复旦概率统计习题答案

1、 概率论与数理统计每章自测试题及答案习题 一1设abc为三个事件试用abc的运算关系式表示下列事件1 a发生bc都不发生 2 a与b发生c不发生3 abc都发生 4 abc至少有一个发生5 abc都不发生 6 abc不都发生7 abc至多有2个发生 8 abc至少有2个发生解1 a 2 ab 3 abc4 abc cbabcacababc 5 6 7 bcacabcab 8 abbcca abacbcabc2设ab为随机事件且pa 07p ab 03求p解 p 1pab 1p a p ab 10703 063设ab是两事件且pa 06p b 07求1 在什么条件下pab取到最大值2 在什么条件

2、下pab取到最小值解1 当ab a时pab取到最大值为062 当ab 时pab取到最小值为034设abc为三事件且pa pb 14pc 13且pab pbc 0pac 112求abc至少有一事件发生的概率解 pabc p a p b p c p ab p bc p ac p abc 5从52张扑克牌中任意取出13张问有5张黑桃3张红心3张方块2张梅花的概率是多少解 p 6对一个五人学习小组考虑生日问题1 求五个人的生日都在星期日的概率 2 求五个人的生日都不在星期日的概率3 求五个人的生日不都在星期日的概率解1 设a1 五个人的生日都在星期日 基本事件总数为75有利事件仅1个故 pa1 5 亦

3、可用独立性求解下同2 设a2 五个人生日都不在星期日 有利事件数为65故pa2 5 3 设a3 五个人的生日不都在星期日 pa3 1p a1 1 57一批产品共n件其中m件正品从中随机地取出n件n n试求其中恰有m件mm正品记为a的概率如果1 n件是同时取出的2 n件是无放回逐件取出的3 n件是有放回逐件取出的解1 pa 2 由于是无放回逐件取出可用排列法计算样本点总数有种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正品与次品的抽取次序从m件正品中取m件的排列数有种从nm件次品中取nm件的排列数为种故pa 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出故上述概率也可写成pa 可以看出用第二种方法简便

4、得多3 由于是有放回的抽取每次都有n种取法故所有可能的取法总数为nn种n次抽取中有m次为正品的组合数为种对于固定的一种正次品的抽取次序m次取得正品都有m种取法共有mm种取法nm次取得次品每次都有nm种取法共有nmnm种取法故此题也可用贝努里概型共做了n重贝努里试验每次取得正品的概率为则取得m件正品的概率为8 50只铆钉随机地取来用在10个部件上其中有3个铆钉com强度太弱的铆钉都装在一个部件上则这个部件强度就太弱求发生一个部件强度太弱的概率是多少解设a 发生一个部件强度太弱 9一个袋内装有大小相同的7个球其中4个是白球3个是黑球从中一次抽取3个计算至少有两个是白球的概率解 设ai 恰有i个白球

5、 i 23显然a2与a3互斥故 104有甲乙两批种子发芽率com在两批种子中各随机取一粒求1 两粒都发芽的概率2 至少有一粒发芽的概率3 恰有一粒发芽的概率解设ai 第i批种子中的一粒发芽 i 12 1 2 3 11掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止1 问正好在第6次停止的概率2 问正好在第6次停止的情况下第5次也是出现正面的概率解1 2 12甲乙两个篮球运动员投篮命中率com每人各投了3次求二人进球数相等的概率解 设ai 甲进i球 i 0123bi 乙进i球 i 0123则 03207613从5双不同的鞋子中任取4只求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率解 14某地某天下雪的概率为03

6、下雨的概率为05既下雪又下雨的概率为01求1 在下雨条件下下雪的概率2 这天下雨或下雪的概率解 设a 下雨 b 下雪 1 2 15已知一个家庭有3个小孩且其中一个为女孩求至少有一个男孩的概率小孩为男为女是等可能的解 设a 其中一个为女孩 b 至少有一个男孩 样本点总数为23 8故或在缩减样本空间中求此时样本点总数为716已知5的男人和025的女人是色盲现随机地挑选一人此人恰为色盲问此人是男人的概率假设男人和女人各占人数的一半解 设a 此人是男人 b 此人是色盲 则由贝叶斯公式17两人约定上午9001000在公园会面求一人要等另一人半小时以上的概率题21图 题22图解设两人到达时刻为xy则0xy

