首届全国中学生数理化学科能力竞赛竞赛大纲和样题－初中数学

1、 （初中数学部分）第一部分 解题技能竞赛大纲第二部分 解题技能竞赛试题样题第三部分 数学建模论文示范论文首届全国中学生数理化学科能力竞赛数学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿） 为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学高中数理化杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：1命题指导思想和要求根据教育部全日制义务教育数学课程标准和全日制普通高级中学数学课程标准的

2、要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求：1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象

3、概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。2命题范围依据教育部全日制义务教育数学课程标准和全日制普通高级中学数学课程标准的要求，初赛

4、和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。3考试形式 初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。4试卷结构全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）5难度系数 1）初赛试卷的难度系数控制在0.6左右；2）决赛试卷的难度系数控制在0.5左右。初中一年级样题一、 选择题（每小题5分，共30分）1、若，那么的值有( )个 【c】（a）4 （b）3 （c）2 （d）12、若表示一个整数，则整数

5、x可取值共有( ).【d】（a）3个 （b） 4个 （c） 5个 （d） 6个3、如果代数式4y22y+5的值为7，则代数式2y2y+1的值等于（ ）【a】（a）2 （b）3 （c）-2 （d）44、已知与之和的补角等于与之差的余角，则（）【c】（a）750（b）600（c）450（d）300abcd5、如右图所示，在abc中，acb是钝角，让点c在射线bd上向右移动，则（ ）【d】（a）abc将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 （b）abc将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 （c）abc将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形

6、 （d）abc先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形6、观察这一列数：，, , ,，依此规律下一个数是（ ）【d】（a） （b） （c） （d）二、 填空题（每小题5分，共30分）7、已知，则_ 【128】8、甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页。若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了页【35】9、如果多项式3mxay与2nx4a3y是关于x、y的单项式，且他们的和是单项式，则a20041=_ 【0】10、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的

7、数据，计算瓶子的容积是_cm。【60】 11、张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果：王说：丁队得冠军，乙队得亚军； 李说：甲队得亚军，丙队得第四；张说：丙队得第三，丁队得亚军。 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是_。【丁】12、如果a、b、c是非零有理数，那么的所有可能值是 【3、1、-1、-3】三、 解答题（每小题20分，共60分）13、计算【2007】14、三个互不相等的有理数，既可以表示为1，的形式，也可以表示为0，的形式，试求的值【解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，的形式，又可以表示为0，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等。于是可以判定与中有

8、一个是0，中有一个是1，但若，会使无意义，只能，即，于是只能是，于是1。原式2 。】15、现在由五个福娃带我们去参观国家体育馆“鸟巢”，贵宾门票是每位30元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，我们一行共有18人（包括福娃），当领队欢欢准备好零钱到售票处买18张票时，爱动脑筋的晶晶喊住了欢欢，提议买20张票，欢欢不明白，明明我们只有18人，买20张票岂不是“浪费”吗？ （1）请你算算，晶晶的提议对不对？是不是真的“浪费”呢？ （2）当人数少于20人时，至少要有多少人去“鸟巢”，买20张票反而合算呢？【略】16、如图，已知l1l2，mn分别和直线l1、l2交于点a、b，me分别和直线l1、l

9、2交于点c、d点p在mn上（p点与a、b、m三点不重合）（1）如果点p在a、b两点之间运动时，、之间有何数量关系？请说明理由（2）如果点p在a、b两点外侧运动时，、有何数量关系？（只须写出结论）【答案：过点p作pfac，交me于点f,则= +当点p运动到射线an上时：= +当点p运动到线段bm上时: = +】初中二年级样题一、 选择题（每小题5分，共30分）1、一个多边形的内角和与外角和的总和为1800，则这个多边形的边数是（ ）【b】（a）8 （b）10 （c）12 （d）142、若直线过第一、二、四象限，那么直线不经过（ ）【b】（a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象

10、限3、如图是33正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法约定沿正方形abcd的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形abcd中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( )【c】(a)4种 (b)6种(c)8种 (d)12种。4、在中，设所对的边分别为,若，那么等于 ( ) 【b】 (a) (b) (c) (d) 5、如右图，正方形abcd的边长为8，m在dc上，且dm=2，n是ac上一动点，则dn+mn的最小为（ ）（a）8 b8 c2 d10【d 提示：d点和b点关于ac对称】6、已知长度为l0cm的线段ab，以ab为直径向上作半圆，记该半圆的周长为c1；将a

11、b两等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为c2；再将ab三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为c3；如此继续，记k等分时各半圆周长之和为 ck，那么随着等分数k的增加，各半圆周长之和ck的数值 ( ) （a）越来越大 （b）越来越小 （c）不变 （d）无法判断【c不管等分数为多少，各个半圆的周长之和始终为5】二、 填空题（每小题5分，共30分）7、如图1，直线上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置.如果等边三角形翻转204次，则顶点a移动的路径总长是_ _ (用表示)【544】8、下列4个判断： 有

