平面向量的坐标表示

1、平面向量的坐标表示一. 明确复习目标1理解平面向量的坐标概念;2. 掌握平面向量的坐标运算 ,掌握共线向量的坐标表示；二建构知识网络1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xiy j，由于 a 与数对 (x,y) 是一一对应的，因此把(x,y) 叫做向量 a 的坐标，记作a =(x,y) ，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标。(1)若a xi则 | a |x2y2y j ,(2)若 A(x 1,y1),B(x2,y2)则 AB(x2x1

2、, y2 y1 ) ,|AB|( x2x1 )2( y2 y1 )2表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.(3)向量相等坐标相同。2.平面向量的坐标运算(1)若 a x1 , y1 ,bx2 , y2，则 a b x1 x2 , y1 y2(2)若 a =(x,y) ，则a =( x,y)(3) 若 ax1 , y1 ,bx2 , y2，则 a b3. 设 ax1 , y1 , bx2 , y2 则向量共线 : a / bx1 y2x2 y10向量垂直 : a b ，x1 x2y1 y2x1 x2y1 y20三、双基题目练练手1.(2006 山东 )设向量 a=（ 1,-3），b=

3、（ -2,4），c=（ -1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（ a-c）、d 的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A. （2,6）B. （ -2,6）C.（ 2,-6）D.（ -2,-6 ）2.平面上 A（ -2 ， 1）， B（ 1，4）， D（ 4， -3 ）， C点满足 AC1CB ，连 DC并延长至 E，21 / 9使| CE|= 1| ED|，则点 E坐标为：()4A、（-8，5 ）B、（8 , 11 ） C 、（0，1）D、（0，1）或（ 2， 11 ）33333. 已知向量a、b 满足 |a|=1，|b|=2， |a b|=2，则 |a+b|等于()A.

4、1B.2C.5D.6剖析：欲求 |a+b|，一是设出a、 b 的坐标求，二是直接根据向量模计算.4.(2005 全国 )已知向量 OA(k ,12),OB(4,5), OC( k,10), ，且 A.B.C 三点共线，则 k=.5.(2005 湖北 )已知向量 a( 2,2), b(5, k).若 | ab |不超过 5，则 k 的取值范围是6. 设 OA =（ 3，1）， OB =（ -1 ， 2）， OC OB ， BC OA ， O 为坐标原点，则满足 OD + OA = OC 的 OD 的坐标是7. 已知向量 a3,2， b1,1 , 向量 m 与 3a2b 平行 , m =4 137

5、 则向量m 的坐标是 _ 例题答案 : 1-3.DBD;3. |a+b|2+|a b|2=2（ |a|2+|b|2）， |a+b|2=2（ |a|2+|b|2） |a b|2=6.法 2:利用 | a |22a2 ，（，） . 7.m44,16或m44, 164.;5. 62;6.3四、经典例题做一做【例 1】平面内给定三个向量a3,2 ,b1,2 ,c 4,1 ，回答下列问题：（ 1）求满足 a mbnc 的实数 m,n；（ 2）若 a k c / 2ba ，求实数 k；（ 3）若 d 满足 d c / ab ，且 d c5 ，求 d解：（ 1）由题意得 3,2m1,2n 4,12 / 9m

6、4n3m59所以n，得2m2n89（ 2） a kc34k,2k ,2ba5,22 34k52k0,k1613（ 3）设 d(x, y) 则 dcx4, y1 , a b 2,4由题意得4 x42 y10x4 2y1 25x3x5d(3,1)或 (5,3)得或y,y13方法提炼 ：1. 利用平面向量基本定理,2.利用共线向量定理.【例 2】（ 2006 全国） 已知向量 a(sin,1), b(1,cos ),。22（）若 ab ，求；（）求ab 的最大值。解：（） 若 ab, 则 sin cos 0，得 t a n1所以;4（） 由 a(sin,1),b (1,cos )得| a b |si

7、n 2(1cos )23 22 sin(4)当 sin() 1时 , ab 取最大值， 即当时 , a b max2 1.44 解题评注 ：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，要能熟练解答。【例 3】已知ABC 中， A(2,-1) ， B(3,2) ， C(-3,-1),BC 边上的高为AD ，求 AD 。3 / 9解：设 D(x,y),则 ADx2, y1,BDx3, y2 , BCb,3ADBC, BD / BC6 x23 y10得x13 x36 y20y1所以 AD1,2【例 4】如图，设抛物线y2=2px（ p0）的焦点为 F经过点 F 的直线交抛物线于A

8、、 B两点，点 C在抛物线的准线上，且BC x 轴，证明直线AC经过原点 O解法一：设 A(x 1,y 1),B(x2,y 2),F(p 0) ，则 C(p , y2)22则 FA ( x1p , y1), FB ( x2p , y2 )22yA FA与FB共线, (x 1p( x 2p)y 2)y 1 022oF x( x1p ) ( x 2 p )即22（ * ）CBy1y 2代 x 1y12, x 2y 22整理得， y1 y2=-p22p2 p OA ( x1, y1 ),OC (p , y2 )2x yp yy1p2p y012212 py122 OA 与 OC 共线，即 A、 O、

9、 C 三点共线，也就是说直线 AC经过原点 O解法二：设 A(x 1,y 1) ， C(p,y 2) ，B(x 2,y 2)2欲证 A、 O、 C 共线，只需且仅需 k OA k OCy1y 2, 又 x 1y12，即p2px12 只需且仅需y1y2=-p 2，用韦达定理易证明4 / 9解题评注 ：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。核心步骤 :【研讨 .欣赏】 (2005上海 )在直角坐标平面中，已知点P12233)(1

