平行四边形的性质与判定讲义

1、平行四边形一、知识梳理1 平行四边形：二”表示平(1) 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形用符号 行四边形ABCD己作口AECD,读作平行四边形 ABCD2 平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等.(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。(3) 平行四边形的对角线互相平分.(4) 若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且这条直线二等分平行四边形的面积.例1. Q ABCD中，/A的平分线分BC成 4cm和3cm两条线段，贝UABCD的周长为例 2.在Q ABCD 中，/ C=60o,DE丄 AB于 E

2、,DF丄 BC于 F.(1) 则/ EDF=;(2) 如图，若 AE=4, CF=7,贝UABCD周长=；例3.在平行四边形 ABCD中，已知/ A= 40。，则ZB=，/ C=，/ .例4口ABCD.中，周长为20cm,对角线AC交BD于点O, OABfc OBC勺周长多4,则边AB=BC=变式训练.如图，在平行四边形 ABCC中，已知对角线 AC和BD相交于点O, AOB的周长为15, AB= 6，那么对 角线AC和BD的和是多少？例5.如图，在口ABCDK O是对角线的交点,()A. 2对B. 3对 C 6对D. 8对3 两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一

3、点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离.(2) 两平行线间的距离处处相等.例6、有以下四个说法： 两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长. 如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值. 如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值. 两条平行线间的距离不是定值其中正确说法的个数是A. 1 B 2 C 3 D 44 平行四边形的面积:(1)如图，二和-:-r.- II A E p F (2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.如图，.有公共边BC,则:；一一-卜例7、如图,四边形ABCD是平行四边形，AB=10, AD=8 AC BC,求AC

4、OA以及平行四边形 ABCD勺面积变式训练：1、平行四边形两邻边分别是 4和6,其中一边上的高是 3,则平行四边形的面积是 .2、平行四边形的周长为20cm ,AEL BC于E,AF丄CD于F,AE=2cm,AF=3 cm,求平行四边形ABCD勺面积。5平行四边形的判别方法：(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形例8如图所示，/仁/ 2,7 3=7

5、4,问四边形 ABCD是不是平行四边形.变式训练：平行四边形 ABC中, M N分别为AD BC的中点，连结 AN DN BM CM且AN BM交于点P, CM DN交于点Q四边形MGN是平行四边形吗？为什么? 2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形例9如图，在口ABCD勺各边 AB BG CD DA上，分别取点 K L M N,使AK=CM BL=DN则四边形 KLMN 为平行四边形吗？说明理由 .变式训练：如图所示，在四边形 ABCD中, AB=CD BC=AD E, F为对角线 AC上的点，且AE=CF求证：BE=DF 3. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形例10如图，口 ABC

6、D中, E、F分别在BA DC的延长线上，且形.变式训练：如图，AD=BC/ DAC=/ BCA试判断四边形 ABCD是平行四边形吗？请说说你的理由.（7 分）D 4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形例11(2008)如图，在平行四边形 ABCD中，/ ABC的平分线交 CD于点E, / ADC的平分线交 AB于点F.试 证明四边形DFBE为平行四边形.变式训练：在四边形ABCD中，已知/ A=Z C,Z B=Z D,求证四边形 ABCD为平行四边形。 5.对角线互相平分的四边形为平行四边形例12如图，在口ABC中，点E、F是对角线 AC上两点，且 AE=CF. 求证：/ EBF=Z FD

7、E变式训练：如图，口 ABCD的对角线 AC BD相交于O,若OE=OF 求证：四边形BFDE是平行四边形6.三角形中位线：定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。例13 .如图所示，。丘是厶ABC的中位线，BC=8贝U DE=:7、平行四边形知识的运用:(1) 直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线 段相等或倍分等.(2) 识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行.(3) 先识别一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.基础自测1.如图1,在平行四

8、边形ABCD中，下列各式不一(A)12 180(B)23 180(C)34 180(D)24180、相信你的选择定正确的是().2.如图图1图22,在口ABCD中，EF/AB, GH/AD, EF与GH交于点0,则该图中的平行四边形的个数共有3.(A)7 个(B)8 个(C)9 个(D)11F列给出的条件中，能判定四边形 ABCD1平行四边形的是(A)AB / CD , AD=BC (B)AB=AD , CB=CD(C)AB=CD AD=BC(D)/ B=Z C,Z A=ZD5.如图3 ,在口 ABC冲,/ B=110,延长AD至 F,延长CD至E,连接EF,则/ E+ZF的值为(C)50D(