7、60事件一人要等另一人半小时以上等价于xy 30如图阴影部分所示18从01中随机地取两个数求1 两个数之和小于的概率2 两个数之积小于的概率解 设两数为xy则0 xy 11 xy 2 xy 19设p 03p b 04p a 05求pba解 20在一个盒中装有15个乒乓球其中有9个新球在第一次比赛中任意取出3个球比赛后放回原盒中第二次比赛同样任意取出3个球求第二次取出的3个球均为新球的概率解 设ai 第一次取出的3个球中有i个新球 i 0123b 第二次取出的3球均为新球 由全概率公式有21 按以往概率论考试结果分析努力学习的学生有90的可能考试及格不努力学习的学生有90的可能考试不及格据调查学

8、生中有80的人是努力学习的试问1考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人2考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人解设a 被调查学生是努力学习的 则 被调查学生是不努力学习的 由题意知pa 08p 02又设b 被调查学生考试及格 由题意知pba 09p 09故由贝叶斯公式知1即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2702 2 即考试不及格的学生中努力学习的学生占307722 将两信息分别编码为a和b传递出来接收站收到时a被误收作b的概率为002而b被误收作a的comb传递的频繁程度为21若接收站收到的信息是a试问原发信息是a的概率是多少解 设a 原发信息是a 则 原发信息是b c 收到信息是a

9、 则 收到信息是b 由贝叶斯公式得23在已有两个球的箱子中再放一白球然后任意取出一球若发现这球为白球试求箱子中原有一白球的概率箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑白两种解设ai 箱中原有i个白球 i 012由题设条件知pai i 012又设b 抽出一球为白球 由贝叶斯公式知24某工厂生产的产品中96是合格品检查产品时一个合格品被误认为是次品的概率为002一个次品被误认为是合格品的概率为005求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率解 设a 产品确为合格品 b 产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得29某保险公司把被保险人分为三类谨慎的一般的冒失的统计资料表明上述三种人在一年内发生事故的概率依次为

10、005com如果谨慎的被保险人占20一般的占50冒失的占30现知某被保险人在一年内出了事故则他是谨慎的的概率是多少解 设a 该客户是谨慎的 b 该客户是一般的 c 该客户是冒失的 d 该客户在一年内出了事故 则由贝叶斯公式得30加工某一零件需要经过四道工序设第一二三四道工序的次品率分别为002003005003假定各道工序是相互独立的求加工出来的零件的次品率解设ai 第i道工序出次品 i 123425设每次射击的命中率为02问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于09解设必须进行n次独立射击即为 故 n11至少必须进行11次独立射击26证明若pab p a 则ab相互独立证

11、即亦即 因此 故a与b相互独立27三人独立地破译一个密码他们能破译的概率分别为求将此密码破译出的概率解 设ai 第i人能破译 i 123则28甲乙丙三人独立地向同一飞机射击设击中的概率分别是040507若只有一人击中则飞机被击落的概率为02若有两人击中则飞机被击落的概率为06若三人都击中则飞机一定被击落求飞机被击落的概率解设a 飞机被击落 bi 恰有i人击中飞机 i 0123由全概率公式得 040503060503060507 02 040503040507060507 06040507 0458习题二1一袋中有5只乒乓球编号为12345在其中同时取3只以x表示取出的3只球中的最大号码写出随机

12、变量x的分布律解故所求分布律为x345p0103062设在15只同类型零件中有2只为次品在其中取3次每次任取1只作不放回抽样以x表示取出的次品个数求1 x的分布律2 x的分布函数并作图 3 解故x的分布律为x012p2 当x 0时fx pxx 0当0x 1时fx pxx p x 0 当1x 2时fx pxx p x 0 p x 1 当x2时fx pxx 1故x的分布函数 3 3射手向目标独立地进行了3次射击每次击中率为08求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数并求3次射击中至少击中2次的概率解设x表示击中目标的次数则x 0123故x的分布律为x0123p0008009603840512分

