专题8.2：立体几何中性质定理的应用研究与拓展

1、专题8.2:立体几何中性质定理的应用研究与拓展【拓展探究】探究1 ：如图，在三棱锥 P - ABC中，BC _平面PAB 已知PA = AB，点D , E分别为PB , BC的中点.(1)求证：AD _平面PBC ;AF(2)若F在线段AC上，满足 AD/平面PEF，求A 的值.FC16.证明：C! ) VBC1.平面卅凤ADd平血刊乩 r.BClAD.卄.寸分DiPB 中点.ADLFff-&分TPfiAjJC=Sr二4平面円U- *“卄？分打连姑DC.交户直于G违站F6：AD/f TiSPfF.豪戸匸屮面川兀、 平血ADCf平面FEF=F.XDZFC. +*+”+ 10TQ为”8中点EBC中

2、点.连结隔 團DE为色HPC的中垃罐，BBEQs&cpg.BC侦皐说叭 削&为zec的町cm检得比値不扣分).AF DG k. = =,十4曲变式1：如图，四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，.DAB =60，平 面PCD _底面ABCD , E是AB的中点，G为PA上的一点.(1) 求证：平面 GDE _平面PCD ;(2) 若PC/平面DGE，求空的值GAP.GAE解：(1)证明：设菱形 ABCD的边长为1，则：E是AB的中点，.DAB =60 ,DE2 =11-2 -cos6 二3 ,4242 2 2DE AE 二 AD , . DE_AE , . DE _ CD ,:平面PCD

3、_底面ABCD，平面PCD 门底面 ABCD =CD ,E是棱AA上任意一点，F是CD的中点.DE 二 ABCD , DE _ 平面 PCD , 平面 GDE _ 平面 PCD ;(2)连接AC，交DE于H，连接GH ； PC/平面DGE，平面PCA门平面GDE =GH ,.PC/GH ,西 rCy =2.GA HA变式2:如图，长方体 ABCD -A1B1C1D1中，底面AEGD1是正方形,C(1)证明：BD _EC1;AE(2)若AF /平面CiDE，求竺的值.AADC/AB,变式3:如图，在四棱锥P- ABCD中，0为AC与BD的交点，AB_平面PAD, PAD是正三角形,DA = DC

4、 = 2AB.(1) 若点E为棱FA上一点，且 0E /平面PBC ,(2) 求证：平面 PBC_平面FDC.证 (1)因为 0E/平面PBC, 0E二平面FAC,平面FACA平面FBC= PC,所以0E / FC,所以 A0 : 0C = AE : EP.因为 DC/AB, DC = 2AB，所以 A0 : 0C = AB : DC = 1 : 2.所以AE=1PE 2(2)法一：取 PC的中点F,连结FB, FD .因为 PAD是正三角形，DA = DC,所以DP = DC .因为F为PC的中点，所以DF丄PC.因为AB_平面PAD，所以 AB丄PA, AB丄AD, AB丄PD .因为DC

5、/AB，所以 DC丄DP, DC丄DA .设AB = a，在等腰直角三角形 PCD中，DF = PF = ,2a.在 Rt PAB 中，PB = 5a.在直角梯形 ABCD中，BD = BC = ,5a.因为BC = PB = . 5a，点F为PC的中点，所以PC丄FB .在 Rt PFB 中，FB = .3a.在厶 FDB 中，由 DF = 2a, FB = 3a, BD = 5a，可知 DF 2+ FB2= BD2,所以 FB _L DF .由 DF 丄 PC, DF 丄 FB, PCAFB = F , PC、FB 二平面 PBC，所以 DF 丄平面 PBC.又DF 平面PCD，所以平面

6、PBC _平面PDC .法二：取PD , PC的中点，分别为 M , F，连结AM , FB, MF ,1所以 MF / DC , MF = 2DC .1因为 DC/AB, AB = 2DC，所以 MF / AB, MF = AB,即四边形ABFM为平行四边形，所以 AM / BF.在正三角形 PAD中，M为PD中点，所以 AM丄PD .因为AB丄平面FAD，所以AB丄AM .又因为DC/AB，所以DC丄AM .因为BF/AM，所以 BF丄PD , BF丄CD .又因为PD ADC = D , PD、DC二平面PCD，所以BF丄平面 PCD .因为BF二平面PBC，所以平面 PBC_平面PDC

7、.变式4:如图，在四棱锥 P-ABCD中，AD/平面ABC，点M、N分别为棱AD、BC的中点，MN _ BC(1) 求证：BC/平面PAD ;(2) 若 PA =PD，求证：PB =PC探究2:如图，在四棱锥 P - ABCD中，PA_平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E,F为PD的两 个三等分点.(1) 求证BE /平面ACF ;(2) 若平面PAC _平面PCD 求证： PC _CD .平面PCD丄平面ABCD , M为PC中点.求变式1 :如图，在四棱锥 P _ABCD中，四边形ABCD是矩形,C证：(1) PA / 平面 MDB ;(2) PD 丄 BC .16.证明；(1)理结

8、M交ED于点0连站 2分中点.OtiAC中点.PA,*斗为丫他匚平曲MD缶 丹厲平RfMD乩:PA平血 ?分(2 丁平面PCD丄平Un ABCD平面PCD门平血ASCD = 5肚匚平面ASCD,占C丄3,BC 丄平 PCD. 12: FDu 平面 PCD,：-BClfD, “ z变式2 :如图，在三棱锥 P - ABC中，点E,F分别是棱PC, AC的中点.(1) 求证：PA平面BEF ;(2) 若平面 PAB _ 平面 ABC , PB _ BC，求证：BC _ PA .P(1)在 PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以 PA/EF ,又PA二平面BEF , EF 平面BEF , 所以

9、PAII平面BEF .(2)在平面PAB内过点P作PD_AB，垂足为 D .因为平面 PAB_平面ABC，平面PAB平面ABC =AB ,PD 平面PAB，所以PD _平面ABC ,又BC二平面ABC，所以PD _ BC ,又 PB _ BC , PD 门 PB = P , PD 平面 PAB ,PB 平面PAB，所以BC _平面PAB ,又PA 平面PAB，所以BC _ PA.变式3 :如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAB _平面ABCD , BC/平面PAD,ZPBC =90；,. PBA=90.求证：(1) AD/ 平面 PBC ；(2) 平面 PBC _平面PAB .【证】(1)因为BC/平面FAD ,而BC二平面 ABCD，平面 ABCD I平面PAD = AD ,所以BC/AD .因为 AD二平面PBC, BC二平面PBC,所以AD /平面PBC .(2)自P作PH _AB于H，因为平面 PAB _平面ABCD，且平面 PAB I平面ABCD =AB ,所以PH 平面ABCD .因为BC 平面ABCD ,因为.PBC =90；,所以 BC_PB,而.PBA=90，于是点H与B不重合，即PB I 因为PB, PH二平面PAB,所以BC_平面PAB. 因为BC二平面PBC，故平面 PBC_平面PAB .变式4 :