双曲线上任意一点处的切线的性质_第1页
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文档简介

1、双曲线切线的几个典型性质及其证明浙江省海盐元济高级中学（314300） 崔宝法中学数学月刊2007年第1期发表在对直线与双曲线位置关系的研究中，笔者发现，双曲线的切线作为和双曲线位置关系最特殊的直线，有着它自身所独有的一些典型性质.下面给出其中的几条，并加以证明.性质1 双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。证明：如图1，设双曲线方程为，分别是左、右焦点，为双曲线上一点，则.易知 p点处的切线方程为，切线与轴的交点为t ，故从而.又，因此pt平分两焦半径的夹角.性质2 双曲线的任意一条切线夹于两渐近线间的线段，必被切点平分。证明：如图2，设双曲线方程为， 为双曲线上

2、任意一点，则两渐近线方程为，过点p的切线方程为.由得 ，消去得 ，即，根据韦达定理可得，线段ab中点的横坐标为，代入切线方程得，所以线段ab的中点即切点，故切点p平分ab.性质3 若双曲线上任意一点（异于顶点）处的切线交准线于一点，则该交点与此准线相应焦点的连线垂直于切点处相应的焦半径。证明：如图3，设双曲线方程为，为双曲线上一点，则p点处的的切线方程为 ,又准线方程为 ，对应焦点为，从、 解得切线与准线的交点为.直线的斜率分别为.故.性质4 双曲线上任一点处的切线与两条渐近线所围成的三角形的面积为定值。证明：设双曲线方程为， 为双曲线上任意一点，则两渐近线方程为 ，过点p的切线方程为，令，得

3、此切线的横截距为.由、解得切线与两渐近线的交点分别为、.（定值）.性质5 双曲线上任一点处的切线与实轴顶点处的两条切线交于两点，则这两点与两焦点四点共圆。证明:如图4，设为双曲线上的任意一点，则过点的切线为，它与过顶点的两切线相交于点、，又因为两切线与轴平行且关于轴对称，所以切线与轴的交点是的中点，故=.又因为=，即、四点都在以为圆心的圆上.性质6 若双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线和法线分别与双曲线虚轴所在直线相交，则所得的两个交点与两个焦点四点共圆.证明：如图5，设双曲线方程为，焦点为、，则其上任意一点处的切线与法线方程分别为和，它们与虚轴的交点分别为、，故 ，即，同理可证：，、都在以为直径的圆上. 、四点共圆.性质7 若双曲线上任一点处的切线交两渐近线于两点,法线交两坐标轴于两点,则这四点共圆,且此圆过双曲线中心.证明：如图6，设双曲线上任意一点的坐标为，则过点的切线方程为,它与渐近线的交点为、.点处的法线方程为,它分别与轴、轴交于、., ,从而,. 同理 ,、都在以为直径的圆上，即、四点共圆.又 ，点也在以为直径的圆上，即此圆经过双曲线的中心. 性质8 若双曲线一个顶点处的切线交共轭双曲线于两点，则共轭双曲线在这两点处的两条切线必相交于原双曲线的另一顶点.证明：如图7，设双曲线方程为,它的共轭双曲线为,过原双曲线的顶点的切线为,交它的共轭双曲线于点、.易知共轭双曲线

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