一元二次方程知识点和易错点总结

1、一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有个未知数。（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是方程。（4） 一元二次方程的一般形式是 。（1）法，适用于能化为x m）2 n n 0 的一元二次方程元二方程（2）法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法（a, b为两个因式）,则a=0或（3）法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式 r当时，方程有两个不相等的实数根。（5） 当时，方程有两个相等的实数根。当时，方程有没有的实数根。元二次方程的应用f可用于解某些求值（1）（2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4）（5）（6）知识点归类 知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边

2、为 0,而左边只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样 的方程叫做一元二次方程。注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点： 方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ 2 - r3 ；2） x2 6x 0 ；（3）. x x 5 ；（4） x2 0 ；（5）2x（x 3） 2x2 1x 5知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2 bx c 0 （a, b, c是已知数，a 0）。其中a, b, c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1） 二次项、二次项系数、一

3、次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3） 形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a 0时是一元二次方程。例1已知关于x的方程m1xm2 mix 2 0是一兀二次方程时，则m 知识点三一兀二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，女口：当x 2时，x2 3x 20所以x 2是x2 3x 20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四建立一兀二次方程模型建立元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关

4、系；（2）设未知数要带单位；（3）鸡场建立一兀二次方程模型的关键是依题意找出等量关系 例如图（1），有一个面积为150川的长方形鸡场 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？因式分解法、直接开平方法 知识点一因式分解法解一元二次方程 如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于 0,即若pq=O时，则p=0或q=0 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1

5、）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有： 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：（1）5x2 4x ；（2） （2x23）250 ；（3） x2 6x 95 2x 2 。知识点二直接开平方法解一元二次方程若 x2 a a0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1） x2 a a0的解是x、a ； （ 2） x m 2n n 0的解是x、n m ；2（3） mx ncm 0,且 c0的解是x亠2-n。m例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）9x2 16 0 ； （2） x 5 2 16

6、0 ；（3） x 5 2 3x 1 2 （因式分解）知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如 ax b 2 k 0 k 0 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。（1）4 x 5 2 36 0 ； （2） 1 2x 2 3 0知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式 （方程右边为 0 时）的公因式提出， 将多项式写出因式的乘积形式， 然后利用“若pq=O时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如 ： 0.01t 2 2t 0 ， 将 原 方 程 变 形 为 t 0.01t

7、 20 ， 由 此 可 得 出t0或 0.0t2 0，即 t10,t2200注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。知识点五 形如“ x 2a b x b 0 a,b为常数的方程的解法。对于形如“ x2a b x b 0 a, b为常数的方程（或通过整理符合其形式的）可 将 左 边 分 解因 式 ， 方 程变 形 为 x a x b0 ， 则 x a 0或 x b 0 ， 即x1a,x2b 。13a b x b 0 a,b为常数”型方注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“ x2程的特征。2) x2 x 120例 解下列方程：（1）

8、x 2 5x 60 ；配方法知识点一配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含 未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开 平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程 x2 px q 0，当对方程的左边配方时，一定记住 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例用配方法解下列方程：（1） x2 6x 5 0 ；（2） x2 x 2 02知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的

9、平方，再减去这个数；（2）把原方程变为x m 2 n的形式。（3） 若n 0，用直接开平方法求出x的值，若n 0方程有两个不相等的实数根；2）=b24ac=0方程有两个相等的实数根；3）=b24ac v 0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把所有一元二次方程化为一般形式; 确定a,b.c的值；计算b2 4ac的值；根据b2 4ac的符号判定方程根的情况。 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）2x2 3x 5 0 ；（2）9x2 30x 25 ；（3）x2 6x 10 0知识点四根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0 a 0中，(1)方程有两个不相等

10、的实数根b2 4ac 0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac =0(3) 方程没有实数根b2 4ac v 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例 m为何值时，方程2m 1 x2 4mx 2m 3 0的根满足下列情况:(1)有两个不相等的实数;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;知识点五一元二次方程的根与系数的关系若XiK是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两个根，则有x1 x2- , x1 x2 -aa根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：例已知方程2x2 5x 30的两根为xX2，不解方程，求下列各式

11、的值2 2(1) XiX2 ；(2)捲2 x2。(1)2X12X2X12X22X1X2丄X11X1x2X2X1 x2(3)(X1a )(X2a)x1x2a x12X2a(4)1 X1X2 1=.x1x2 $ =x12X24x1X2知识点六根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时， 要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例 当x取什么值时，代数式x2 x 6 0与代数式3x 2的值相等?一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（

12、6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。知识点二用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法： （1）若基数为a,增长率x为，则一次 增长后的值为al x，两次增长后的值为al x 2 ；（ 2）若基数为a,降低率x为，则一次降 低后的值为al x，两次降低后的值为al x 2。例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出 关于x的方程为知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=

13、（销售价一进货价）*进货价X 100%;（3）销售额=售价X销售量例 某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高 售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。（1）要使每天获得700元，请你帮忙确定售价。（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断, 注意一元二次方程一般形式中a 0.（2） 用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

14、一元二次方程测试题一、选择题1、 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，贝U m的值等于（）A、1B、2C、1 或 2D、02、 巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨， 设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为（）2 2A. 45 2x 50 B. 45（1 x） 50 C. 50（1 x） 45 D. 45（1 2x）503、 已知a，b是关于x的一元二次方程x2 nx 1 0的两实数根，则式子-的值是（）a bA. n2 2 B. n2 2 C. n2 2 D. n2 24、 已知a、b、c

15、分别是三角形的三边，则方程（a + b）x 2 + 2cx + （a + b） = 0的根的情况A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5、已知m,n是方程x2 2x 1 0的两根，且(7m2 14m a)(3n2 6n 7) 8，则a的值等于( )A. 5B.5C.-9D.9&已知方程x2 bx a 0有一个根是a(a 0)，则下列代数式的值恒为常数的是()aA. ab B . - C . a b D . a bb7、 x2 2x 2 0的一较小根为xn下面对捲的估计正确的是()A.2xi1 B.1 xi 0C.0xi1D.1 Xi 28、关于x

16、的一元二次方程x2mx 2m 1 0的两个实数根分别是人、x?，且x2x；7，则* X2)2的值是()A. 1B . 12C . 13D . 259、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了 2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()x( x 1)A、x(x 1) 2450 B、x(x 1) 2450 C、2x(x 1) 2450 D、245022 210、 若关于x的一元二次方程k 1x X k0的一个根为1,则k的值为()A . 1B . 0C . 1D . 0 或 111、 设a，b是方程x2 x 2009 0的两个实数根，

17、则a2 2a b的值为()A . 2006 B. 2007C. 2008D. 200912、对于一元二次方程 ax2+bx+c=O(aM 0)，下列说法： 若a+c=0,方程ax2+bx+c=O必有实数根； 若b2+4ac0,则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； 若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根； 若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，贝U方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根.其中正确的是()A B C D 二、填空题1若一元二次方程x(a 2)2 b2 4 的值为.5、在等腰 ABC中，三边分别为a、b、c ,其中a有两个相等的实数根，则 ABC的周长为.2 26、已知关于x的一元二次