1-7-两个重要极限练习题

1、1-7两个重要极限练习题教学过程:弓I入：考察极限si nxlimx 0 xx(弧度)0.500.100.050.040.030.02sin xx0.95850.99830.99960.99970.99980.9999问题1:观察当x0时函数的变化趋势:当x取正值趋近于0时，沁 1，即lim 沁 =1 ；xx 0 x0, -x0, sin(-x)0 .于是推广如果limx a(x)=0,(a可以是有限数xo,或),limx asin xlim sin x =1.x 0当x取负值趋近于0时，-xsinxsin( x)limlimx 0 x x 0( x)综上所述，得sin x .lim1 -x

2、0 x血竺冬1的特点：x 0 x(1) 它是“0理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0sin xtanx _lim =limx 0 xx 0cosxxsin 3x 求limx 0 xsin3x _ lim= limx 0 xx 0求lim仝竺x 0 x2sin x limx 0 xcosx沁学令3x t） 3lim3xt 01 cosx呵匚=!叫2si n2x2x2 2 x sin lim 2 x 0 x 2 2（一）2丿sinx lim x 0sinttlimx 0limx x 0 cosx1 1 1-.xsin2x2.xsin2x2求limac沁x 0 x0.解 令 arcsin

3、x=t，贝U x=sint 且 x所以arcsi nxt lim= lim1.x 0 x t 0 si nt求血怕nx sinxx 0X3si nxtanx limx 0sin x3 X= Xim0COSX3Xsi nx1 cosx sinx -lim3cosx_x 0 X3考察极限lim(1X= lim 匹 lim 丄x 0 X x 0 COSX1 cosx lim 2 x 0 x21 X)exX1210100010000100000100000(1卜X22.252.5942.7172.71812.71822.71828丄)X是逐渐增大的，但是不论 X如何大，(1-)X的值XX问题2：观察当

4、X当X取正值并无限增大时，(1+时函数的变化趋势:总不会超过3 实际上如果继续增大X .即当X +时，可以验证(1丄)x是趋近于一个确X定的无理数e= 2.718281828.时，函数(1)x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于X综上所述，得lim (1Xlim(1X-)x=e的特点:X(1) lim(1+无穷小)无穷大案；(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若limx a(X)=,(a可以是有限数X0,或)，则lim (1:1)(x)lim 11(X)=e；x a(X) x(X)(2)若limx a(x)=0,(a可以是有限数：X0,或)，则lim11x (x)

5、lim1X1(x) =e.x ax 0变形令1=t,则X时t 0,代入后彳寻到1lim 1 teXt 0如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不确定的结果1 ,因此通常称之为1不定型.例6 求 lim(1 2)x -2 解 令- x=t,0,-)x = ltimi(1 t)x t 0求 iim()x x 2 xlim(1x2壬问(11t)U 2=e -解令 3 X=1 + U，则 x=2 - 2 xu当x 时u 0,cc 113 x x22于疋lim () =lim(1 u) u lim(1 u) u (1 u)x 2 X u 0u 0LX1=”叫(1 u円1 ” 叫(1 u)2=e -1.

6、例8 求 lim(1 tanx)cotx x 01解 设 t=tanx,U - = cotx.t当x 0时t 0,1 于是im(1 ta nx)cotx =呵(1 t)t=e.小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页 2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程 s由公式s = !gt2来确定现在来求t = 1秒这一时刻质点的速度.2当t很小时，从1秒到1+ t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似.t (s)s

7、(m)s (m/s) t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.9.800049上表看出，平均速度随着t变化而变化，当 t越小时，-?越接近于一个定值一tt9.8m/s .考察下列各式:s=1g(1+1)2-2g12=2g21+( t)2，=g2t ( t)t=1g(2+t),思考：当t越来越接近于0时，一越来越接近于1秒时的 速度”现在取t 0的极 t限，得s1lim lim g 2 t g=9.8(m/s).0 t02为质点在t=1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的

