(完整版)数列应用题专题训练

1、 数列应用题专题训练高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为p 元，每期利率为 r，经过 n 期，按单利计算的本利和公式为 sn=p(1+nr)。复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为 p，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，则复利函数式为 y=p(1+r) 。x例 1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大

2、学的学费，每年 6 月 30 日在银行中存入 2000 元，连续 5 年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a 元按 a(1+n6.5%)计本利(n 为年数)；(2)如果按每年转存计，即每存入 a 元，按(1+5.7%) a 计算本利(n 为年数)。n问用哪种存款的方式在第六年的 7 月 1 日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。解：若不计复利，5 年的零存整取本利是2000(1+50.065)+2000(1+40.065)+2000(1+0.065)=11950；若计复利，则2000(1+5%)

3、+2000(1+5%) +2000(1+5%)11860 元。54所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。例 2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150 元。购买当天先付150 元，以后每月这一天都交付50 元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付 150 元以后的第 一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出 150 元，余欠款 1000 元，按题意应分 2

4、0 次付清。设每次所付欠款顺次构成数列a ，则na =50+10000.01=60 元，1a =50+(1000-50)0.01=59.5 元，2a =50+(1000-502)0.01=59，3a =60-(n-1)0.5n所以a 是以 60 为首项，-0.5 为公差的等差数列，n故 a =60-90.5=55.5 元1020 次分期付款总和60 50.5s =20=1105 元，202实际付款 1105+150=1255(元)答：第 10 个月该付 55.5 元，全部付清后实际共付额 1255 元。例 3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年

5、11 月份曾发生流感，据资料记载，11 月 1 日，该市新的流感病毒感染者有 20 人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30 人，到11 月 30 日止，该市在这 30 天内感染该病毒的患者共有 8670 人，问 11 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。分析：设 11 月 n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从 11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从 n+1 日到 30 日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个

6、等差数列的和即为这个月总的感染人数。略解：由题意，11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人数构成一等差数列 a ，a =20,d =50,11 月 nn11日新感染者人数 a =50n30；从n+1 日到 30 日，每天新感染者人数构成等差数列b ,b =50n-60,d =nn1230，b =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月 30 日新感染者人数为 b =20(30-n)-30=-20n+570.n30-n (20 + 50n - 30)n 50n - 60 + (-20n + 570)(30 - n)+故共感染者人数为：=8670，化简得：22n -61n+5

7、88=0,解得 n=12 或 n=49(舍)，即 11 月 12 日这一天感染者人数最多，为 570 人。2例 4（住房问题）某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m ，如果该城市每年人口2平均增长率为 1%，每年平均新增住房面积为 30 万 m ，求 2000 年底该城市人均住房面积为多2少 m ？(精确到 0.01)2解：1991 年、1992 年、2000 年住房面积总数成 apa = 6500 = 3000 万 m2，d = 30 万 m2，1a = 3000 + 930 = 3270101990 年、1991 年、2000 年人口数成 gp= 500 1.01

8、 500 1.0937 546.8= 500 , q = 1% , b9b1103270 5.98 m22000 年底该城市人均住房面积为：546.8点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。例 5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg 盐水，然后加入 1 kg水，以后每次都倒出 1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水，问：1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？2.经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为a ，则：n11a = 0.2 kg

9、, a = 0.2 kg ,a = ( ) 0.2 kg212232111由此可见：a = ( ) 0.2 kg , a = ( ) 0.2= ( ) 0.2=0.0125 kgn-15-142522n122.由 1.得a 是等比数列a =0.2 ,q=n110.2(1- )a (1- q)626s = 0.39375 kg111- q61-20.4 - 0 .39375 = 0 .006250.00625 2 = 0.003125点评：掌握浓度问题中的数列知识。例 6（减员增效问题）某工厂在 1999 年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第2一年可以到原单位领取工资的 100，

10、从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的 领取工3资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50，如果某b人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为a 元，n（1）求a 的通项公式；n 8a=（2）当b（3）当b时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？273a时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？823解：（1）由题意得，当n=1时， a = a，当n 2a = a( ) + b( )时，n-1n-21n32a(n =1)=

11、 a 23a( ) + b( )(n 2)n-1n-2n 32，28a=（2）由已知b278a 328a 38a1 2= ( ) + ( ) 2a( ) ( ) =当 n时， a an要使得上式等号成立，n-1n-2n-1n-2 2327 2327 2928a 32( )328a( ) = ( )= ( )n = 3当且仅当a，即4 ，解得，因此这个人第三年收入最少为n-1n-22n-2327 239元2323a 323a 3 2= ( ) + b( ) a( ) + ( ) 2 a( ) ( ) = a（3）当n时，a an-1n-2n-1n-2n-2，上n3238 238 23a12=n

12、=1+ log 1+ log = 2述等号成立，须b且因此等号不能取到，82323233a当b时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入8例 7（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获得利润 1 万元，以后每年比上年增加 30的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获得利润 1 万元，以后每年比前一年多获利 5000 元两种方案的期限都是 10 年，到期一次行归还本息若银行贷款利息均以年息 10的复利计算，试 比 较 两

