专题2.1：恒成立、能成立问题的研究与拓展

1、专题2.1:恒成立、能成立问题的研究与拓展【问题提出】已知集合 Ax| x2 _5x 4 0)，集合B.x|x2 _2ax a 2 g(x,),求实数 m 的取值范围.26. 函数 fx =x24x 3,gx 二 mx 52m， 若对任意的禺1,4】，总存在X2e1,4】，使f X1 = g x2成立，求实数m的取值范围7.上题条件改为 若存在1,4丨，总存在X2 1,4 1,使f Xi = g X2成立”呢?4X亠k 2X亠18.函数f (x) =X- 一，若对于任意的4X +2X +1为三边长的三角形，求实数k的取值范围.X一、x2、x3，均存在以 f(xj、f(x2)、f(x3)x探究

2、2：设函数 f (x) = x2 -1，对任意3,: ， f() -4m2 f (x)三 f (x -1) 4 f (m)恒成立，则IL2m实数m的取值范围是m _一三或m_仝2 23变式设函数fU宀.。且心)是定义域为R的奇函数.若f(1)9，且g(x) =a2x +ax _2m f (x)的最小值为-2，则实数m的值为变式2:定义在D上的函数f x，如果满足：对任意x D，存在常数M 0，使得|f(x)#M成立，则称f x是D上的有界函数,其中M称为函数f x的上界已知函数 f(x4 p 21，g(x)二X1 - q 2X1 q 2(1)当p =1时，求函数f x在:-匚?,0上的值域,

3、并判断函数f x在-:：,0上是否为有界函数,说明理由;若q (0,二，2函数g x在0,1 上的上界是H (q)，求H (q)的取值范围;(3)若函数f x在0,； 上是以3为上界的有界函数， 求实数p的取值范围.解：(1)值域为3,+：，故不存在常数 M0 ,使得|f(x)|乞M对任意x：；：-r,0恒成立，所以函数f x在-：-,0上不为有界函数；(2)1 -q 2X1 q 2X1 q 2Xx：=l0,1, 2X1,2】，函数在定义域上单调递减则g(x)的值域为上组,口当qEp,2时，1 q1-2q1+2q 1 + q_21 +q1+2q所以g(x) -恒成立.则实2 8数a的取值范围为

4、. a兰J6或a -21解：先处理参数 x的恒成立问题，即关于 x的二次函数的最小值大于等于1，处理的时候需要进行三角换8元，而后处理参数二的恒成立问题【答案】 原不等式等价于 (3 2sin vcosv - asin v -acos)2 _丄,-413 +2sin 9 cos6 +解不等式得a2，一sin 日 +cos 日0,2 .1 3+2sin 9cos6-或a兰2，日w 02sin j cost13 2sin cos t1先求:三0, 的最大值.sin 日 +cos 日J P 2 一丿12.5x I22I_3+(x2_1)+二易知f (x)在令 x =sin v - cosv，贝U x

5、 1,2 ,1,.2上是减函数，所以f(x)max二f(1) ，从而a13 2sin cos 71再求2 o,的最小值.sin 日+cos日J E 2 一丿令 x =sinr - cost，贝U x 1, 2 , 于是f (x)=2 13 (x -1)2x=6，= x?1_2 xJ6当sinv co -x -时等号成立.从而a _g(x)min 2综上，a的取值范围为-匚：厂.6 J 7 -： l.变式1：若函数f(x) =X2 +x+a -b图像上存在点P(X1, f (xj)对任意1-1,3】都不在x轴上方，则实11数b的最小值为 4思路：先处理函数 g(x) =x2 +|x+a有解问题，

6、然后再处理恒成立问题变式2：若存在实数X。与正数a,使x0 a , x0 -a均在函数f (x)的定义域内，且fxrafxo-a成立，则称函数f (x)在x = xo处存在长度为a的对称点”.(1) 设f (x) =x3 -3x2 2x -1，问是否存在正数a，使函数f (x)在x = 1处存在长度为a的对称点”？ 试说明理由.(2) 设g(x) =x(x 0),若对于任意xo ( 3, 4)，总存在正数a,使得函数g (x)在x = xo处存在长 度为a的对称点”，求b的取值范围.拓展3:已知函数 f(x)定义在区间a, b上，设“ minf(x)|xD?”为函数f(x)在集合 D上最小值，“ maxf (x) | x 三 D ” 为函数 f (x)在集合 D 上最大值.设 (x) = minf (t) | a 乞 t 乞 xf， ( x 三a,b)； f2 (x)二maxf (t) |a _t _xf, ( x 三a, b).若存在最小正整数 k,使得 f2(x) - f (x) _ k(x - a)对任意的 x 三a,b 成立，则称函数f(x)为区间a,b上的“第k类压缩函数”.(1) 若函数 f (x) = x3 -2x