2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷.doc

1、2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷（全国理科数学（必修+选修n ）注意事项：1. 本试题卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置 上.3. 选择题的每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其它题的答题区域内书写

2、的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效.6. 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.n_k(1 - P)第I卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.参考公式：如果事件A, B互斥，那么球的表面积公式P(A B) = P(A) - P(B)如果事件A, B相互独立，那么P(ALB) =P(A)_P(B)S = 4 nR2其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径-kkFn ( k ) =Cn p、选择题1. sin 210 二( )1C.

3、-虫A.B.2222函数y = sinx的一个单调增区间是（）1 +2i3 .设复数z满足i，则F列四个数中最大的是(2(In 2)B. In(ln2) C占，八、C6 .不等式爲。的解集是(A. (-2,1)B. (2,=)C5 .在 ABC中，已知D是AB边上一(2,1)U(2,=)2-iIn、D. In2、2若 Ad =2DB,CDCA ;”CB，则二(32-37.已知正三棱柱ABC - A BQ,的侧棱长与底面边长相等,则AB与侧面ACC A所成角的正弦值等于(2v已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为41则切点的横坐标为(2B. 2C. 19把函数y=ex的图像按向量3 =(2,3)

4、平移,得到y = f (x)的图像，贝U f(x)=(x-3e2x-6 cB.x-2e3D. ex2-310 .从5位同学中选派4位同学在星期五、 星期五有2人参加，星期六、星期日各有A.40种B. 60丰中C.星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求1人参加，则不同的选派方法共有(100 种D. 120 种112X设丘分别是双曲线一a2y2的左、右焦点,b2若双曲线上存在点A，使 F1AF2二901522AFj =3|AF2，则双曲线的离心率为10212 设F为抛物线y=4x的焦点,B, C为该抛物线上三点，若FA FB巳0 ,则 FA Faai|fC 二(A. 9B. 6C. 4D. 3

5、第H卷(非选择题)本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(7f13. (1 2x2) X 的展开式中常数项为.(用数字作答)I X J14. 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,匚2)(二0).若 在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为.15. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2 .Sn16. 已知数列的通项an - -5n 2，其前n项和为Sn,则lim二.n O n 厶三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17

6、(本小题满分10分)在厶ABC中，已知内角A ，边BC=2、3.设内角B=x，周长为y.3(1) 求函数y = f(x)的解析式和定义域；(2) 求丫的最大值.18(本小题满分12分)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A : “取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A) =096(1) 求从该批产品中任取1件是二等品的概率P;(2) 若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数， 求的分布列.19 (本小题满分12分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄 底面ABCD, E, F分别为AB, SC的中点.

7、(1) 证明EF /平面SAD ；(2) 设SD=2DC 求二面角A-EF-D的大小.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以0为圆心的圆与直线x_、.3y=4相切.(1) 求圆0的方程；(2) 圆0与x轴相交于A, B两点，圆内的动点P使PA , P0 , PB成等比数列，求D A 口的取值范围.21. (本小题满分12分)3 _a设数列(an)的首项 (0,1), an = 2A, n =2,3,4,(1) 求an的通项公式；(2) 设0二a r.3-2an，证明bn:bn 1，其中n为正整数.22. (本小题满分12分)3已知函数f(x)=x -X .求曲线y = f(x)在点

8、M(t, f (t)处的切线方程;(2)设a0,如果过点(a, b)可作曲线y = f(x)的三条切线，证明：a : : : b : : : f (a).2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修H）参考答案评分说明：1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步岀现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右侧所注分数，表示考

9、生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数选择题和填空题不给中间分. 、选择题1. D 2.3. C4. D 5. A6.7. A8.9. C10. B11. B12二、填空题13. 4214. 0.815.三、解答题17.解：(1） ABC的内角和应用正弦定理，知ACBCsin B si nA2品sin x 二 4sin x ,兀sin 一3ABBCsin C = si nAf2兀4sinxV3A,nB O, C 0 得 0因为 y 二 AB BC AC，所以y =4sin x 4sin x 23 0 I3 J I( J(2) 因为 y = 4 sinx cosxI 21sinx22.