13、布函数41 设随机变量x的分布律为p x k 其中k 0120为常数试确定常数a2 设随机变量x的分布律为p x k an k 12n试确定常数a解1 由分布律的性质知故 2 由分布律的性质知即 5甲乙两人投篮投中的概率分别为0607今各投3次求1 两人投中次数相等的概率2 甲比乙投中次数多的概率解分别令xy表示甲乙投中次数则xb306yb 307 1 2 02436设某机场每天有200架飞机在此降落任一飞机在某一时刻降落的概率设为002且设各飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于001 每条跑道只能允许一架飞机降落 解设x为某一时

14、刻需立即降落的飞机数则xb 200002 设机场需配备n条跑道则有即 利用泊松近似查表得n9故机场至少应配备9条跑道7有一繁忙的汽车站每天有大量汽车通过设每辆车在一天的某时段出事故的概率为00001在某天的该时段内有1000辆汽车通过问出事故的次数不小于2的概率是多少利用泊松定理解设x表示出事故的次数则xb1000000018已知在五重贝努里试验中成功的次数x满足p x 1 p x 2 求概率p x 4 解设在每次试验中成功的概率为p则故 所以 9设事件a在每一次试验中发生的概率为03当a发生不少于3次时指示灯发出信号1 进行了5次独立试验试求指示灯发出信号的概率2 进行了7次独立试验试求指示

15、灯发出信号的概率解1 设x表示5次独立试验中a发生的次数则x6503 2 令y表示7次独立试验中a发生的次数则yb70310某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数x服从参数为12t的泊松分布而与时间间隔起点无关时间以小时计1 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率2 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率解1 2 11设p x k k 012p y m m 01234分别为随机变量xy的概率分布如果已知p x1 试求p y1 解因为故而 故得 即 从而 12某教科书出版了2000册因装订等原因造成错误的概率为0001试求在这2000册书中恰有5册错误的概率解令x为

16、2000册书中错误的册数则xb 20000001 利用泊松近似计算得 13进行某种试验成功的概率为失败的概率为以x表示试验首次成功所需试验的次数试写出x的分布律并计算x取偶数的概率解14有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险在一年中每个人死亡的概率为0002每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金求1 保险公司亏本的概率2 保险公司获利分别不少于10000元20000元的概率解以年为单位来考虑1 在1月1日保险公司总收入为250012 30000元设1年中死亡人数为x则xb 25000002 则所求概率为由于n很大p很小 n

17、p 5故用泊松近似有 2 p 保险公司获利不少于10000 即保险公司获利不少于10000元的概率在98以上p保险公司获利不少于20000即保险公司获利不少于20000元的概率约为6215已知随机变量x的密度函数为f x aex x 求1a值2p 0 x 1 3 f x 解1 由得故 2 3 当x 0时当x0时故 16设某种仪器内装有三只同样的电子管电子管使用寿命x的密度函数为f x 求1 在开始150小时内没有电子管损坏的概率2 在这段时间内有一只电子管损坏的概率3 fx解1 2 3 当x 100时fx 0当x100时故 17在区间0a上任意投掷一个质点以x表示这质点的坐标设这质点落在0a中

18、任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例试求x的分布函数解 由题意知x0a密度函数为故当x 0时fx 0当0xa时当x a时fx 1即分布函数18设随机变量x在25上服从均匀分布现对x进行三次独立观测求至少有两次的观测值大于3的概率解xu25即故所求概率为19设顾客在某银行的窗口等待服务的时间x以分钟计服从指数分布某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次以y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数试写出y的分布律并求p y1 解依题意知即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为即其分布律为20某人乘汽车去火车站乘火车有两条路可走第一条路程较短但交通拥挤所需时间x服从n4

19、0102第二条路程较长但阻塞少所需时间x服从n50421 若动身时离火车开车只有1小时问应走哪条路能乘上火车的把握大些2 又若离火车开车时间只有45分钟问应走哪条路赶上火车把握大些解1 若走第一条路xn40102则若走第二条路xn5042则故走第二条路乘上火车的把握大些2 若xn40102则若xn5042则故走第一条路乘上火车的把握大些21设xn3221 求p 2 x5 p 4 x10 p x2 p x3 2 确定c使p xc p xc 解1 2 c 322由某机器生产的螺栓长度cmxn10050062规定长度在1005012内为合格品求一螺栓为不合格品的概率解23一工厂生产的电子管寿命x小时

