(完整版)数列求和常见的7种方法

1、 数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和 7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常

2、用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(a + a )n(n -1)= na +nd1、 等差数列求和公式：s122n1na(1- q ) a - a q(q = 1)1=2、等比数列求和公式：san=(q 1)11nn1- q1- q 11nn= k = n(n +1)s = k = n(n +1)(2n +1)n3、 s5、 s4、226nnk=1k=11n= k = n(n +1)322k=1-1log x =+ x + x + x + 的前 n 项和.例 1已知，求 x23nlog 332-11log x = log x = -log 2 x =解：由log 3233321

3、s = x + x + x + + x由等比数列求和公式得23n（利用常用公式）n121(1- )x(1- x )1n2n111- x2n1-2sf (n) =例 2 设 s 1+2+3+n，nn ,求的最大值.n*n(n + 32)sn+111s = n(n +1)s = (n +1)(n + 2)解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式）22nnsnf (n) =n(n + 32)sn2 + 34n + 64n+111816450n + 34 +( n - )2 + 50nn81n -f (n) =，即 n8 时， 当850max二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式

4、时所用的方法，这种方法主要用于求数列a b 的前 nnn项和，其中 a 、 b 分别是等差数列和等比数列.nns = 1+ 3x + 5x + 7x + + (2n -1)x例 3 求和：23n-1n解：由题可知，(2n -1)xn 1 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 n-1 的通项之积x-xs = 1x + 3x + 5x + 7x + + (2n -1)x设234n . （设制错位）（错位相减）n(1- x)s = 1+ 2x + 2x + 2x + 2x + + 2x - (2n -1)x得234n-1nn1- xn-1(1- x)s = 1+ 2x - (2n -1)x再利用等

5、比数列的求和公式得：n1- xn(2n -1)x - (2n +1)x + (1+ x)n+1ns =n(1- x)22 4 62n, , , ,例 4 求数列前 n 项的和.2 2 22n232n1解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积2n2n2 2 462ns = + + + +设2 2222nn3122462ns =+ + +（设制错位）（错位相减）222242n+1n312 22222n(1- )s = + + +-得22 222242n 2n+1n312n= 2 -2n-1n + 22n-12n+1s = 4 -n三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和

6、公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原(a + a )数列相加，就可以得到 n 个.1nc + 3c + 5c + + (2n +1)c = (n +1)2例 5求证：0n1n2nnnns = c + 3c + 5c + + (2n +1)c证明： 设0n1n2nn . nn把式右边倒转过来得s = (2n +1)c + (2n -1)c + + 3c + c（反序）nn-1n1n0nnnc = c又由mn-m 可得nns = (2n +1)c + (2n -1)c + + 3c + c0n1nn-1nn . nn2s = (2n + 2)(c + c + + c +

7、c ) = 2(n +1) 2+得0n1nn-1n（反序相加）nnnns = (n +1) 2nnsin 1 + sin 2 + sin 3 + sin 88 + sin 89o的值例 6求2o2o2o2o2s = sin 1 + sin 2 + sin 3 + + sin 88 + sin 89解：设2o2o2o2o2o. o.将式右边反序得s = sin 89 + sin 88 + + sin 3 + sin 2 + sin 1（反序）2o2o2o2o2sin x = cos(90 - x), sin x + cos x =1又因为o22+得（反序相加）2s = (sin 1 + cos

8、1 ) + (sin 2 + cos 2 ) + + (sin 89 + cos 89 )o 892o2o2o2o2o2 s44.53 题 1 已知函数（1）证明：（2）求；的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边4 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：5 所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.1111+1, + 4, + 7,求数列的前 n 项和：+ 3n - 2例 7，aaan-12111s = (1+1) + ( + 4)

9、+ ( + 7) + + (+ 3n - 2)解：设aaan-1n2将其每一项拆开再重新组合得11 1s = (1+ + +) + (1+ 4 + 7 + + 3n - 2)（分组）a aan-1n2(3n -1)n (3n +1)ns = n +当 a1 时，（分组求和）22n6 11-1-(3n -1)n a - a(3n -1)n1-nan11时， s =+当 a2a -12na例 8求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.= k(k +1)(2k +1) = 2k + 3k + k解：设 a32knn= k(k +1)(2k +1)(2k + 3k + k) s32nk=1k=1

