6= 0是一元一次方程，求a的值。变式3 （2011重庆江津）已知 3是关于x的方程2x a=1的解，则a的值是（）A. 5B. 5C

6、. 7D . 2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤， 并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数解方程：举一反三：0 4x+0.9_ 0.044-0 3变式解方程：-站O.OZ= 2x 52 巧去括号解方程:4 运用拆项法解方程:举一反三：0.3 + 0.5_ 2.-1变式（2011山东滨州）依据下列解方程3 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。3x+5_2z-1解：原方程可变形为2（）去分

7、母，得 3 ( 3x+5) =2(2x-1).()去括号，得 9x+15-4x-2.（)(),得 9x-4x=-15-2.(）n合并，得5X-17.（合并同类项）17(),得 x= 5 .()6 巧组合解方程:思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3,左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4,移项局部通分化简，可简化解题过程。7 巧解含有绝对值的方程:|x - 2| - 3= 0思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元-次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值

8、符号，化为两 个一元一次方程分别解之，即若 |x| = m,则x = m或x =- m也可以根据绝对值的几何意义 进行去括号，如解法二。举一反三:【变式11 （ 2011福建泉州）已知方程丨小2 ,那么方程的解是 &利用整体思想解方程：2+12(2t+1)+ B “ 门+ + +4 = 0 236参考答案思路点拨：因为含有工的项均在“ 2卞+ 1 ”中，所以我们可以将pH + 1作为一个整体, 先求出整体的值，进而再求卞的值。1. 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：(1)( 2)( 3)不是，(4)是2. 解析：分两种情况：1,5(1) 只含字母 y，则有(a-

9、3)(2a+5)= 0 且 a-3 0sn 综上，a的值为。 答案：B 9,5211 XT JT = 一 例2. 解：移项，得了 79字(2) 只含字母x，则有a-3 = 0且(a- 3)(2a+5)丰0不可能举一反三解：原方程可变形为4量 + 09) k 20 _ (0 04十 Q 3力汽刃0.0 5200.02 梵 50= 2x 一 5整理，得 8x+ 18-(2 + 15x) = 2x 5,去括号，得 8x + 18-2 15x = 2x 5实用标准文案移项，得 8x 15x 2x =- 5 18+ 2合并同类项，得9x = 21例4解：去括号，得4 V, 2玄_5去小括号，得*+12=

10、1去分母，得(3x 5) 8= 8去括号、移项、合并同类项，得3x = 21依次移项、去分母、去中括号，得依次移项、去分母、去小括号，得-x2 = 22-, x= 48例5解：原方程逆用分数加减法法则，得 442 S -16系数化为1,得X5O移项、合并同类项，得精彩文档例6解：原方程化为去分母，得 100x (13 20x) = 7去括号、移项、合并同类项，得120x = 20两边同除以120,得x =1x 原方程的解为6总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母, 再去分母较简便。举一反三3a + 5_2a-1【答案】解：原方程可变形为23 （_分式的基本性

11、质_）去分母，得 3（ 3x+5）=2（2x-1）. （_ 等式性质2_）去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）（移项），得9x-4x=-15-2.（ 等式性质1_）合并，得5x=-17.（合并同类项）17(系数化为1）,得x= 5.（等式性质2）3忙一15一2戏-3= 2兀-6-卞-刁例7解：移项通分，得9Sa-18= a-U化简，得9*去分母，得 8x 144= 9x 99。移项、合并，得x = 45 o |例8解法一：移项，得|x 2| = 3当x 20时，原方程可化为 x 2= 3，解得x= 5当x 2V 0时，原方程可化为一（x 2） = 3,解得x= 1o所以

