2010考研数学二真题及答案解析

1、2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题(18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)函数f(x)=x2-x11+x2-1x2的无穷间断点的个数为()(a)0.(b)1.(c)2.(d)3.(2)设y,y是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数l，m使12ly+my是该方程的解,ly-my是该方程对应的齐次方程的解,则()1212(a)l=1111,m=.(b)l=-,m=-.2222(4)设m,n是正整数,则反常积分1mln2(1-x)xxxz2122(c)l=,m

2、=.(d)l=,m=.3333(3)曲线y=x2与曲线y=alnx(a0)相切,则a=()(a)4e.(b)3e.(c)2e.(d)e.0nxdx的收敛性()(a)仅与m的取值有关.(b)仅与n的取值有关.(c)与m,n取值都有关.(d)与m,n取值都无关.yz(5)设函数z=z(x,y),由方程f(,)=0确定,其中f为可微函数,且f0,则2z+y=()xy(a)x.(b)z.(c)-x.(d)-z.(6)limnnni=1j=1n(n+i)(n2+j2)=()dx(dx(1+x)(1+y)1+x)(1+y)(a)002001x11x1dy.(b)dy.dx(dx(c)11001+x1)(1

3、+y)dy.(d)11001+x1)(1+y2)dy.(7)设向量组i:a,a,a可由向量组ii:b,b,b线性表示,下列命题正确的是()12r12s(a)若向量组i线性无关,则rs.(b)若向量组i线性相关,则rs.(c)若向量组ii线性无关,则rs.(d)若向量组ii线性相关,则rs.(8)设a为4阶实对称矩阵,且a2+a=o,若a的秩为3,则a相似于()111100-1-100(a).(b).1-11-1(c).(d).-1-1二、填空题(914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)3阶常系数线性齐次微分方程y-2y+y-2y=0的通解为y=.(10)曲线y=

4、2x3x2+1的渐近线方程为.(11)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=.(12)当0qp时,对数螺线r=eq的弧长为.(13)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽w以3cm/s的速率增加.则当l=12cm,w=5cm时,它的对角线增加的速率为.b(14)设a,b为3阶矩阵,且a=3，=2,a-1+b=2,则a+b-1=.三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数f(x)=x2(x2-t)e-t2d的单调区间与极值.1(16)(本题满分10分)(i)比较10ln

5、tln(1+t)ndt与1tnlntdt(n=1,2,)的大小,说明理由；0(ii)记u=lntln(1+t)ndt(n=1,2,0n(17)(本题满分10分)1),求极限limunn.x=2t+t2,设函数y=f(x)由参数方程y=y(t)(t-1)所确定,其中y(t)具有2阶导数,且y(1)=，y(1)=6.已知52d2y3=dx24(1+t),求函数y(t).(18)(本题满分10分)一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将贮油罐平放,当3油罐中油面高度为b时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为2常数rkg/m3)(19)(本题满分

6、11分)设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式42u2u2u+12+52xxyy2=0,确定a,b的值,使等式在变换x=x+ay,h=x+by下化简为(20)(本题满分10分)2uxh=0.计算二重积分i=r2sinq1-r2cos2qdrdqd,其中d=(,q)r|04,(21)(本题满分10分)se.rqpqc0设函数f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=13,证设a=0l-10，b=1,已知线性方程组ax=b存在两个不同的解设a=-13a,正交矩阵q使得qtaq为对角矩阵,若q的第1列为11明：存在x(0,),h(,1),使得f(

7、x)+f(h)=x2+h2.22(22)(本题满分11分)l11a11l1(i)求l,a;(ii)求方程组ax=b的通解.(23)(本题满分11分)0-144a016t,(1,2,1)求a,q.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】(b).【解析】因为f(x)=x2-x11+x2-1x2有间断点x=0,1,又因为limf(x)=limx0x0x(x-1)111+=limx1+(x+1)(x-1)x2x0x2,其中limx1+x0+11=1,lim=x1+=-1,所以x=0为跳跃间断点.x2x0-x2显然limf(x)=x1121+1=,所以x=1为连续点

8、.22x-1(x+1)(x-1)xx-1而limf(x)=lim1+b.(2)【答案】(a)x(x-1)12=,所以x=-1为无穷间断点,故答案选择【解析】因ly-my是y+p(x)y=0的解,故(ly-my)+p(x)(ly-my121212)=0,所以ly+p(x)y-my+p(x)y=0,1122而由已知y+p(x)y=q(x),y+p(x)y=q(x),所以1122(l-m)q(x)=0,()又由于一阶次微分方程y+p(x)y=qx是非齐的,由此可知q(x)0,所以l-m=0由于ly+my是非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的解,所以12(ly+my)+p(x)(ly+my)=q(

