全国通用高考数学大一轮复习平面向量53平面向量的数量积

1、基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1.向量的夹角向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 b，则 就是向量a与b 的夹角，向量夹角的范围是 . 知识梳理 AOB 0， 2.平面向量的数量积平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为，则数量_叫做 a与b的数量积，记作ab 投影 _叫做向量a在b方向上的投影， _叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的 乘积 |a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量

2、，为a与b(或e)的夹角.则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时，ab|a|b|； 当a与b反向时，ab|a|b|. 特别地，aa 或|a|_. (4)cos . (5)|ab| . ab0 |a|b| |a|2 4.平面向量数量积满足的运算律平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ； (2)(a)b (为实数)； (3)(ab)c . ba (ab)a(b) acbc 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，则|a|2 或|a|_. (2)设A(

3、x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离 |AB| _. (3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab . (4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos _. x1x2y1y2 x2y2 x1x2y1y20 1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角.() 基础自测 123456 题组二教材改编题组二教材改编 2.P105例4已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k _. 答案解析 123456 12 解析解析2ab(4,2)(1，k)

4、(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12. 3.P106T3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量 a方向上的投影为_. 解析答案 123456 解析解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cos 4cos 1202. 2 题组三易错自纠题组三易错自纠 4.设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b 的数量积等于_. 答案 123456 解析 解析解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)， 5.已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量 方向上 的投影为_.

5、解析答案 123456 6.已知ABC的三边长均为1，且 ，则abbc ac_. 解析答案 123456 解析解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1， 题型分类深度剖析 1.设四边形ABCD为平行四边形， 4，若点M，N满足 等于 A.20 B. 15 C.9 D.6 解析答案 题型一平面向量数量积的运算自主演练自主演练 2.如图，已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC 的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为 解析答案 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b. (2)当已知向量的

6、坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 思维升华思维升华 命题点命题点1求向量的模求向量的模 典例典例 (1)(2017湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2， 则|3ab|等于 题型二平面向量数量积的应用 多维探究多维探究 答案解析 (2)(2017衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90， AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则 的最小值为_. 答案解析 5 解析解析建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)， 命题点命题点2求向量

7、的夹角求向量的夹角 典例典例 (1)(2017山西四校联考)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且|a| 2，|b|1，则a与b的夹角为_. 答案解析 解析解析(2ab)(ab)6，2a2abb26， 又|a|2，|b|1，ab1， (2)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c 与b的夹角，则m等于 A.2 B.1 C.1 D.2 答案解析 (1)求解平面向量模的方法 写出有关向量的坐标，利用公式|a| 即可. 当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a| . (2)求平面向量的夹角的方法 定义法：cos ，注意的取值范围为0，. 坐标法：若a

8、(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos . 解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练(1)(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1， 则|a2b|_. 答案解析 解析解析方法一方法一 方法二方法二(数形结合法) (2)(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若 e2与e1e2 的夹角为60，则实数的值是_. 答案解析 典例典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn . (1)求sin A的值

9、； 题型三平面向量与三角函数师生共研师生共研 解答 (2)若a ，b5，求角B的大小及向量 方向上的投影. 解答 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线 或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向 量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域 内的有界性，求得值域等. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ，n(sinx， cos x)，x . (1)若mn，求tan x的值； 解答 (2)若m与n的夹角为

10、，求x的值. 解答 典例典例 已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)， B(3,3).求使向量 夹角为钝角的充要条件. 利用数量积求向量夹角 现场纠错现场纠错 纠错心得现场纠错错解展示 错解展示：错解展示： 现场纠错现场纠错 解解错解中，cos |b| 基础保分练 12345678910111213141516 答案 解析 解析解析方法一方法一|ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. 故选A. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 方法二方法二利用向量加法的平行四边

11、形法则. 2.(2017河北唐山一模)已知向量a，b满足a(ab)2，且|a|1，|b|2， 则a与b的夹角为 解析答案 12345678910111213141516 解析解析由a(ab)2，得a2ab2， 即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2. 12345678910111213141516 3.(2017豫南九校联考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，则 等于 解析答案 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析解析ab，2m20，m1，则2ab(0,5)， ab(3,1)，a(ab)13215， 解析答案

12、 4.(2018乐山质检)在ABC中，AB3，AC2，BC 等于 12345678910111213141516 5.(2017沈阳质检)在ABC中， ，AB2，AC1，E， F为BC的三等分点，则 等于 解析答案 12345678910111213141516 解析解析由 0，又因为AB和AC为 三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以 ABC为直角三角形.以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直 线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 12345678910111213141516 解析答案 12345678910111213141516 6.(2017驻马店质检

13、)若O为ABC所在平面内任一点，且满足 0，则ABC的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 12345678910111213141516 7.(2017全国)已知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab与a垂直，则m _. 解析答案 12345678910111213141516 7 解析解析a(1,2)，b(m,1)， ab(1m,21)(m1,3). 又ab与a垂直，(ab)a0， 即(m1)(1)320， 解得m7. 8.(2018银川质检)已知向量a，b的夹角为 ，|b|2，则a(a2b) _. 解析答案 12345678910111213141

14、516 6 9.(2017河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a(2ab)b(b 2a)，|a |3|a|，则a与b的夹角为_. 解析答案 12345678910111213141516 90 解析解析由2a(2ab)b(b2a)，得4a2b2， 10.(2017巢湖质检)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角， 则的取值范围是_. 解析答案 12345678910111213141516 解析解析a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线， 11.(2018贵阳质检)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角； 解答 1234567891

15、0111213141516 解解因为(2a3b)(2ab)61， 所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3，所以644ab2761， 所以ab6， (2)求|ab|； 解答 12345678910111213141516 解解|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213， (3)若 ，求ABC的面积. 解答 12345678910111213141516 12.(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3， )，x0，. (1)若ab，求x的值； 解答 12345678910111213141516 若cos x0，则sin x0，与sin

16、2xcos2x1矛盾， 故cos x0. (2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解答 12345678910111213141516 12345678910111213141516 13.(2018长沙质检)已知DEF的外接圆的圆心为O，半径R4，如果 方向上的投影为_. 技能提升练 解析答案 12345678910111213141516 6 12345678910111213141516 14.(2017广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2， M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足 的取值范围为_. 答案解析 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析解析不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形