20、服从正态分布n1602若要求p 120x200 08允许最大不超过多少解故 24设随机变量x分布函数为fx 1 求常数ab2 求p x2 p x3 3 求分布密度fx解1由得2 3 25设随机变量x的概率密度为fx 求x的分布函数fx并画出fx及fx解当x 0时fx 0当0x 1时当1x 2时当x2时故 26设随机变量x的密度函数为1 f x aex 0 2 f x 试确定常数ab并求其分布函数fx解1 由知故 即密度函数为 当x0时当x 0时故其分布函数 2 由得 b 1即x的密度函数为当x0时fx 0当0 x 1时当1x 2时当x2时fx 1故其分布函数为27求标准正态分布的上分位点1 0

21、01求2 0003求解1 即 即 故 2 由得即 查表得 由得即 查表得 28设随机变量x的分布律为x2 1 0 1 3pk15 16 15 115 1130求y x2的分布律解y可取的值为0149故y的分布律为y0 1 4 9pk15 730 15 113029设p x k k k 12令求随机变量x的函数y的分布律解30设xn011 求y ex的概率密度2 求y 2x21的概率密度3 求y x的概率密度解1 当y0时当y 0时故 2 当y1时当y 1时故 3 当y0时当y 0时故31设随机变量xu01试求1 y ex的分布函数及密度函数2 z 2lnx的分布函数及密度函数解1 故 当时当1

22、 y e时当ye时即分布函数故y的密度函数为2 由p0 x 1 1知当z0时当z 0时即分布函数故z的密度函数为32设随机变量x的密度函数为f x 试求y sinx的密度函数解当y0时当0 y 1时当y1时故y的密度函数为33设随机变量x的分布函数如下试填上 1 2 3 项解由知填1由右连续性知故为0从而亦为0即34同时掷两枚骰子直到一枚骰子出现6点为止求抛掷次数x的分布律解设ai 第i枚骰子出现6点 i 12p ai 且a1与a2相互独立再设c 每次抛掷出现6点 则 故抛掷次数x服从参数为的几何分布35随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于09解令x为0出现的次数设数字序列中

23、要包含n个数字则xb n01 即 得 n22即随机数字序列至少要有22个数字36已知fx 则fx是 随机变量的分布函数a 连续型 b离散型c 非连续亦非离散型解因为fx在上单调不减右连续且所以fx是一个分布函数但是fx c 20 d 0解在上sinx0且故f x 是密度函数在上故f x 不是密度函数在上故f x 不是密度函数在上当时sinx 0f x 也不是密度函数故选a38设随机变量xn02问当取何值时x落入区间13的概率最大解因为利用微积分中求极值的方法有得则 又 故为极大值点且惟一故当时x落入区间13的概率最大39设在一段时间内进入某一商店的顾客人数x服从泊松分布p每个顾客购买某种物品的

24、概率为p并且各个顾客是否购买该种物品相互独立求进入商店的顾客购买这种物品的人数y的分布律解设购买某种物品的人数为y在进入商店的人数x m的条件下yb mp 即由全概率公式有此题说明进入商店的人数服从参数为的泊松分布购买这种物品的人数仍服从泊松分布但参数改变为p40设随机变量x服从参数为2的指数分布证明y 1e2x在区间01上服从均匀分布 证x的密度函数为由于px 0 1故0 1e2x 1即p0 y 1 1当y0时fyy 0当y1时fyy 1当0 y 1时即y的密度函数为即yu0141设随机变量x的密度函数为f x 若k使得p xk 23求k的取值范围 2000研考 解由pxk 知px k 若k

25、 0p x k 0若0k1p x k 当k 1时px k 若1k3时px k 若3 k6则px k 若k 6则px k 1故只有当1k3时满足pxk 42设随机变量x的分布函数为f x 求x的概率分布 1991研考解由离散型随机变量x分布律与分布函数之间的关系可知x的概率分布为x113p04040243设三次独立试验中事件a出现的概率相等若已知a至少出现一次的概率为1927求a在一次试验中出现的概率解令x为三次独立试验中a出现的次数若设pa p则xb 3p 由px1 知px 0 1p3 故p 44若随机变量x在16上服从均匀分布则方程y2xy1 0有实根的概率是多少 解45若随机变量xn22且