9、x),1212整理得ly+p(x)y+my+p(x)y=q(x),1122即(l+m)q(x)=q(x),由q(x)0可知l+m=1,由求解得l=m=12,故应选(a)(3)【答案】(c).【解析】因为曲线y=x2与曲线y=alnx(a0)相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2x=ax,即x=a2(x0).又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在y=x2上,当x=aa时y=；在y=alnx上,x=22aaaa时,y=aln=ln.2222所以aaa=ln.从而解得a=2e.故答案选择(c).222(4)【答案】(d).【解析】x=0与x=1都是瑕点.应分成1mln2(1-x)1mxdx

10、=xdx+xdx,nn20n0ln2(1-x)1mln2(1-x)121ln2(1-x)m用比较判别法的极限形式,对于1m20ln2(1-x)x0nxdx,由于lim+1xn1=1.显然,当011mln2(1-x)12当-0,lim存在,此时2nm1nxx0+xn敛.2-1,则该反常积分收敛.nm1ln2(1-x)m012xn-mdx实际上不是反常积分,故收故不论m,n是什么正整数,xdx总收敛.对于xdx,取nn1m200d1,不论m,n是什么正整数,1ln2(1-x)mln2(1-x)1mln2(1-x)12limx1-1xn11=limln2(1-x)m(1-x)d=0,x1-所以1ml

11、n2(1-x)xdx收敛,故选(d).n(1-x)d12fy+ff-+f-1x2x21x21fx2(5)【答案】(b).zf【解析】=-xxfzyz=-=f2z1x=yf+zf2,xf2ffx=-f1,=-fffx2zy=-yz2111zzyf+zfyffzx+y=12-1=2xyfff222=z(6)【答案】(d).【解析】=()=()(i=1j=1nn(n+i)(n2+j2)ni=11n+inj=1nn2+j2nj=1nn2+j2ni=11n+i)lim=lim=1nnnnj=1n1n11n2+j2j01+y2j=11+()2ndy,lim=lim=1n+ini0i=11+()nni=1n

12、n1n1n11+xdx,lim=lim()(nnnn1nn(n+i)(n2+j2)nn2+j2i=1j=1j=1i=1nnnn=(lim)(lim)nn2+j2nn+ij=1i=11n+i)dy)=1dx1dx)(1=(101111+x01+y200(1+x)(1+y2)dy.(7)【答案】(a)【解析】由于向量组i能由向量组ii线性表示,所以r(i)r(ii),即r(a,1若向量组i线性无关,则r(a,1,a)r(b,b)sr1s,a)=r,所以r=r(a,r1,a)r(b,b)s,即r1srs,选(a).(8)【答案】(d).【解析】：设l为a的特征值,由于a2+a=o,所以l2+l=0,

13、即(l+1)l=0,这样a的特征值只能为-1或0.由于a为实对称矩阵,故a可相似对角化,即al,-10-10-1r(a)=r(l)=3,因此,l=,即a-1-1l=.-1二、填空题(9)【答案】y=ce2x+ccosx+csinx.123【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为l3-2l2+l-2=0,因式分解得l2(l-2)+(l-2)=(l-2)(l2+1)=0,解得特征根为l=2,l=i,所以通解为y=ce2x+ccosx+csinx.123(10)【答案】y=2x.2x3【解析】因为limxx2+1=2,所以函数存在斜渐近线,又因为xlimx2x32x3-2x3-2x-2x=lim

14、=0,所以斜渐近线方程为y=2x.x2+1xx2+1(11)【答案】-2n(n-1)!.【解析】由高阶导数公式可知ln(n)(1+x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n,所以ln(n)(1-2x)=(-1)n-1(n-1)!(-2)n=-2n(n-1)!(1-2x)n(1-2x)n,即y(n)(0)=-2n(n-1)!=-2n(n-1)!.(1-20)n(12)【答案】2(ep-1).【解析】因为0qp,所以对数螺线r=eq的极坐标弧长公式为(e)+(e)dq=q2q2pp002eqdq=2(ep-1).(13)【答案】3cm/s.【解析】设l=x(t),w=y(t),由题意知,在t=t

