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线和椭圆的交点问题1若直线与椭圆恒有公共点，求实数 m 的取值范围。解法一：由可得即解法二：直线恒过一定点（0,1）当，且时，椭圆焦点在 轴上，短半轴长 ，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即综述：且解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即 且二、直线截椭圆所得弦长问题2已知椭圆 ，直线交椭圆于 ab，求 ab 的长.解法一：设 a、b 两点坐标分别为和将直线方程得关于 的方程代入椭圆方程又。ab 长为。解 法 二 ： 直 线过 （ 1 ， 0 ） 点 ， 即 椭 圆 的 右 焦 点 。评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点 三、直线截椭圆所得弦中点有关问题到左、右焦点的距离分别为ab 长为和 。3已知椭圆方程为 ，求：（1） 中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2） 斜率为 3 的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3） 过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。解析：设直线与椭圆交点为 ， ，则 得 （1）弦中点坐标为（4，1）， ， ，则由式得直线斜率为直线方程为 ，即 。（2）设弦中点坐标为 ，则由式可得 ，即轨迹方程为 。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程的解而 ， 又将代入可得当时，直线与椭圆相交于和,

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