10、3ji ji3x 5 :(5 /所以，当x，即x时，y取得最大值6八3.62318.解：（1）记Ao表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则Ao, Ai互斥，且A二人力，故P(A) =P(A A)二 P(A。)P(A)2 1=(1-P)C2P(1-P)=1-P2于是0.96 =1 - p2解得 Pi =0.2, p2 = -0.2 (舍去).(2)的可能取值为01,2 .若该批产品共100件，由(1)知其二等品有100 0.2 = 20件，故316495C2p( =0)=护CiooP(=1)=160495P(F：二 2)辛Cioo19495所以的分布

11、列为012P3164951604951949519.解法一：(1 )作FG / DC交SD于点G，则G为SD的中点.1连结 AG, FG XCD，又 CD AB ,2丄j uc v a cr a tr 亠,丄亠ttxEF / AG，又 AG 平面 SAD, EF 二平面 SAD.所以 EF /平面SAD.(2)不妨设DC =2，则SD=4, DG=2,A ADG为等腰直角 三角形.取AG中点H，连结DH，则DH丄AG .又AB丄平面SAD，所以AB丄DH，而ABAAG二A,所以DH丄面AEF .取EF中点M，连结MH，则HM丄EF .连结DM，则DM丄EF .故DMH为二面角AEFD的平面角t

12、an ZDMH -HM所以二面角A - E FD的大小为arctan、.解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系D -xyz .设 A(a,O,O), S(0,0, b)，则 B(a, a,0, C(0,2叮02取SD的中点G10 ,0 ,，则AG12丿EF =AG, EF / AG, AG 平面 所以EF /平面SAD.SAD, EF 平面 SAD ,(2)不妨设 A(1,0,0)，则 B(1,0,C(0,1 ,0, S(0,0,2) E1,-,0,12 JEF中点M叮丄1222-2,丄，丄,EF=(1,0,1), MD1eF=0, MD 丄 EF22又 EA=0,？ , EALEFK EA

13、丄 ef ,所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角.MD.LeA 一3cos : MD ,EA 制d L (EA： 3所以二面角AEF - D的大小为arccos3320 解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x,3y = 4的距离,4即r222(2)不妨设人(为,0, B(X2,0, xA ： ： x2由x=4即得A(2,0), B(2,0)设P(X, y)，由PA , PO , PB成等比数列，得,(x 2)2 y2U (x - 2)2 y2 =x2 y2,即 x2 _y2 =2 PAtPB =(-2 - x, y)j 2-x,-)224,二 x 4 y由于点P在圆0内

14、,故 x2 y222X -y -2.由此得y2 : : : 1.所以PApS的取值范围为3 3n i21.解：（1）由 為一，n=2,3,4,.,11，公比为一2的等比数列，整理得1 寺=亡（1 一寺）又1八1 = 0,所以1 Aan是首项为1 A3 得（1厂an=1 - （1 -aJ -2（2）方法一：3由（1 ）可知 0 : An，的 bn 022二 am（3-2am） -%（3 细）2二宁3-2乎一 a； （3-2an）二警佝1尸4又由（1 ）知an 0且缶=1，故b； b；0因此 bn : bn 1 , II为正整数.方法由(1)可知0：: 务(一即) a.2因为an1-“可得4(32

15、八)：:(穿所以 匕3即 a； (3-2%) 詈 L%I2两边开平方得an. 32an : 2 Lpn .即bn : : : bn1，n为正整数.222 解：(1)求函数f(X)的导数；f(X)=3x.曲线y = f(X)在点M (t, f(t)处的切线方程为:(2)如果有一条切线过点(a, b)，则存在t,使b =(3t2 1归22 .于是若过点(a, b)可作曲线y二f (x)的三条切线，则方程322t -3at ab = 0有三个相异的实数根.记 g(t) =2t3 3at2 a b,则 g(t)=6t2_6at=6t(t -a).当t变化时，g(t), g(t)变化情况如下表:t(皿,0)0(0, a)a(a,)gt)+00+g(t)极大值a +b极小值bf (a)匚由g(t)的单