26、p 2 x 4 03则p x 0 解故 因此 46假设一厂家生产的每台仪器以概率07可以直接出厂以概率03需进一步调试经调试后以概率08可以出厂以概率02定为不合格品不能出厂现该厂新生产了n n2 台仪器假设各台仪器的生产过程相互独立求1 全部能出厂的概率2 其中恰好有两台不能出厂的概率3其中至少有两台不能出厂的概率 解设a 需进一步调试 b 仪器能出厂 则 能直接出厂 ab 经调试后能出厂 由题意知b ab且令x为新生产的n台仪器中能出厂的台数则x6n09447某地抽样调查结果表明考生的外语成绩百分制近似服从正态分布平均成绩为72分96分以上的占考生总数的23试求考生的外语成绩在60分至84

27、分之间的概率解设x为考生的外语成绩则xn722故 查表知 即 12从而xn72122故 48在电源电压不超过200v200v240v和超过240v三种情形下某种电子元件损坏的概率分别为01com假设电源电压x服从正态分布n220252试求1 该电子元件损坏的概率 2 该电子元件损坏时电源电压在200240v的概率解设a1 电压不超过200v a2 电压在200240v a3 电压超过240v b 元件损坏 由xn220252知由全概率公式有由贝叶斯公式有49设随机变量x在区间12上服从均匀分布试求随机变量y e2x的概率密度fy y 解因为p1 x 2 1故pe2 y e4 1当ye2时fyy

28、 p yy 0 当e2 y e4时 当ye4时即 故 50设随机变量x的密度函数为fx x 求随机变量y ex的密度函数fy y 1995研考 解py1 1当y1时当y 1时即 故 51设随机变量x的密度函数为fx x 求y 1的密度函数fy y 解故 52假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数nt服从参数为t的泊松分布1 求相继两次故障之间时间间隔t的概率分布2 求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障运行8小时的概率q1993研考解1 当t 0时当t0时事件 t t 与 n t 0 等价有即 即间隔时间t服从参数为的指数分布2 53设随机变量x的绝对值不大于1p x 1 18

29、p x 1 14在事件 1 x 1 出现的条件下x在 11 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比试求x的分布函数fx p xx 1997研考 解显然当x 1时fx 0而x1时fx 1由题知当1 x 1时此时当x 1时故x的分布函数54 设随机变量x服从正态分n112 y服从正态分布n 222 且p x-1 1 p y-2 1 试比较1与2的大小 2006研考 解 依题意 则因为即所以有 即习题三1将一硬币抛掷三次以x表示在三次中出现正面的次数以y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值试写出x和y的联合分布律解x和y的联合分布律如表01231003002盒子里装有3只黑球2

30、只红球2只白球在其中任取4只球以x表示取到黑球的只数以y表示取到红球的只数求x和y的联合分布律解x和y的联合分布律如表0123000102p 0黑2红2白 03设二维随机变量xy的联合分布函数为fxy 求二维随机变量xy在长方形域内的概率解如图题3图说明也可先求出密度函数再求概率4设随机变量xy的分布密度fxy 求1 常数a2 随机变量xy的分布函数3 p 0x 10y 2 解1 由得 a 122 由定义有 3 5设随机变量xy的概率密度为fxy 1 确定常数k2 求p x1y3 3 求p x 15 4 求p xy4 解1 由性质有故 2 3 4 题5图6设x和y是两个相互独立的随机变量x在0

31、02上服从均匀分布y的密度函数为fyy 求1 x与y的联合分布密度2 p yx 题6图解1 因x在002上服从均匀分布所以x的密度函数为而所以 2 7设二维随机变量xy的联合分布函数为fxy 求xy的联合分布密度解8设二维随机变量xy的概率密度为fxy 求边缘概率密度解题8图 题9图9设二维随机变量xy的概率密度为fxy 求边缘概率密度解 题10图10设二维随机变量xy的概率密度为fxy 1 试确定常数c2 求边缘概率密度解1 得 2 11设随机变量xy的概率密度为fxy 求条件概率密度fyxyxfxyxy 题11图解所以12袋中有五个号码12345从中任取三个记这三个号码中最小的号码为x最大