12、方程|x 2| 3= 0的解有两个：x = 5或x = 1 o解法二：移项，得|x 2| = 3o因为绝对值等于3的数有两个：3和一3，所以x 2= 3或x 2= 3。 分别解这两个一元一次方程，得解为x= 5或x=1o举一反三1【答案】工严？花二2. 解：5| x|-3| x| = 16-42|x| = 123x= 183x= 9 或 3x= -73（2兀+1）十4（加+ T）十乂姦+1）例9解：移项通分，得：右66化简，得：2x + l = -2移项，系数化1得：戈总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤， 我们在解一元一次方程时， 既要学会 按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应

13、变（灵活打乱步骤）解方程。对于一般解题步 骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。三、课堂练习、选择题1、已知下列方程:元一次方程的个数是（3x-2=;(2) 0.3x=1; (3)x)-=5x-1;(4) x 2 -4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中22、下列四组变形中，正确的是（A 由 5x+7=0,得 5x= -7由 2x-3=0,得 2x-3+3=0C 由 x=2，得 x=-63由 5x=7，得 x=353、 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌

14、满空池需（）65A 小时 B 小时 C2小时 D3小时564、 下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）A 7x=x+5B 7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x5、下列方程的变形中，是移项的是（）B 由 6x=3+5x，得 6x=5x+3A 由 3=5x，得 5x=32 2 x 6 ; x 2y0 .其中一元一次方程的个数是()A. 2B . 3C . 4D . 513、已知关于x的方程a x 5（2 a 1）x的解是x 1，则a的值是 （)A. -5B . -6C . -7D . 814、方程3x 5 2x 1移项后，正确的是()A. 3x 2x 5 1B . 3x 2x

15、1 5C . 3x 2x 1 5D . 3x 2x1 515、方程 2 43，去分母得()32A . 2 2(2 x 4)33(x 1)B .123(2x4)18 3(x 1)C . 12 (2x 4)18(x 1)D .6 2(2x4)9 (x 1)16、 甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 km的两地相向而行，2小时相遇，若甲 比乙每小时多骑2.5 km,则乙的时速是（）.A. 12. 5 km B. 15 kmC. 17. 5 kmD . 20 km17、 某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么 这两件衣服售出后商店是（）A 不赚不赔B .赚8元C 亏8元

16、D .赚15元二、填空题：1、 圆的周长为 4，半径为 X,列出方程为 。m| 12、已知方程（m-2） x +5=9是关于x的一元一次方程，则 m =.3、已知代数式 x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是。4、3a2m3b4 与 2a6mb4 是同类项，贝 U m = .5、若 x y + (y+1) 2 =0,贝H x-y= .6、某商品的进价为 250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利10元，那么原来标价为 7、当x=时，的值是0.三、 一元一次方程应用题（找出等量关系）一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意 （2）找出等量关

17、系 ：找出能够表示本题含义的相等关系 （3）设 出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程 （ 4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （ 5）检验，写答案：检验 所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a,十位数字是b,个位数 字为c （其中a、b、c均为整数，且 K a9, 0 b 9, 0 c 9）则这个三 位数表示为： 100a+10b+c。例1、 若三个连续的偶数和为 18,求这三个数。例 2、 一个两位数,个位上的数是十位上的数的 2 倍,如果把十

18、位与个位上 的数对调,那么所得的两位数比原两位数大 36,求原来的两位数等量关系：原 两位数 +36=对调后新两位数例3、有一个三位数,个位数字为百位数字的 2倍,十位数字比百位数字大 1,若将此数个位 与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少 49,求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程2、日历中的规律：横行相邻两数相差 竖行相邻两数相差 _。例 1、如果今天是星期三,那么一年（ 365 天）以后的今天是星期 例 2、在日历表中,用一个正方形任意圈出2x2 个数,则它们的和一定能被整除。A 3 B 4 C 5 D 6例 3、如果某一年的 5月份中,有

19、5个星期五,且它们的日期之和为 80,那么这 个月的 4 号是星期几？3、等积变形问题常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积二成品体积。例 1、用直径为 4cm 的圆钢，锻造一个重 0.62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立 方厘米重 7.8g ，应截圆钢多长？例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125 125mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm （结果保留整数314）4、和、差、倍、分问题：倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几， 增长率”来体现。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩

