2019届(浙教版)九年级数学下册期末高效复习专题3：圆的基本性质(含解析)

1、 .专题 3 圆的基本性质题型一 点与圆的位置关系例 1 2017大冶校级月考若o的半径为 5 cm，平面上有一点 a，oa6 cm，那么点 a与o的位置关系是( a )a点 a在o 外c点 a在o 内b点 a在o 上d不能确定【解析】 o的半径为 5 cm，oa6 cm，dr，点 a与o的位置关系是点 a在o外变式跟进12016宜昌在公园的 o处附近有 e，f，g，h四棵树，位置如图 1所示(图中小正方形的边长均相等)现计划修建一座以 o为圆心，oa为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 e，f，g，h四棵树中需要被移除的为( a )图 1ae，f，gcg，h，ebf，g，hdh，e，f【解

2、析】 oa 12 5，o e2o a，点 e在o内；of2oa，点 f在o内；og1oa，2点 g在o内；oh 222 2oa，点 h在o外22题型二 垂径定理及其推论例 2 如图 2，o的直径 cd10，弦 ab8，a bcd，垂足为 m，则 dm的长为( d )b6 c7 d8a5图 2例 2答图【解析】 连结 oa，如答图所示o的直径 cd10，oa5，11弦 ab8，abcd，am ab 84，22在 rtaom中，om oaam22 543，22dmodom538. .【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离

3、，从而运用勾股定理来计算变式跟进2如图 3，ab为o的直径，弦 cdab于点 e，若 cd8，且 aebe14，则 ab的长度为( a )5a10b5 c12 d.3图 3第 2题答图【解析】 如答图，连结 oc，设 aex，aebe14，be4x，oc2.5x，oe1.5x，cdab，1cede cd4，rtoce中，oeceoc，(1.5x)4(2.5x)，x2，ab10.22222223有一座弧形的拱桥如图 4，桥下水面的宽度 ab为 7.2 m，拱顶与水面的距离 cd的长为 2.4 m，现有一艘宽 3m，船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

4、图 4第 3题答图解：如答图，连结 on，o b.ocab，d为 ab中点，1ab7.2 m，bd ab3.6 m.2又cd2.4 m，设 oboconr，则 od(r2.4)m.在 rtbod中，由勾股定理得 r(r2.4)3.6，解得 r3.9.222cd2.4 m，船舱顶部为长方形并高出水面 2 m，ce2.420.4(m)，oerce3.90.43.5(m)，在 rtoen中，enonoe3.93.52.96(m )，en1.72(m)222222mn2en21.723.44 m3，此货船能顺利通过这座弧形拱桥题型三 圆周角定理的综合例 3 2017市南区一模如图 5，在直径为ab的o

5、中 ，c，d是o上的两点，aod58，cdab，则abc的度数为_61_. .图 5【解析】 aod58，acdaod29，cdab，cabacd29，ab 是直径，acb90，abc902961.【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍

6、以及同弧所对的圆周角相等变式跟进4如图 6，o 是正方形 abcd的外接圆，点 p 在o 上，则apb_45_图 6第 4 题答图【解析】 如答图，连结 oa，ob.根据正方形的性质，得aob90.再根据圆周角定理，得apb45.52017永嘉二模如图 7，已知 ab 是半圆 o 的直径，ocab 交半圆于点 c，d 是射线 oc 上一点，连结ad 交半圆 o 于点 e，连结 be，ce.(1)求证：ec 平分bed；(2)当 ebed 时，求证：aece.图 7证明：(1)ab 是半圆 o 的直径，aeb90，deb90.ocab，第 5 题答图aocboc90，bec45，dec45.be

7、cdec，即 ec 平分bed；(2)如答图，连结 bc，oe，. .bede， becdec在bec与dec中， ，ec ec ，becdec，cbecde.cde90aabe，abecbe.aoecoe，aece.题型四 弧长的计算 例 4 如图 8，abc是正三角形，曲线 cdef叫做“正三角形的渐开线”，其中，cd，de，ef，圆心依次按 a，b，c循环，它们依次相连结若 ab1，则曲线 cdef的长是_4 _(结果保留 )图 8120 1 2 120 2 4 120 31802【解析】 cd的长是，de的长是，ef的长是2 ，则曲线 cdef的长是 1803180334 2 4 .3

8、变式跟进166一个扇形的半径为 8 cm，弧长为 cm，则扇形的圆心角为_120_316n 8180【解析】 设扇形的圆心角为 n，根据题意得 ，解得 n120，扇形的圆心角为 120.3题型五 扇形的面积计算 例 5 2016河南如图 9，在扇形 aob中，aob90，以点 a为圆心，oa的长为半径作oc交ab于点 c，1若 oa2，则阴影部分的面积是3 3图 9例 5答图【解析】 如答图，连结 oc，ac，oac是等边三角形，扇形 obc的圆心角是 30，阴影部分的面积等于扇形30 2 136060 22 2 3，s 1322obc的面积减去弓形 oc的面积s扇形 obc，s弓形 oc33

9、604332阴影21 3 3 .33【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出. .结果变式跟进7若扇形的半径为 3 cm，扇形的面积为 2 cm，则该扇形的圆心角为_80_，弧长为_ _cm.423n 3214【解析】 由2 ，解得 n80，由 2 l3，解得 l .360238如图 10，以 ab为直径的o经过 ac的中点 d，d ebc于点 e，若 de1，c30，则图中阴影部分的面43积是 9 3图 10【解析】 c30，de1，dec90，d c2，odbc，oda30，odoa，oad22 3120 ，s 阴影2 33313 4