32、的号码为y1 求x与y的联合概率分布2 x与y是否相互独立解1 x与y的联合分布律如下表345120300 2 因故x与y不独立13设二维随机变量xy的联合分布律为2 5 80408015 030 035005 012 0031求关于x和关于y的边缘分布2 x与y是否相互独立解1x和y的边缘分布如下表258p y yi 0401503003508080050120030202042038 2 因故x与y不独立14设x和y是两个相互独立的随机变量x在01上服从均匀分布y的概率密度为fyy 1求x和y的联合概率密度2 设含有a的二次方程为a22xay 0试求a有实根的概率解1 因 故 题14图 2

33、 方程有实根的条件是故 x2y从而方程有实根的概率为15设x和y分别表示两个不同电子器件的寿命以小时计并设x和y相互独立且服从同一分布其概率密度为fx 求z xy的概率密度解如图z的分布函数 1 当z0时2 当0 z 1时这时当x 1000时y 如图a 题15图 3 当z1时这时当y 103时x 103z如图b即 故 16设某种型号的电子管的寿命以小时计近似地服从n160202分布随机地选取4 只求其中没有一只寿命小于180的概率解设这四只寿命为xi i 1234 则xin160202从而17设xy是相互独立的随机变量其分布律分别为p x k pkk 012p y r qrr 012证明随机变

34、量z xy的分布律为p z i i 012证明因x和y所有可能值都是非负整数所以于是 18设xy是相互独立的随机变量它们都服从参数为np的二项分布证明z xy服从参数为2np的二项分布证明方法一xy可能取值为0122n方法二设12n12n均服从两点分布参数为p则x 12ny 12nxy 12n12n所以xy服从参数为2np 的二项分布19设随机变量xy的分布律为0 1 2 3 4 501230 001 003 005 007 009001 002 004 005 006 008001 003 005 005 005 006001 002 004 006 006 005 1 求p x 2y 2

35、p y 3x 0 2 求v xy的分布律3 求u minxy的分布律4 求w xy的分布律解12所以v的分布律为v xy 012345p0004016028024028 3 于是u min xy 0123p028030025017 4 类似上述过程有w xy012345678p000200601301902401901200520雷达的圆形屏幕半径为r设目标出现点xy在屏幕上服从均匀分布1 求p y0yx 2 设m xy 求p m0 题20图解因xy的联合概率密度为1 2 21设平面区域d由曲线y 1x及直线y 0x 1x e2所围成二维随机变量xy在区域d上服从均匀分布求xy关于x的边缘概率

36、密度在x 2处的值为多少题21图解区域d的面积为 xy的联合密度函数为xy关于x的边缘密度函数为所以22设随机变量x和y相互独立下表列出了二维随机变量xy联合分布律及关于x和y的边缘分布律中的部分数值试将其余数值填入表中的空白处 y1 y2 y3p x xi pix1x21818p y yj pj161解因故从而而x与y独立故从而即 又即从而同理 又故同理从而故123设某班车起点站上客人数x服从参数为 0 的泊松分布每位乘客在中途下车的概率为p0 p 1且中途下车与否相互独立以y表示在中途下车的人数求1在发车时有n个乘客的条件下中途有m人下车的概率2二维随机变量xy的概率分布解 1 2 24设

37、随机变量x和y独立其中x的概率分布为x而y的概率密度为f y 求随机变量u xy的概率密度g u 解设fy是y的分布函数则由全概率公式知u xy的分布函数为由于x和y独立可见由此得u的概率密度为25 解因为随即变量服从03上的均匀分布于是有因为xy相互独立所以推得 26 设二维随机变量xy的概率分布为1 0 1101a 0 0201 b 020 01 c其中abc为常数且x的数学期望ex 02p y0x0 05记z xy求1 abc的值2 z的概率分布3 p x z 解 1 由概率分布的性质知abc06 1 即 abc 04由可得再由 得 解以上关于abc的三个方程得 2 z的可能取值为210