15、时刻x(t)=12,y(t)=5,且x(t)=2,0000y(t)=3,设该对角线长为s(t),则s(t)=x2(t)+y2(t),所以0s(t)=x(t)x(t)+y(t)y(t)x2(t)+y2(t).所以s(t)=0x(t)x(t)+y(t)y(t)0000x2(t)+y2(t)00=122+53122+52=3.(15)【解析】因为f(x)=x(x2-t)e-t2dt=x2xe-t2dt-xte-t2dt,(14)【答案】3.【解析】由于a(a-1+b)b-1=(e+ab)b-1=b-1+a,所以a+b-1=a(a-1+b)b-1=aa-1+bb-11因为b=2,所以b-1=b-1=,

16、因此21a+b-1=aa-1+bb-1=32=3.2三、解答题222111所以f(x)=2xxe-t2dt+2x3e-x4-2x3e-x4=2xxe-t2dt,令f(x)=0,则2211x=0,x=1.又f(x)=2x2e-t2dt+4x2e-x4,则f(0)=20e-t2dt0,所以f(1)=0为极小值.又因为当x1时,f(x)0；0x1时,f(x)0；-1x0；x-1时,f(x)0,所以f(x)的单调递减区间为(-,-1)(0,1),f(x)的单调递增区间为(-1,0)(1,+).(16)【解析】(i)当0x1时0ln(1+x)x,故ln(1+t)ntn,所以lntln(1+t)nlntt

17、n,则1lntln(1+t)ndt1lnttndt(n=1,2,).00(ii)10tlnttndt=-1lnttndt=-11lntd(n+1)=1,故由0n+10(n+1)200u-1.因为y(1)=y(1)=6,所以y=e11+t所以c=0,故y=3t(t+1),即y(t)=3t(t+1),3t(t+1)dt=t2+t3+c2故y(t)=31又由y(1)=,所以c=0,故y(t)=t2+t3,(t-1).22531(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：x2y2+a2b2=1s=22xdy=2b2-y2dy阴影部分的面积b-b2abb-b2;y=令y=bsin

18、t,y=-b时t=-pbp时t=.261123s=2ab6cos2tdt=2ab6(+cos2t)dt=(p+)ab2234pppp-22所以油的质量m=(2p+334)ablr.+=x2(19)【解析】由复合函数链式法则得uuxuhuu=+=+,xxxyxxhuuxuhuu=+=a+b,yxyhyxh2uuu2ux2uh2uh2uh=+x2xxhxxhxh2xxhx=2u2u2u+2,x2h2xh+=2uuu2ux2uh2uh2uh=+xyyxhx2yxhyh2yxhy=a2u2u2u+b+(a+b),22xhxh=a(ax2+bxh)+b(ah2+axh)=a+b2uuu2u2u2u2uy

19、2yxh=a22u2u2u+b2+2ab,22xhxh故42uu22u+12+5x2xyy2+12(a+b)+10ab+8=0,=(5a2+12a+4)2u2u2u+(5b2+12b+4)x2h2xh12(a+b)+10ab+805a2+12a+4=0所以5b2+12b+4=0,2222则a=-或-2,b=-或-2.又因为当(a,b)为(-2,-2),(-,-)时方程(3)不满足,555522所以当(a,b)为(-,-2),(-2,-)满足题意.55(20)【解析】i=r2sinq1-r2cos2qdrdqd=rsinq1-r2(cos2q-sin2q)rdrdqd=1dxxy1-x2+y2d

20、y=11-(1-x2)2dx=1dx-1(1-x2)2dx=-2cos4qdq=-111p13=y1-x2+y2dxdyd3130003033030316p.f(x)=f(x)-x3,对于f(x)在0,上利用拉格朗日中值定理,得存(21)【解析】令1132在x0,使得f-f(0)=f(x)对于f(x)在,1上利用拉格朗日中值定理,得存在h1,1,使得f(1)-f=f(h),所以存在x0,h,1,使f(x)+f(h)=x2+h2.1211221221122两式相加得f(x)+f(h)=x2+h2.1122(22)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过

21、秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(i)已知ax=b有2个不同的解,故r(a)=r(a)3,对增广矩阵进行初等行变换,得l11a11l1a=0l-1010l-10111l1l11a11l111l10l-1001-l1-l210l-101a-l001-l2a-l+1当l=1时,a00010001,此时,r(a)r(a),故ax=b无解(舍去)000a00001,由于r(a)=r(a)3,所以a=-2,故l=-1,a=-2.当l=-1时,a0-201111111111-11000a+2方法2：已知ax=b有2个不同的解,故r(a)=r(a)3,因此a=0,即l11a=0l-10=(l-1)2(l+1)=0,11l32a=0-201020-101111-100021000003