8、位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量t, s相应的改变量为s=f(t+ t)-f(t),在时间段t到t+ t内的平均速度为s f t t f tv =tt对平均速度取 t 0的极限，得v(t)= lim st 0 tlim耳t 0称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A的坐标为(X0,f(x0).在曲线上点A附近另取一点 B,它的坐标是(X0+ x, f(X0+ x).直线 AB是曲线的割线，它的倾斜角记作 .由图中的Rt ACB，可知割线 AB的斜率CB y f x0 x f x0AC xxx在数量上，它表示当自变量从x变

9、到x+ x时函数f(x)关于变量x的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时x 0, 过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置lim空x 0x) f(X0)x直线AT ,我们就称L在点A处存在切线AT .记AT 的倾斜角为，则 为的极限，若 90，得切线AT 的斜率为tan = lim tan = lim yx 0x 0 x在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是 要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.1. 自变量x作微小变化x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y=y，

10、作为点xx处变化率的近似；2. 对y求x 0的极限|im，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值.x 0 x二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数y=f(x)在X0的某个邻域内有定义.对应于自变量x在X0处有改变量 x ,函数y=f(x)相应的改变量为y=f(X0+ x)-f(x0)，若这两个改变量的比y f x x f xxx当x 0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点X0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点X0处的导数(或变化率),记作y |x x或f (X0)或dy |xx0 或. 即dx Idxy |x x0=f (X0)= lim。lim。_X)f(

11、x)(2-1)x 0 xx 0x比值一表示函数y=f(x)在X0到X0+ x之间的平均变化率，导数y |x X0则表示了函数X在点X0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点X0处的变化的快慢.如果当x 0时一的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点X0处不可导或导数不存在.X在定义中，若设 X=X0+ X，则(2-1)可写成f (X0)= limx x0f X0(2-2)X X0根据导数的定义，求函数 y=f(x)在点X0处的导数的步骤如下:第一步 求函数的改变量y=f(x+ x)-f(x0)；第二步求比值丄卫空一x) f(X0)；XX第三步 求极限f (xo)= lim y .x o x

12、例1 求y=f(x)=X2在点X=2处的导数.解 y=f(2+ x)-f(2)=(2+ x)2-22=4 x+( x)2；lim y = lim (4+ x)=4.x O x x Oy=f(2+ x)-f(2)=(2+ xyx所以 y |x=2=4 .当lim x乜冬存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的左导数，记作x 0xf Xo Xx OX24 x x =4+ x;Xf(Xo)；当 limf Xo存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的右导数,记作f (Xo).据极限与左、右极限之间的关系f (xo)存在 f (Xo) ,f (Xo)，且 f (x o) = f (Xo)

13、 = f (Xo).2. 导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 xo都有对应着一个确定的导数 f (xo),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)或y等.根据导数定义，就可得出导函数(2-3)yf x x f xf (x)=y = limlimx 0 x x 0导函数也简称为导数.而f(Xo)是一个数值f(X0)就是导函数f(X)在点X0处的函数值.注意 (1) f (x)是X的函数，(2) f(x)在点处的

14、导数例2求y =C (C为常数)的导数.因为 y=C-C=O, y =0，所以 y = lim y =0.x xx 0 x(C) =0常数的导数恒等于零).3 求y=xn( n N x R)的导数.因为 y=(x+ X)n-Xn= nxn-1 X+CnXn2( X)2+. + ( X)n,=nxn-1 +C2xn-2 x+.+( x)n-1,x从而有y = lim - = lim x 0 x x 0(Xn) =n Xn-1.可以证明，一般的幕函数(X ) = X -1. 1例如 C X ) =( x 2) = X2例 4 求 y =sinx, (xnx n-1 +C2xn-2 x+.+( x)

15、n-1= nx n-1y=x , ( R, x0)的导数为丨；(1) =(X-1) =-X_2=-厶2.x XxR)的导数.解 y=sin(xx) sinx，在 1-7中已经求得xxlim y=cosx,x 0 x即(sinx) =cosx.用类似的方法可以求得y=cosx, (x R)的导数为(cosx) =-s inx.例 5 求 y=logax 的导数(a 0, a 1, x0). 解 对a=e、y =lnx的情况，(Inx) =1.x在 1-7中已经求得为对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=喧，以下与 1-7完全相同推导，可得In a(logax) = 1x l n a三、导