10、 2 .3 93oda30，aod120，o a36023题型六 圆锥例 6 2017西湖区校级三模一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120且半径为 6 的扇形，则这个圆锥的底面半径为( b )a2b2 c2.5d3【解析】 设这个圆锥的底面半径为 r，根据题意，得 2 r120 6，解得 r2.180【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形；(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径变式跟进9一个圆锥的底面半径是 5 cm，其侧面展开图是圆心角为 150的扇形，则圆锥的母线长为( b )a9 cmb12 cm c15 cm d18 cm【解析】 设圆锥的

11、母线长为 l，根据题意得 2 5150 l，解得 l12.即圆锥的母线长为 12 cm.180过关训练1一个圆锥形的圣诞帽底面半径为 12 cm，母线长为 13 cm，则圣诞帽的侧面积为( b )a312 cm2c78 cm2b156 cm2d60 cm21【解析】 圆锥的底面周长是 122 24 ，则圆锥的侧面积是 24 13156 (cm )22. .22017连云港三模一个滑轮起重装置如图 1所示，滑轮的半径是 15 cm，当重物上升 15 cm时，滑轮的一条半径 oa绕轴心 o按顺时针方向旋转的角度约为( 取 3.14，结果精确到 1)( c )图 1a115c57b60d29n 15

12、180【解析】 根据题意得 15，解 得 n57，oa绕轴心 o按顺时针方向旋转的角度约为 57.1803一个隧道的横截面如图 2所示，它的形状是以点 o为圆心，5为半径的圆的一部分，m是o中弦 cd的中点，em经过圆心 o交o于点 e.若 cd6，则隧道的高(me的长)为( d )图 2a4c8b6d91【解析】 m是o弦 cd的中点，根据垂径定理：e mcd，又 cd6，则有 cm cd3，设 om是 x，在 rt2com中，有 occmom，即 53x，解得 x4，em549.222222 42017大庆模拟如图 3是圆内接正方形 abcd，分别将ab，bc，cd，da沿边长 ab，bc

13、，cd，da向内翻折，已知 bd2，则阴影部分的面积为_4 _图 3【解析】 由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的 2倍，阴影部分的面积( 2) ( 2)224 .52016贵港如图 4，在 rtabc中，c90，bac60，将abc绕点 a逆时针旋转 60后得到ade，2若 ac1，则线段 bc在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是_ _(结果保留 ). .图 460 2 260 1 22【解析】 c90，bac60，a c1，ab2，s扇形 bad，s扇形 cae ，则3603360623 .6 2s s阴影s s s扇形 ace扇形 dababcade6将一盛有不足半杯水

14、的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图5所示，已知水杯的半径是 4 cm，水面宽度 ab是 4 3 cm.(1)求水的最大深度(即 c d)是多少？(2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)图 5解：(1)odab，ab4 3 cm，11bc ab 4 32 3(cm)，22在 rtobc中，ob4 cm，bc2 3(cm)，oc obbc 4（2 3） 2(cm)，2222dcodoc422(cm)水的最大深度(即 cd)是 2 cm；1(2)oc2，ob4，oc ob，2abo30，oaob，baoabo30，aob120，11s aboc 4 324 3，22aob

15、120 4 162s扇形 oab ，360316s s s 4 3 cm.23阴影扇形aob. .72017苏州一模如图 6，已 知 rtabd 中，a90，将斜边 bd 绕点 b 顺时针方向旋转至 bc，使 bcad，过点 c 作 cebd 于点 e.(1)求证：abdecb；(2)若abd30，be3，求cd的长图 6解：(1)证明：a90，cebd，abec90.bcad，adbebc.将斜边 bd 绕点 b 顺时针方向旋转至 bc，bdbc.在abd和ecb中，adbebc， a bec， abdecb；bd cb ，(2)abdecb，adbe3.a90，abd30，bd2ad6，b

16、cad，aabc180，abc90，dbc60，60 6180cd的长为2 .82017高密模拟如图 7，ab 为圆 o 的直径，c dab 于点 e，交圆 o 于点 d，ofac 于点 f.1(1)求证：of bd；2(2)当d30，bc1 时，求圆中阴影部分的面积图 7第 8 题答图解：(1)证明：ofac，affc，oaob，bc2of，abcd，. . 1bcbd，bcbd，of bd；2(2)如答图，连结 oc，则 ocoaob，d30，ad30，cob2a60，aoc120，ab 为o 的直径，acb90，在 rtabc 中，bc1，ab2，ac 3，ofa c，afcf，oaob

17、，11of 是abc 的中位线，of bc ，221113s acof 3 ，222 4aoc13s扇形 aocoa ，2333s s阴影s .4扇形 aocaoc92017河北区二模如图 8，在rtabc 中，abc90，点m 是 ac 的中点，以ab 为直径作o 分别交ac，bm 于点 d，e.(1)求证：mdme；(2)如图，连结 od，oe，当c30时，求证：四边形 odme是菱形图 8证明：(1)在 rtabc 中，点 m 是 ac 的中点，mamb，amba，四边形 abed是圆内接四边形，adeabe180，而ademde180，mdemba.同理可得meda，mdemed，mdme；(2)c30，a60，abm60，oad和obe 为等边三角形，boe60，boea，. .oeac，同理可得 odbm，四边形 doem为平行四边形，而 odoe，四边形 odme是菱形102017东莞校级模拟如图 9，o 的内接四边形 abcd两组对边的延长线分别交于