9、).6.如图4, ABC冲，对角线AC,BD相交于点0,将厶AODf移至 BEC的位置，则图中与0A相等的其它线段有()(A)1 条 (B)2 条 (C) 3 条 (D) 4 条7如图5,点D E、F分别是AB BC CA边的中点，则图中的平行四边形一共有().(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个8 在平面上，四边形ABCD勺对角线AC与 BD相交于0,且满足AB=CD有下列四个条件：(1)0B=0；(2) AD/ BC ( 3) 竺 D0 ; ( 4)Z OADM OBC若只增加其中的一个条件，就一定能使/ CO B0BACK CDB成立，这样的条件可以是A.( 2)、( 4)B

10、 . (2)C . (3)、( 4)D . (4)二、试试你的身手1 在平行四边形 ABC冲，若ZA - / B=70，则/ A=，/ B=，/ C=，/ D=L2. 在口ABCD中, ACL BD，相交于 0, AC=6 BD=8 贝U AB=，BC=:3. 如图6，已知口ABC冲，AB=4 BC=6 BC边上的高AE=2贝U DC边上的高AF的长是.4. 如图7, ABC中, D E分别是AB AC边的中点，且 DE=6cm则BC=.5. 用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3: 2,则长边是cm,短边是cm.图106. 如图 9, ABC冲,DB=DCZ C=70 ,

11、AE丄 B于 E,则/DAC=度.7. 如图10, E、F是口ABCD寸角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形.三、解答题1. 如图11,在口 ABC冲，已知对角线AC和 BD相交于点O,AAOB周长为25，AB=12求对角线AC与BD的和.图112. 如图12,在口ABC冲,已知点E和点F分别在AD和BC上,AE=CF连结CE和 AF,试说明四边形AFCE是平行四边形图123. 如图 13 , ABCDK BDLAB, AB=12crp AC=26cm 求 AD BD长.图134. 如图14, E、F是四边形 ABCD勺对角线 AC上的两点，AF=CE

12、DF=BE DF/ BEC求证：(1)/ AFD/CEB(2)四边形ABCD!平行四边形.课后作业:1.如图所示，在平行四边形ABC中，对角线AC BD交于点0,下列式子中一定成立的是A . AC BD B . 0A=0CC . AC=BD D . A0=0D （）2 .如图，平行四边形的周长为28cm，ABC的周长是22cm，则AC的长为（）A 6cm B . 12cm C 4cm D 8cm3. 如图，在平行四边形ABCD中,AD=5 AB=3AE平分BAD交BC边于点E,则线段BE、EC的长度分别为A. 2 和 3 B . 3 和 2 C . 4 和 1 D . 1 和 4AD4. 将一

13、平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，贝U这样的折纸方法共有A. 1种B . 2种C . 3种 D .无数种(5. 平行四边形 ABCD中,A :B:C:A. 4: 3: 3: 4 B . 7: 5: 5: 7C . 4: 3: 2: 1 D . 7: 5: 7: 5D的值可以是（）下列各式不一定成立的是A.1+ 2=180B .2+3=180C.03+4=180 D .02+4=180/AA /D/BE第3题C6.如图，在平行四边形 ABCD中，延长BA至()7.两个全等的不等边三角形，可以拼成A. 2B. 3C . 4D. 5&已知平行四边形的一条边长为14,A.10

14、与 16 B . 12 与 16（不许重叠）形状不同的平行四边形的个数最多为（）F列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是C. 20 与 22 D . 10 与 40（）9.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点0,并交AD于E,交BC与F,若AB=4,BC=5,0E=1.5,那么四边形EFCC的周长是（）A. 16 B . 14 C . 12 D1010 .如图，在平行四边形ABCD中 EF/ BC GH/ ABEF、GH的交点O在BD上，则图中面积相等的平行四边形A. 1对B. 2对C . 3对D . 4对匚11.在平行四边形ABCD中,AEBC于E,AFCD于F,若AE=4,AF=6,平