20、余”来体现。（ 1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化 .例 1. 某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人数 是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？例 2甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调 100人到甲车间，那么甲车间 的人数是乙车间剩余人数的 6倍；如果从甲车间调 100人到乙车间， 这时两车间的 人数相等，求原来甲乙车间的人数。（ 2） 配套问题：例1、某车间有 28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 12个或螺 母1 8个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人， 才能使螺栓和螺母正好配套 （一个 螺栓配两个螺母）例2.机

21、械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10 个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、 小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法每人每天人数数量大齿轮16个x人16x小齿轮10个85 x人10 85 x等量关系：小齿轮数量的2倍=大齿轮数量的3倍解：设分别安排x名、85 x名工人加工大、小齿轮3(16x)210(85 x)48x1700 20x68x1700x 2585 x 60人 答：略(3) 分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空 出两个房间。求房间的个数和学生的人数。例2.三

22、个正整数的比为1:2:4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几? (比例分配问题 常用等量关系：各部分之和=总量。)(4) 年龄问题：例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍， 乙现在的年龄是多少 岁？例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多5岁，求小华现在的年龄。5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量 =工作效率X工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作 3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工 程？

23、分析设工程总量为单位1,等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作 总量。1 1解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(亦虫)xX3+12=1,例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长 6500 米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成 220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天 后两队完成全部任务？&打折销售问题(1) 销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、禾U润等(2) 基本关系式： 利润=售价一进价；售价=标价X折数；利润率=利润/进价。由可得出利润二标价X折数一进价。由可得

24、出利润率=。 市场经济问题(1) 商品利润二商品售价一商品成本价 (2)商品利润率二 品利润 X 100% 商品成本价(3) 商品销售额二商品销售价X商品销售量(4) 商品的销售利润=(销售价-成本价)X销售量(5) 商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售， 即按原标价的 80%出售例 1 、一件衣服标价是 200 元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若 已知这件衣服的成本 （进价）是 115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润 是多少？例 2、 某商场售货员同时卖出两件上衣， 每件都以 135 元售出，若按成本计算， 其中一件赢利 25%，另一件亏损 2

25、5%，问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注 意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程二速度X时间。 相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间 =乙的时间 甲走的路程 -乙走的路程 =原来甲、乙相距的 路程同地不同时；甲的时间 =乙的时间 -时间差甲的路程 =乙的路程解此类题的关键是抓住甲、 乙两物体的时间关系或所走的路程关系， 一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1. 甲、乙两站

26、相距 480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90公里， 一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两 车相遇？(2) 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600公里？(3) 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？(4) 两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？(5) 慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时 追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结 合图形分析。(1)分析：相遇问题，画图表

27、示为：A V甲乙等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=39016/. x=1 23答：略.(2)分析：相背而行，画图表示为：600i11甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=12012X=23答：略.(3)分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程 +480公里=600公里。解：设x小时后两车相距 600公里，由题意得，(140 90)x+480=60050x=120

28、 x=2.4答：略.（4）分析：追及问题，画图表示为:甲乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480 x=9.6答：略.（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程 =慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90（x+1）+48050x=570 解得，x=11.4答：略. 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程 和二一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

29、逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是 3千米每小时，顺水航行需要2 小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系.1、A、B两地相距150千米。一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另 一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经 过几小时，两车相距30千米？2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙 先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要 2小时45分，逆风要3小时，已知风 速是

30、20千米/小时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火 车本身的长度为多少米？5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开 出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。8、银行储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称 本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%寸利息税利息二本金X利率X期数本息和二本金+利息利息税=利息X税率（20%利润二每个期数内的利息 x 100%利息二本金X利率X期数本金注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率X12=0利率X 365。本息和=本金+ =本金+ XX=（ 1 +X）X本金（不考虑利息税）本息和=本金+ =本金+XXX（ 1 ）（考虑利息税例9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和二本金X（ 1+利