38、12即z的概率分布为z2 1 0 1 2p02 01 03 03 01 3 习题四1设随机变量x的分布律为x1 0 1 2p18 12 18 14求exex2e2x3解 1 2 3 2已知100个产品中有10个次品求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望方差解设任取出的5个产品中的次品数为x则x的分布律为x012345p故 3设随机变量x的分布律为x1 0 1pp1 p2 p3且已知ex 01e x2 09求p1p2p3解因又由联立解得4袋中有n只球其中的白球数x为一随机变量已知ex n问从袋中任取1球为白球的概率是多少解记a 从袋中任取1球为白球 则5设随机变量x的概率密度为fx 求exdx

39、解故 6设随机变量xyz相互独立且ex 5ey 11ez 8求下列随机变量的数学期望1 u 2x3y12 v yz4x解 1 2 7设随机变量xy相互独立且ex ey 3dx 12dy 16求e3x2yd2x3y解 1 2 8设随机变量xy的概率密度为fxy 试确定常数k并求exy解因故k 29设xy是相互独立的随机变量其概率密度分别为fxx fyy 求exy解方法一先求x与y的均值由x与y的独立性得 方法二利用随机变量函数的均值公式因x与y独立故联合密度为于是10设随机变量xy的概率密度分别为fxx fyy 求1 exy2 e2x3y2解从而 1 2 11设随机变量x的概率密度为fx 求1

40、系数c2 ex3 dx解 1 由得 2 3 故 12袋中有12个零件其中9个合格品3个废品安装机器时从袋中一个一个地取出取出后不放回设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量x求ex和dx解设随机变量x表示在取得合格品以前已取出的废品数则x的可能取值为0123为求其分布律下面求取这些可能值的概率易知于是得到x的概率分布表如下x0123p0750020400410005由此可得13一工厂生产某种设备的寿命x以年计服从指数分布概率密度为fx 为确保消费者的利益工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换若售出一台设备工厂获利100元而调换一台则损失200元试求工厂出售一台设备赢利的数学期望解厂方出售一

41、台设备净盈利y只有两个值100元和200元故 元 14设x1x2xn是相互独立的随机变量且有exi dxi 2i 12n记s2 1 验证 2 验证s2 3 验证es2 2证 1 2 因故 3 因故同理因故从而15对随机变量x和y已知dx 2dy 3cov xy 1计算cov3x2y1x4y3解 因常数与任一随机变量独立故cov x3 cov y3 0其余类似 16设二维随机变量xy的概率密度为fxy 试验证x和y是不相关的但x和y不是相互独立的解设同理e y 0而 由此得故x与y不相关下面讨论独立性当x1时 当y1时显然故x和y不是相互独立的17设随机变量xy的分布律为1 0 110118 1

42、8 1818 0 1818 18 18验证x和y是不相关的但x和y不是相互独立的x101y101pxy101 p解联合分布表中含有零元素x与y显然不独立由联合分布律易求得xy及xy的分布律其分布律如下表由期望定义易得ex ey exy 0从而e xy e x e y 再由相关系数性质知xy 0即x与y的相关系数为0从而x和y是不相关的又从而x与y不是相互独立的18设二维随机变量xy在以000110为顶点的三角形区域上服从均匀分布求covxyxy解如图sd 故xy的概率密度为题18图从而同理而 所以从而 19设xy的概率密度为fxy 求协方差covxy和相关系数xy解从而同理 又 故 20已知二

43、维随机变量xy的协方差矩阵为试求z1 x2y和z2 2xy的相关系数解由已知知d x 1d y 4cov xy 1从而故 21对于两个随机变量vw若ev2ew2存在证明evw2ev2ew2这一不等式称为柯西许瓦兹couchyschwarz不等式证令显然可见此关于t的二次式非负故其判别式0即故22假设一设备开机后无故障工作的时间x服从参数 15的指数分布设备定时开机出现故障时自动关机而在无故障的情况下工作2小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间y的分布函数fy 解设y表示每次开机后无故障的工作时间由题设知设备首次发生故障的等待时间xe e x 5依题意y min x2 对于y 0f y p yy 0对于y2f y p xy 1对于0y 2当x0时在 0x 内无故障的概率分布为p xx 1ex所以f y p yy p min x2 y p xy 1ey523已知甲乙两箱中装有同种