13、个 方 案 哪 个 获 得 存 利 润 更 多 ？ （ 计 算 精 确 到 千 元 ， 参 考 数 据 ：1.1 = 2.594,1.3 =13.796）1010解：甲方案 10 年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 项的和：1.3 -1101+ (1+ 30%) + (1+ 30%) +l + (1+ 30%) = 42.62（万元）291.3-110(1+10%) =10 2.594 = 25.94到期时银行的本息和为10（万元）（万元）甲方案扣除本息后的净获利为：42.62- 25.94 16.7乙方案：逐年获利成等差数列，前 10 年共获利：10(1+ 5.5)1+ (1+ 0.5

14、) + (1+ 20.5) +l + (1+90.5) = 32.50（万元）21.1 -1101.11+ (1+10%) +l + (1+10%) =1.1=17.53（万元）贷款的本利和为：91.1-1乙方案扣除本息后的净获利为：32.50-17.53 =15.0所以，甲方案的获利较多（万元） 三、a - a =f(n),f(n)为等差或等比数列n-1n有的应用题中的数列递推关系，a 与 a 的差（或商）不是一个常数，但是所得的差 f(n)本身nn-1构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。例 8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广

15、告宣传且每件获利 a 元的前提下，可卖出 b 件。若作广告宣传，广告费为 n 千元时比广告费为（n-1）b千元时多卖出件，（nn ）。*2n（1）试写出销售量 s 与 n 的函数关系式；（2）当 a=10,b=4000 时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为 n 千元时的销量为 s ,则 s 表示广告费为(n-1)元时的nn-1bb销量，由题意，s s =，可知数列s 不成等差也不成等比数列，但是两者的差2n-1 2n构成等比nnn数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：b b b+b1解法一、直接列式：由题，s=b+ +=b(2-)

16、2 2 22n2n23bb bb b b+b（广告费为 1 千元时，s=b+ ；2 千元时，s=b+ +；n 千元时 s=b+ +）22 222 2 22n23解法二、（累差叠加法）设 s 表示广告费为 0 千元时的销售量，0bs - s =210b- s =sb b b+b22由题： 21，相加得 s -s = +,n02 2 22n23l lbs - s =2nnn-1b b b+b1即 s=b+ +=b(2-)。2 2 22n2n2311（2）b=4000 时，s=4000(2-),设获利为 t,则有 t=s10-1000n=40000(2-)-1000n2n2nt t 5n欲使 t 最

17、大，则：+1 ，得，故 n=5,此时 s=7875。nt tnn 5nnn-1即该厂家应生产 7875 件产品，做 5 千元的广告，能使获利最大。 四、a = ca +b，其中 b、c 为非零常数且 c1n-1n例 9、（企业生产规划问题）某企业投资 1 千万元于一个高科技项目，每年可获利 25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200 万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（ 4 倍）的目标？（lg2=0.3）。分析：设经过 n 年后，该项目的资金为 a 万元，则容易得到前后两年 a 和 a 之间的递推关nn

18、n-1系：a =a （1+25%）-200（n2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：nn-155解：由题，a =a （1+25%）-200（n2），即 a = a -200，设 a += （a +），展开nn-1n4n-1n4n-15115得 a = a + ， =-200，=-800，a -800= （a -800），即a -800成一个等比数列，n4n-144n4n-1n55a =1000(1+25%)-200=1050, a -800=250，a -800=250（ ） ，a =250（ ） +800，令 a 4000，n-1n-111n4n4n5得（ ） 16，解得

19、n12,即至少要过 12 年才能达到目标。n4例 10（分期付款问题）某人年初向银行贷款 10 万元用于买房：(1)如果他向建设银行贷款，年利率为 5%，且这笔借款分 10 次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元)；(2)如果他向工商银行贷款，年利率为 4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分 10 次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到一元)。解：(1)设每年还款 x 元，依题意得x+x(1+5%)+x(1+25%)+x(1+95%)=100000(1+5%)，x12245 元(2)设每年还款 x 元，依题意得x+

20、x(1+4%)+x(1+4%) +x(1+4%) =100000(1+4%) ，2910x12330 元答：(1)当年利率为 5%，按单利计算，每年应归还 12245 元；(2)当年利率为 4%，按复利计算时，每年还款 12330 元。评注：上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异。(1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n 项和公式； (2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前 n 项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同。例 11（环保问题）（2002 年全国高考题）某城市 2001 年末汽车保有量为 3

21、0 万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？分析：由“每年报废上年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同”易得某城市每年末汽车保有量与上年末汽车保有量的关系，于是可构造数列递推关系来求解。解：设每年新增汽车为 b 万辆，该城市第 n 年末的汽车保有量为 a ，则容易得到 a 和 annn1 的递推关系： = -(1 6%)ab 0.94a+ =+(n 2)abnn-1n-150 b 0.94（n 350 b ）-即 -aan-1 35050 b为首项的等比数列。

