专题6.14：数列中不等关系问题的研究与拓展

1、专题6.14:数列中不等关系问题的研究与拓展【探究拓展】探究1: （1）已知各项均为正数的等比数列订/，若2a4 a3 _2a2=8,则2a8 - a7的最小值为54(2)数列：an 满足 a1 1,an 1 一1 二 an(a. -1), (n .二 N )，且1 1 1a1恳川爲2012 =2，则%3一钿的最小值为 1 1 1解：a1 1,an 1 _1 an(an _ 1)可得anan -1 an* -11=2 ,可化为a20121. a12，则a2013-可转化为单元函数求最值问题a -1 a 2013 一 13 - 2a 11 1 1 1 1【解】由递推关系得 丄 丄，累乘得丄 2

2、,an 一1an 卅一1ana1 _1a2013 一1贝V32a10，得 1 ： a1 :-,a2013 _ 1ai -12所以 a2013 -4印色11 4a1 =3 2a2-46 亠IL4印 _ 6上，当且仅当a-时，等号成立.41变式1 ：等比数列 a中，印=512，公比q ，定义I丨n = a1a2a| an，则2I丨1,丨丨2, I丨3 I I （中最大项是变式2 :设首项不为零的等差数列an 的前n项和为& ,若不等式an Sn - ma12对任意正整数n都成立,n则实数m的最大值为解析：a1= 0时，不等式恒成立，当 a10时，疋器2 s 2+?0?，将an=a1+(n1)d，S

3、n = na1 + n n d代入上式，并化简得:+5f+5二记，二 Amax= 5.探究2:（ 1）等比数列卿的公比q .1，第17项的平方等于第24项，使得不等式111印 a2 H an恒成立的正整数n的取值范围是a1a2N(2)若a* = n +2( n = N ),且an兰比，则实数c的取值范围是 .n变式1 ：设数列:an!的前n项和为Sn .已知a a , a* 1 = Sn 3n, n N .(1) 设bn二Sn -3n，求数列CbJ的通项公式；(2) 若a. i _an,n N*，求a的取值范围.变式2:已知常数 &0，设各项均为正数的数列a*的前n项和为Sn,满足：a! =

4、1 ,Sn 1口 Sn 3n 1 a* 1 ( n N * ).an(1) 若入=0,求数列an的通项公式； 1(2) 若an 1an对一切n N *恒成立，求实数 入的取值范围.2拓展：(2014上海卷)已知数列fan?满足an an 1 3an,Ng =1.3()若a2 =2忌=x,a4 =9，求x的取值范围；(2) 若 /是公比为q的等比数列，Sn “1 a? *1) an，若Sn _Sn 1 _3Sn , nN ,求q的取值范围;3(3) 若aa2,山,ak成等差数列，且 q a2 JH ak =1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应 数列色赴,山，ak的公差.2 x解:

5、(1)由条件得_x_6且-_9_3x，解得 3_x_6 .3 3所以x的取值范围是3 ,6.1n 11(2) 由 一 an 岂 3an，且an二 a1qn=0，得an 0 ,所以 一 Sn乞 Sn1331 1又心，所以宀3.当 q =1 时，Sn=n , Sn1= n，1，由 n，1_3n得 Sn.1-3Sn 成立.当q =1时,Sn 3Sn 即1 q1 q3 若 1 ：q 乞3，贝U 3 q qn _2由 qn -q, n N*,得 3 -q q _2，所以 1 ：q 乞2 若一玄q ：1，则 3 -q qn 一2.由qn 5 N*,得3“2，所以“1综上，q的取值范围为；2 1设数列砂2,

6、山,无的公差为d 由孑仁缶1筋，且印，1得一1 n -1 d 0,玄3=匕3 0,且.玄1戎玄3，贝Ua2d; a5b5(大小关系)变式：已知公差不为零的正项等差数列an的前n项和为Sn,正项等比数列bn的前n项的和为Tn ,若a15 =b5,a30 =b20,则 S3 _ S15T20 T5 (用不等号连接)(2)设Sn是数列 订的前n项和，对任意n，N*总有Sn =qan 1(q 0, q = 1,m, k N*,且m = k). 求数列的an1通项公式an ；1 2 1 1 试比较Sm k与(S2mS2k)的大小；当q，1时，试比较与的大小.2Sm k S2mS2k拓展1 ：已知等差数列

7、玄的首项ai 0，公差d 0 ,前n项和为Sn ,设m, n, p N,且mn=2p2()求证：Sn，Sm_2S2p；( 2)求证：SmE 乞Sp；2009 i(3)右 S1005 二 1，求证：2009y S拓展2:首项为a的正项数列laj的前n项和为Sn,q为非零常数，已知对任意正整数 n,m ,Sn m 二 Sm qSn 总成立(2)求证：数列an?是等比数列；(2) 若不等的正整数 m,k,h成等差数列，试比较 am ah1与a：k的大小；1 1 2(3) 若不等的正整数 m,k,h成等比数列，试比较 a讣ah；与akk的大小.(1)证：因为对任意正整数n,m , Sn= Sm - q

8、mSn总成立，令 n = m = 1，得 S2 = S qS ,则 a2 = qa1令 m ，得 Sn 1 =色 qSn (1),从而 Sn Si qSn 1(2)，(1)得：an 2=qan1,(n 一1) 综上得an彳=qan (n _1),所以数列？an 是等比数列(2)正整数m,k,h成等差数列，则 m，h=2k,所以2 2 1 2 2m h 2(m h) =2k ,则am2h m m _maha1 qh h2 -h2k m2 h2 _m _hq 时，amhahk 2k二 a1 akq 1 时，a；2k m22k 2k2/kp qq qk2k 2k二(a1q)= ak当 0 : q ：1 时,mamh 2kaha1 qm2 h2 -m -h2k 2k2 .2kkd、2k:印 q =q )二(3)正整数m,k,h成等比数列，则a1 qa1 q2 2a,q2(节q丄丄 2 -丄1m h m h _ q2q ，丄 111所以 am1 -ah =(aqmJ1)m(a1qh4)h pmhq