2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视

1、 2020 年初中数学竞赛讲义：第 27 讲-动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性2动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系3以动制动以动制动就是建立

2、图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”第 1 页 共 12 页 【例题求解】【例 1】 如图，把直角三角形 abc 的斜边 ab 放在定直线上，按顺时针方向在 上转动两次，使它转到 abc的位置，设 bc=1，ac= ，l3则顶点 a 运动到点 a的位置时，点 a 经过的路线与直线 所

3、围成的l面积是思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割rtabc 的两次转动，顶点 a 所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为 120和90，半径分别为 2 和 ，但该路线与直线 所围成的面积不只是两l3个扇形面积之和【例 2】如图，在o 中 ，p 是直径 ab 上一动点，在 ab 同侧作 aaab，bbab，且 aa=ap，bb=bp，连结 ab，当点 p 从点 a移到点 b 时，ab的中点的位置(a在平分 ab 的某直线上移动b在垂直 ab 的某直线上移动c在 amb 上移动)d保持固定不移动思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律第 2 页 共 12 页 【例 3】 如图，菱形 oa

4、bc 的长为 4 厘米，aoc60，动点 p从 o 出发，以每秒 1 厘米的速度沿 oab 路线运动，点 p 出发 2秒后，动点 q 从 o 出发，在 oa 上以每秒 1 厘米的速度，在 ab 上以每秒 2 厘米的速度沿 oab 路线运动，过 p、q 两点分别作对角线 ac 的平行线设 p 点运动的时间为 秒，这两条平行线在菱形x上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为 厘米，请你回答下列问题：y(1)当 =3 时， 的值是多少?xy(2)就下列各种情形：0 2；2 4；4 6；6 8求 与 之间xxxxyx的函数关系式(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下 与yx的关系思路

5、点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问第 3 页 共 12 页 题就转化为求函数值或自变量的值【例 4】 如图，正方形 abcd 中，有一直径为 bc 的半圆，bc=2cm，现有两点 e、f，分别从点b、点a 同时出发，点e 沿线段 ba 以 1m秒的速度向点 a 运动，点 f 沿折线 adc 以 2cm

6、秒的速度向点 c 运动，设点 e 离开点 b 的时间为 2 (秒)(1)当 为何值时，线段 ef 与 bc 平行?t(2)设 1 2，当 为何值时，ef 与半圆相切?tt(3)当 1 0 时，求关于 r 的函数解析式，并写出自变量 r 的取值范围6已知：如图，o 韵直径为 10，弦 ac=8，点 b 在圆周上运动(与a、c 两点不重合)，连结 bc、ba，过点 c 作 cdab 于 d设 cb的长为 ，cd 的长为 xy(1)求 关于 的函数关系式；当以 bc 为直径的圆与 ac 相切时，yx求 的值；y(2)在点 b 运动的过程中，以 cd 为直径的圆与o 有几种位置关系，并求出不同位置时

7、的取值范围；y(3)在点 b 运动的过程中，如果过 b 作 beac 于 e，那么以 be为直径的圆与o 能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出 be 的长第 7 页 共 12 页 7如图，已知 a 为poq 的边 oq 上一点，以 a 为顶点的man的两边分别交射线 op 于 m、n 两点，且man=poq= ( 为锐a a角)当man 以点 a 为旋转中心，am 边从与 ao 重合的位置开始，按逆时针方向旋转(man 保持不变)时，m、n 两点在射线 op 上同时以不同的速度向右平移移动设 om= ，on= ( 0)，aomxyx的面积为 s，若 cos 、oa 是方程的两个根2az z2

8、 -5 + 2 = 0(1)当man 旋转 30(即oam=30)时，求点 n 移动的距离；(2)求证：an =onmn；2(3)求 与 之间的函数关系式及自变量 的取值范围；yxx(4)试写出 s 随 变化的函数关系式，并确定 s 的取值范围x8已知：如图，梯形 abcd 中 ，adbc，ab=cd=3cm，c60，bdcd(1)求 bc、ad 的长度；(2)若点 p 从点 b 开始沿 bc 边向点 c 以 2cms 的速度运动，点q 从点 c 开始沿 cd 边向点 d 以 1cms 的速度运动，当 p、q 分别从 b、c 同时出发时，写出五边形 abpqd 的面积 s 与运动时间 之t间的

9、函数关系式，并写出自变量 的取值范围(不包含点 p 在 b、c 两t第 8 页 共 12 页 点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻 ，使线段 pq 把梯形 abcdt分成两部分的面积比为 1：5？若存在，求出 的值；若不存在，请说t明理由9已知：如图，e、f、g、h 按照 ae=cg，bf=dh，bfnae(n是正整数)的关系，分别在两邻边长 、 的矩形 abcd 各边上运动ana设 ae= ，四边形 efgh 的面积为 sx(1)当 n=l、2 时，如图、，观察运动情况，写出四边形 efgh各顶点运动到何位置，使?(2)当 n=3 时，如图，求 s 与 之间的函数关系式(写出

10、自变量xx的取值范围)，探 索 s 随 增大而变化的规律；猜想四边形 efgh 各顶x点运动到何位置，使12；ss矩形abcd(3)当 n=k (k1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由第 9 页 共 12 页 10如图1，在直角坐标系中，点e 从 o 点出发，以1 个单位秒的速度沿 轴正方向运动，点 f 从 o 点出发，以 2 个单位秒的速度沿x轴正方向运动，b(4，2)，以 be 为直径作o y1(1)若点 e、f 同时出发，设线段 ef 与线段 ob 交于点 g，试判断点 g 与o 的位置关系，并证明你的结论；1(2)在(1)的条件下，连结 fb，几秒时 fb 与o 相切?1(3)如图 2，若 e