16、数的几何意义方程为y=f(x)的曲线，在点A(X0,f(x。)处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在X0存在导数f(X0)，且AT的斜率k=f(X0).导数的几何意义函数y = f(X)在X0处的导数f(X0),是函数图象在点(X0,f(X0)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f (x0)=f (x0)(x-x0)过切点A (X0,f(X0)且垂直于切线的直线，称为曲线当切线非水平(即f (X0) 0)时的法线方程为1y-f(X0)=-(x-X0)f (x)例6求曲线y=sinx在点(一，丄)处的切线和法线方程.6 2出.21 V3 y- - = (x-),2 2 6y

17、 12 母、236(2-4) y=f(x)在点A (xo,f(xo)处的法线，则(2-5)解 (sinx)=cosxx -6所求的切线和法线方程为法线方程例7求曲线y=Inx平行于直线y=2x的切线方程.解 设切点为A(x0, y0),则曲线在点 A处的切线的斜率为y(X0),y (x 0)=(1 n x)_ 1X X0 =-，X0因为切线平行于直线 y =2x,所以 丄=2,即X0= 1 ；又切点位于曲线上，因而y=|n=-ln2 .x22故所求的切线方程为1y+ln2=2(x-)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点xo处可导，则存在极限xlimy=f

18、(xo)，则x 0y =f (x0)+(lim =0)，或 y= f (xo) x+x 0(lim =0),x 0所以 lim y= lim f (x0)x+ x=0.x 0x 0这表明函数y=f(x)在点x处连续.但y=f(x)在点X。处连续，在X0处不一定是可导的. 例如：(1) y=|x|在x=0处都连续但却不可导.y(2) y =3 x在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线,只是切线是垂直的.y学生思考：2设函数f(x)= X， XU，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性.x 1, x 0小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。 作业：见首页4-2换元积分

19、法教学过程复习引入1. 不定积分的概念；2. 不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法cosxdx =sin x+C .为了应用这个公式，可进行例如：cos2xdx，积分基本公式中只有: 如下变换：1 令2x=u1u =2x回代1cos2xdx cos2x -d(2x) - cosudU 一 sin u+C2 2 21sin2 x+C,2因为(Isin2 x+C) =cos2x，所以 cosxdx =1 sin2 x+C 是正确的.2 2定理1 设f(u)具有原函数F(u) ,(x)是连续函数，那么f (x) (x)dx =F (x)+ C.证明思路因为F(u)是f(u)的一个原函

20、数，所以 F(u)=f(u);由复合函数的微分法得：d F (x)= F(u) (x) dx=f (x)(x) dx ,所以 f (x) (x)dx =F (x)+ C.基本思想：作变量代换u= (x), (d (x)= (x) dx)，变原积分为f(u)du，利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为 第一类换元积分法例 1 求(ax b)10dx , ( a,b 为常数).解因为dx =丄d(ax+b)，所以a二u10du =詁1+C(ax b)10dx 1 (ax b)10d(ax b)au=ax+b 回代 丄(ax+b)11+C .11a例 2 求 lnxdx .x解因为dx =

21、d (ln x)，所以x原式=ln xd (lnx)令 lnx=u Udu1 u2+C u=lnx 回代 1 (In x) 2+C.2 2例 3 求 xexdx .X)解因为xdx=1d(x2)，所以2原式=12ex2d(x2)令 x2=u 12eudu =- eu+C2u=x2 回代ex2+c .2e例4 求、；axdx .2 2x解 因为 xdx =1 d(x2)=21d(a2- x2)，所以原式=121a2 x22d(a令 a2-x2=u 1 du =-加+C-u学生思考：sinx , 求2 dx .1+ cos xajx2=u 回代 a22x+C.解原式=cosd(1)x x.1sinxdxa0).解原式=:dxa(a)2；1 2d() v1 (a)2 aarcsinx C a第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d (x)，另一部分为(x)的函数f (x)，且f(u)的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化 地被称为凑微分法.常用微分式：dx = ld(ax);xdx =d(x2);a21xdx =d (ln| x|)；1 dx =2d C，x );x1xdx =2d( 1求=cosdx .xx)；x1dx =