12、两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； 两个三角形的6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； 有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； 有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 其中正确判断的编号是_【】9、若a、c、d都是整数，b是正整数，且abc，bcd，cda，则abcd的最大值是_ 【5 abc，bcd，cda，由得a+c+2b=c+d=a，即c= 2b 进而得a=3b,d=b,a+b+c+d=5b,b是正整数，最大值为5】10、现有长为150的铁丝，要截成若干个小段，要求每段的长度都是不小于1的整数，如果其中任意三小段都不能组成三角形，问当切成最多

13、段时，共有_种切法.【7提示：要尽可能多的切成段，且任意三小段都不能组成三角形，只能这样切成10段：（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，557（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，556（3） ，36，555 （4） ，37，554（593721） (5) 13,22,35,57+3 (6),22,36,57+2（593622） (7),8,14,22,36,58】11、一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数。起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车。若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车。已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有 辆汽车

14、，这批旅客有 人。【提示：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然2，32易知旅客人数等于，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为，由此列出方程 。所以 。因为为正整数数，所以必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，且2，所以，或。如果，则，不满足32的条件。如果，则，符合题意。所以旅客人数等于2323529（人）】12、|叫做二阶行列式，它的算法是：，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有个，其中，数值最大的是【6，14】三、 解答题（每小题20分，共60分）13、如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1若六边形(可以是凸的或凹的)

15、的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的这样的六边形【答案：如右图,符合条件的六边形有许多】 14、甲、乙两车分别从a地将一批物品运往b地，再返回a地，图6表示两车离a地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达b地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？（2）甲车与乙车在距离a地多远处迎面相遇？（3）甲车从a地返回的速度多大时，才能比乙车先回到a地？【答案：（1）由图知，可设甲车由a地前往b地的函数解析式为将代入，解得 所以由图可知，在距a地30千米处，乙车追上甲车，所以当千米时，（小时）。即甲车出发1.5小时后被乙车追上（

16、2）由图知，可设乙车由a地前往b地函数的解析式为将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得所以当乙车到达b地时，千米。代入，得小时又设乙车由b地返回a地的函数的解析式为将（1.8，48）代入，得，解得所以当甲车与乙车迎面相遇时，有解得小时 代入，得千米即甲车与乙车在距离a地千米处迎面相遇（3）当乙车返回到a地时，有 解得小时甲车要比乙车先回到a地，速度应大于（千米/小时）】15、当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式【答案：将x=20代入ax2+bx+c得400a+20b+c=694，于是40

17、0a=694-(20b+c)，由-10b10，-10c10得-21020b+c210故484400a904，又a为整数，a=2将a=2代入，得20b+c=-106，于是20b=-106-c，又-10c10故-11620b20000 则y=2000020+(x一20000)30 3、如果x50000 则y=2000020%十(5000020000)30+(x一50000)40 上述表达式告诉我们，计算个人所得税时，应先根据m计算出x，再根据x找出相应的z，最后将x进行分段，再计算出应纳税额y。 数学模型的应用： 问题1：甲演员到杭州演出一场，收入3000元，应缴纳多少个人所得税?1、m=3000

18、元4000x=m-800=3000800=2200元2、x20000 y=20x= 220020=440元问题2：乙演员到杭州演出一场，收入100000元，应缴纳多少个人所得税?1、m=100000元40000x=0.8m=0.8100000=80000元2、x20000 y=2000020+(50000-20000)3o+(x一50000)40 =2000020+(50000-20000)30+(8000050000) 40 =25000元 从以上这些例子我们发现，在超额累进税率f，分段计税确实比较复杂。我们能不能找出简单一点的计算方法呢? (二)化简数学模型 我们将上面的分段函数进行化简：

19、 1、如果x20000 则y=200x，这已经很简单了，不需要再化简。 2、如果50000x20000 则y=2000020+(x-20000)30=30x-2000 3、如果x50000 则y=2000020+(50000-20000)30+(x-50000)40=40x一7000 分析上述三个化简后的式子，我们可以得出以下两个结论： 1、应纳税额y等于应纳税所得额x与相应税率z的乘积减去一个常数。假设此常数为c，则y=xz-c。 2、可以把税率表(表1)改写成表2表2 演出收入个人所得税税率表级数x(每次应纳税所得额)z(税率%)c（常数）1不超过20000元（含）的部分2002超过200