10、,2),P (2,2 ), P (3,2Pn (n,2n)，其中 n 是正整数，对平面上任一点A0，记 A1为 A0关于点 P1的对称点， A2为A 1 关于点 P2 的对称点， A n 为 A n-1 关于点 Pn 的对称点。（ 1）求向量 A0 A2 的坐标；（ 2）当点 A0 在曲线 C 上移动时，点A 2 的轨迹是函数y=f(x) 的图象，其中f(x)是以3 为周期的周期函数，且当x (0,3 时， f(x)=lgx 。求以曲线C 为图象的函数在1,4 上的解析式；（ 3）对任意偶数 n，用 n 表示向量 A0 An 的坐标。解 .(1)设点 A 0(x,y), A 0 关于点 P1

11、的对称点 A 1 的坐标为 (2-x,4-y),A 1 为 P2 关于点的对称点A 2 的坐标为 (2+x,4+y), A0 A2 =2,4.(2) A0 A2 =2,4, f(x) 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位 ,再向上平移 4 个单位得到 .又 x (3k,3k+3) 时,x-3k (0,3), f(x) 周期是 3,所以 f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)设曲线 C 的函数是 y=g(x), 则g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, 此时 x+2 (3k,3k+3),即 x 3k-2,3k+1),是以 3 为周期的周期函数 .当 x (1,4 时,g(x

12、)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4.(3)A0 An = A0 A2 A2 A4An 2 An ,由于 A2k 2 A2 k2P2 k 1 P2k ,得A0 An=2( P1 P2P3 P4Pn 1 Pn )=2(1,2+1,23+ +1,2 n-1)=2n2(2n1)4( 2n1),3=n,32五提炼总结以为师5 / 91、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算。2、两个向量平行的坐标表示。3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。同步练习平面向量的坐标表示【选择题】1（. 2004 年天津，理 3）若平面向量 b 与向量 a=（

13、 1， 2）的夹角是 180 ，且 |b|=35 ，则 b 等于( )A.（ 3， 6）B.（3， 6）C.（6， 3）D. （ 6， 3）2. 正方形 PQRS对角线交点为 M，坐标原点 O不在正方形内部， 且 OP =（0，3）， OS =（ 4， 0），则 RM =（）A、（7 ,1 ）B 、（7,1）C、（7， 4）D、（7, 7）2222223. （ 2004 年辽宁， 6）已知点 A（ 2，0），B（3，0），动点 P（ x，y）满足 PA PB =x2，则点 P 的轨迹是( )A. 圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.（ 2004 全国）已知平面上直线l 的方向向量 e=（ 4，

14、3 ），点 O（0，0）和 A55（ 1， 2）在 l 上的射影分别是O 和 A，则 O A = e，其中 等于 ( )A. 11B. 11C.2D. 255【填空题】5.已知 a1,2 , b x,1 ,且 a2b 与 2a b 平行，则 x=_6（ 2005 天津）在直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,1) 和点 B(-3,4)，若点 C 在 AOB的平分线上且 | OC |=2, 则 OC = 练习简答 ： 1-4.AADD;4.e是单位向量 ,OA在上的投影为 = e OA462 ,e556 / 95.1;6.(10,3 10)255【解答题】7.已知平面上四点 A(1,2),B(5

15、,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD为凸四边形且 BD平分 AC 时 ,实数 a,b 应满足的条件 .解 :设 AC,BD交于点E,易得111BD(a 5,b 8)BE(BABC )(,4)又2,11 ,2设 BDBE 得 (a5,b8) (4 ) ,( 1)211a 5 2 消 得 8a 11b 48 0 且 a 1 , b 4 2b848.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10), 若 APABAC (R) ,试问(1) 为何值时 ,点 P 在一、三象限角平分线上？（ 2） 为何值时，点 P 第三象限？解 .设点 P 的坐标为（ x,y ），则 AP(x, y

16、)(2,3)( x2, y3)ABAC(5,4) (2,3)(7,10)(2,3)(35 ,17)，由 APABAC 得x 235x 55，点 P 坐标为（ 5+5 ,4+7 ）.y317y479.( 2005山东 ) 已知向量 m(cos ,sin) 和 n( 2 sin ,cos ),( ,2 ) ，且mn82) 的值5，求 cos(28解 :因为 mn(cossin2,cossin),mn(cossin2) 2(cossin )27 / 942 2 ( c o ss i n )2 ) 1 c o s ()4 4 c o s (44由已知 m n82，得 cos()75425又 cos()

17、2cos 2 (2)148所以cos2 (2)168252,59所以 cos(482888)2510. .已知A40），N10P满足 ANAP =6| PN |.（ ，（， ），若点（ 1）求点 P 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（ 2）求 | PN |的取值范围；解：（ 1）设 P（x， y）， AP =（ x 4， y）， PN =（1 x， y）， AN =（ 3， 0），AN AP =6| PN |， 3（ x 4） =6 （12222x） （y） ，即 3x +4y =12. x2y 21， 0）、（ 1， 0）为焦点，长轴长为4的椭圆.=1.P 点的轨迹是以（4 3（ 2）N

18、（1，0）为椭圆的右焦点， x=4 为右准线，设 P（ x0， y0），P 到右准线的距离为 d， d=4 x0 ，|PN |1， |PN |=14 x0. 2 x0 2， 1 |PN| 3.d=e=d=222当 |PN|=1 时， P（ 2，0）；当 |PN|=3 时， P（ 2， 0） .【探索题】已知向量u( x, y) 与 v( y, 2yx) 的对应关系用vf (u) 表示（ 1）证明：对于任意向量 a, b 及常数 m， n 恒有f ( manb)mf (a) nf (b ) 成立；（ 2）设 a(1,1),b (1,0) ，求向量 f ( a) 及 f (b ) 的坐标；8 / 9求使 f ( c)( p