22、3 -是以 0.94 为公比，以 -30abn 3505050350 b）0.94n1+（ -30 -（ -30）0.94 ，即 =abbabn1n 33n350(1)当 -300 即 b1.8 时，aa a=30bnn-11350 b0 即 b1.8 时3(2) 当 -305035050lim lim +（ -30）0.94 bn1abbn33nn并且数列a为递增数列，可以任意接近50b ，因此，如果要求汽车保有量不超过60 万辆，n350 b 60，即 b3.6（万辆）。3即a60（n=1,2,3），则n综上，每年新增汽车不应超过 3.6 万辆。例 12用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半

23、多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，依此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第 10 层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？分析：因每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，即每一层剩下砖块是上次剩下砖块的一半少一块，于是可用数列的递推关系求解。解：设此次砌墙一共用了 s 块砖，砌好第 n 层后剩下砖块为a 块（1n10，nn ）*na1=-1，即a + 2 = (a + 2)则an-122n-1nna +2为等比数列，且公比为1n2s又由题意得：a 112sa2 112sa2 112 s1a 2( 1)( )n122ns1即 a ( 1)( ) 2n122na 010s1

24、（ 1 ）（ ） 20922解得：s2 2204611例 13（生态问题）某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 ，设 a 为 年后该地区森林木材的存量，bnn（1）求a 的表达式；n719a（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于 a ，如果b =，972那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 2 = 0.3）解：（1）设第一年的森林的木材存量为 ，第n 年后的森林的木材存量为a ，则a1n15a = a(1+ ) -b = a -b ，441555a = a -b = ( ) a -

25、 ( +1 )b ，2454545215a = a -b = ( ) a -( ) + +1b ，3244443255555a = ( ) a -( ) + ( ) +l +1= ( ) a - 4( ) -1b(n n ) nn-1n-2nn*44444n19727551975=a 时，有a a 得( ) a - 4( ) -1 a 5 ，（2）当bnnn9447294nlg51- lg2n = 7.2所以，lg5- 2lg 2 1-3lg 2答：经过 8 年后该地区就开始水土流失五、二个（或多个）不同数列之间的递推关系有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确

26、处分没数列间的相互联系，整体考虑。例 14、（浓度问题）甲乙两容器中分别盛有浓度为 10%、20%的某种溶液 500ml，同时从甲乙两个容器中取出 100ml 溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a =10%,b =20%,11经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a 、b ，nn （1）试用 a 、b 表示 a 、b ；n-1n-1nn（2）求证数列 a -b 是等比数列，并求出 a 、b 的通项。nnnn分析：该问题涉及到两个不同的数列 a 和 b ，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单nn独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。解：（1）由题意400a

27、 +100b41400b +100a41= a + b= b + an-1a =；b =n-1n-1n-1n50055n50055n-1n-1n-1n-1333（2）a -b = a - b = （ a - b ）（n2），a -b 是等比数列。又 a -b =-10%,nn555nn11n-1n-1n-1n-13)a -bn=-10%( n-1.（1）n5+ b a + b又 a= a +b =30%，（2）11nnn-1n-13)53)5%+15%；b =( n-15%+15%。联立（1）、（2）得a =-(n-15nn/ s例 15现有流量均为 300m的两条河流 a、b 会合于某处后，

28、不断混合，它们的含沙量分别2为 2 kg/ m3 和 0.2 kg / m3 假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1 秒钟内交换 100 m3 的水量，即从 a 股流入 b 股100 m3 水，经混合后，又从 b 股流入 a 股 100m3 水并混合问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 0.01kg讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01kg/ m3 （不考虑泥沙沉淀）？/ m3 ”但直接建构这样的不等,b关系较为困难为表达方便，我们分别用a来表示河水在流经第 n 个观测点时，a 水流和 b 水nn

29、流的含沙量/ mkg / m3 ，且3 ， 0.2b则 a 2 kg11100a + 300b 13100b + 200a 12b =n+1= a + b , a = b + a （）n()n(n+1)n100 + 30044100 + 20033nnn+1n+1n -b由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列 ann由（）可得： 1 1 2 22 22 2 1 1 3 3 1 1 ()=(=b() )a -b = b + a -b = a -b-b = b + a -b = a -b=a a- - a + + ba= a-b-baa 3 33 33 33 3 4

30、 4 4 42 2n+1 +1n nn+1n+1 +1n+1nnn +1n+1nn n n+1n+1 n n n nnnn nn1为首项，以 为公比的等比数列 -ba - b =1.8所以，数列 a是以211nn1 n-1 -b =1.8所以， a2 nn11lg180lg2 n-1- b= log 180由题，令a 0.01，得所以， 2 1802nn2 180 2 7 log 180 8由 78 得2即从第 9 个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01 kg/ m3 点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解六、数列求和综合问题例 16 某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30000m2的宿舍楼（每层的建筑面积相同）。已知土地的征