20、00元至50000元（含）的部分3020003超过50000元的部分407000 上述结论告诉我们，计算个人所得税时，应先根据m计算出x，再根据x找出相应的z和c，代入关系式y=xz-c，就可以直接得出结果了。 数学模型的应用：问题3 资料同问题1。1、m=3000元4000 x=m-800=3000-800=220元2、x20000，则z=20，c=o y=xz-c=220020-0=440元问题4 资料同问题2。1、m=100000元40000元 x=0.8m=0.8100000=80000元2、x50000,则z=40%,c=7000 y=xz-c=8000040%-7000=25000

21、元 这样计算就简单多了!(三)再化简数学模型经过化简后，计算确实简单了许多，但它还需要转个弯，m的前提下，只有换算成x后才能计算税款。能不能直接用m来：答案是肯定的。因为m与x之间存在着密切的关系。下面我佃1、当m4000吋则x=m-800，z=20c=0，代入 y=xz-c那么，y=(m一800)20% = 0.2m-160令y=0，即0.2m-160=0,得m=800所以，m的取值范围为：800m4000即当800m4000时，y=0.2m-1602、当m4000时，x=o.8m，按照x的取值范围分三种情况(1)如果x20000，则z=20，c=o，代入y=xz-c，那么，y=20%x-0

22、=0.20.8m=0.16m令x=20000,得m=x0.8=200000.8=25000所以,m的取值范围为4000m25000即当4000m25000时，y=0.16m(2)如果50000x20000,则z=30%，c=2000，代入y=xz-c那么，y=30%x-2000=0.30.8m-2000=0.24m-2000=0.24m-2000令x=50000，得m=x0.8=500000.8=62500所以,m的取值范围为：25000m62500即，当25000m62500时，y=0.24m-200020000，得m：xo 8：200000 8：25000(3)如果x50000,则z=40

23、%,c=7000,代入y=xz-c那么，y=40%x-7000=0.40.8m-7000=0.32m-7000m的取值范围为m625000即，当m625000时，y=0.32m-7000通过观察上述式子，我们可以发现，他们都变成了一次函数:y=am-b。将上述推导结果整理成下表（表3）表3 演出收入个人所得税计税系数表级数x(每次总收入)ab1超过800元至4000元（含）的0.21602超过4000元至25000元（含）的0.1603超过25000元至62500元（含）的0.2420004超过62500元的0.327000 问题5：资料同问题1m=3000元4000，则a=0.2，b=160

24、y=am-b=0.23000160=440元问题6:资料同问题2m=100000元，m62500，则a=0.32，b=7000y=amb=0.321000007000=25000元这样的计算就更简单了!二、由举办方代付税款的数学模型 问题2中乙到杭州演出一场，总收入为100000元，缴了25000元个人所得税后，税后净收入只有75000元了。她觉得报酬太低，不合算。于是丙到演出举办单位签订协议，要求演出的税后净收入为100000元，即个人所得税由演出举办者承担那么，举办者代为缴纳的个人所得税是不是25000元呢? (一)税法规定的数学模型 假设：税后净收入为n，举办者为演员代付款为y，演出举办

25、方实际支出为m，m也就是演出者的总收入。显然m=y+n。这意味着计算代付税款时，应当将举办者支付给演员的的税后净收入n(或称不含税支付额)换算为总收入m，按规定扣除费用后得巾应纳税所得额x，然后按规定税率z计算出应代付的个人所得税款y。 现在n是已知条件，我们只要建立起以n为自变量、丫为因变量的函数关系式，并且将表面化中的x换算成n，就可确定z，计算出y。 根据费用扣除规定和表面化的信息，推导如下：1、当m4000时，x=m-800,将x=m-800，代入y=xz-c那么，y=（m-800）z-c =（y+n-800）z-c，经整理可得：y= 下面确定n的取值范围。 当m4000时，z=20,

26、c=0 令y=0，即 =0，则n=800。 令m=4000，即y=xzc=(4000800)20-0=640元，n=my=4000640=3360元。即：与m=4000元相对应值为3360元。 也就是说,当3360n800时，按y= 来计算税款。此时，z=20，c=0。2、当m4000时，x=0.8m那以，y =xz-c=0.8mz-c=0.8(y+n)z-c经整理可得:y=下面分别就x的三种取值范围来确定n的对应取值范围。（1）当x=20000元时，y=xz-c=2000020-0=4000元m=x0.8=200000.8=25000元 n=m-y=25000-4000=20111元。即：与x=2000元相对应的n值为21000元。 也就是说，当21000n3360时，按y=来计算税款。此时，z=20%,c=0。 （2）当x=50000元时，y=xz-c=5000030%-2000=13000元 m=x0.8=500000.8=62500元，n=m-y=62500-13000=49500元，即：与x=50000元相对应的n值为49500元。也就