10、将其每一项拆开再重新组合得 nnn2k + 3 k +ks 32（分组）nk=1k=1k=12 (1 + 2 + + n ) + 3(1 + 2 + + n ) + (1+ 2 + + n)333222n2(n +1)2n(n +1)(2n +1) n(n +1)+（分组求和）222n(n +1) (n + 2)22五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：sin 1o= f (n +1) - f (n)= tan(n +1) - tan no（1） a（2）oc

11、osn cos(n +1)ono111(2n)21 11a =n= -(n +1) n n +1=1+ (-)（3）（4）a(2n -1)(2n +1)2 2n -1 2n +1nn1111= -（5） an(n -1)(n + 2) 2 n(n +1) (n +1)(n + 2)nn + 2 1 2(n +1) - n 1111a =n=-,则s = 1-(6)n(n +1)2( +1) 2n nn 2n-1(n +1)2n(n +1)2nnnn1111=(-)（7） a(an + b)(an + c) c - b an + b an + cn1a =n= n +1 - n（8）n + n

12、+17 111,的前 n 项和.例 9 求数列解：设 a1+ 2 2 + 3n + n +11= n +1 - n（裂项）+ n +1nn111s =+ +则（裂项求和）1+ 22 + 3n + n +1n( 2 - 1) + ( 3 - 2) + + ( n +1 - n)+1 -1 n12n2=n n+ +，又b =例 10 在数列a 中， a，求数列b 的前 n 项的和.n+1+1+1a annnnnn+112nn=+ +=解： a bn +1 n +1n +1 2n211= 8( -)（裂项）n n +1+1nn n2 2 数列b 的前 n 项和n11 11 111s = 8(1- )

13、 + ( - ) + ( - ) + + ( -)（裂项求和）22 33 4n n +1n18n8(1-)n +1n +1111cos1osin 1+ +=例 11 求证：cos 0 cos1 cos1 cos 2cos 88 cos 89ooooooo2o111=+ +解：设 scos 0 cos1 cos1 cos 2cos 88 cos 89ooooosin 1o= tan(n +1) - tan no（裂项）ocosn cos(n +1)oo111=+ + s（裂项求和）cos 0 cos1 cos1 cos 2cos 88 cos 89oooooo1(tan1 - tan 0 ) +

14、 (tan 2 - tan 1 ) + (tan 3 - tan 2 ) +tan 89 - tan 88 oooooooosin 1o11cos 1osin 1(tan 89 - tan 0 )o cot 1oosin 1osin 1o2o 原等式成立8 答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 s .n例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 s cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179ncos n = -c

15、os(180 - n )（找特殊性质项）ooos （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+n+（cos89+ cos91）+ cos90 0（合并求和）a =1,a = 3,a = 2,a = a - a例 13 数列a ：，求 s .n2002123n+2n+1na + a + a + + a解：设 s 20021232002a = 1, a = 3, a = 2, a = a - a由可得123n+2n+1na = -1, a = -3, a = -2,456a = 1, a = 3, a = 2, a = -1, a = -3, a

16、= -2,789101112a= 1, a= 3, a= 2, a= -1, a= -3, a= -26k+16k+26k+36k+46k+56k+6a+ a+ a+ a+ a+ a= 0（找特殊性质项）（合并求和）6k+16k+26k+36k+46k+56k+6a + a + a + + a s 200212320029 (a + a + a + a ) + (a + a + a ) + + (a+ a+ a+ + a)123678126k+16k+26k+6+ + (a + a + + a ) + a + a+ a199320006k+2199419981999200020012002a

17、+ a1999+ a+ a20012002a+ a+ a+ a6k+16k+36k+45在各项均为正数的等比数列中，若a a = 9,求log a + log a + + log a例 14的值.563132310s = log a + log a + + log a解：设n3132310m + n = p + q a a = a a由等比数列的性质和对数的运算性质（找特殊性质项）（合并求和）mnpqlog m + log n = log m n得aaas = (log a + log a ) + (log a + log a ) + + (log a + log a )n3131032393

18、536(log a a ) + (log a a ) + + (log a a )3110329356log 9 + log 9 + + log 933310七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.1+11+111+1111之和.例 15求1 2 3n个1111111 = 999 9 = (10 -1)解：由于k（找通项及特征）（分组求和）1 2 314 2 4399k个1k个11+11+111+11111 2 3n个119111(10 -1) + (1 0 -1) + (1 0 -1) + + (1 0 -1)123n999191(10 +10 +10 +10 ) - (1+1+1+1)123n1 44 2 4 439n个110 1 10(10 -1) nn-9 10 -191(10 -10 -9n)n+1818a =n,求 (n +1