2020年高考文科数学一轮总复习：圆锥曲线定值、定点、探索性问题

1、 2020 年高考文科数学一轮总复习：圆锥曲线定值、定点、探索性问题第 10 讲 定值、定点、探索性问题圆锥曲线中的定值问题(师生共研)(2018高考北京卷)已知抛物线 c：y 2px 经过点 p(1，2)过点 q(0，1)的直线2l 与抛物线 c 有两个不同的交点 a，b，且直线 pa 交 y 轴于 m，直线 pb 交 y 轴于 n.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；11 (2)设 o 为原点，qmqo，qnqo，求证： 为定值【解】 (1)因为抛物线 y22px 过点(1，2)，所以 2p4，即 p2.故抛物线 c 的方程为 y24x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l

2、 的方程为 ykx1(k0)y24x，由kx1得 k2x2(2k4)x10.y依题意 (2k4)24k210，解得 k0 或 0kb0)的左、右焦点分别为 f ，1f ，点 m 为短轴的上端点，mf mf 0，过 f 垂直于 x 轴的直线交椭圆 c 于 a，b 两点，2122且|ab| 2.(1)求椭圆 c 的方程；(2)设经过点(2， 1)且不经过点 m 的直线 l 与 c 相交于 g，h 两点若k ，k 分别为直12线 mh，mg 的斜率，求 k k 的值12解：(1)由mf mf 0，得 bc.12因为过 f 垂直于 x 轴的直线交椭圆 c 于 a，b 两点，2且|ab| 2，b222所

3、以 ，abc2221ab222.aba2b2c2x2故椭圆 c 的方程为 y21.2(2)设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx2k1，x22将 ykx2k1 代入 y21 得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，2020 年高考文科数学一轮总复习第 2 页 共 11 页 由题设可知 16k(k2)0，设 g(x ，y )，h(x ，y )，11224k（2k1）8k 8k2则 x x ，x x ，12k212k2121 24k（2k1）（2k2）y1 y 1 kx 2k2 kx 2k212k2k 1 2122k2kk128k 8kx1x2x1x2212k2(2k1)1，所以

4、 k k 1.12圆锥曲线中的定点问题(师生共研)x22(2017高考全国卷)设 o 为坐标原点，动点m 在椭圆 c： y 1 上，过m 作2x 轴的垂线，垂足为 n，点 p 满足np 2nm.(1)求点 p 的轨迹方程； (2)设点 q 在直线 x3 上，且oppq1.证明：过点 p 且垂直于 oq 的直线 l 过 c的左焦点 f.【解】 (1)设 p(x，y)，m(x ，y )，则 n(x ，0)，np(xx ，y)，nm(0，y )0000022由np 2 nm得 x x，y y.00因为 m(x ，y )在 c 上，00x2 y22 2所以 1.因此点 p 的轨迹方程为 x2y22.(

5、2)证明：由题意知 f(1，0)设 q(3，t)，p(m，n)，则oq(3，t)，pf(1m，n)， oqpf33mtn，op(m，n)，pq(3m，tn) 由oppq1 得3mm2tnn21，又由(1)知 m2n22，故 33mtn0. 所以oqpf0，即oqpf.又过点 p 存在唯一直线垂直于 oq，所以过点 p 且垂直于oq 的直线 l 过 c 的左焦点 f.求解定点问题常用的方法2020 年高考文科数学一轮总复习第 3 页 共 11 页 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，

6、再根据参数的任意性得到定点坐标(3)求证直线过定点(x ，y )，常利用直线的点斜式方程 yy k(xx )来证明0000x2 y2a2 b2(2019成都市第一次诊断性检测)已知椭圆 c： 1(ab0)的右焦点 f( 3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为 2.(1)求椭圆 c 的标准方程；(2)设不经过点 b(0，1)的直线 l 与椭圆 c 相交于不同的两点 m，n，若点 b 在以线段mn 为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标a解：(1)由题意得，c 3， 2，a2b2c2，b所以 a2，b1，x2所以椭圆 c 的标准方程为 y21.4(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线

7、 l 的方程为 ykxm(m1)，m(x ，y )，n(x ，y )1122kxm，y联立消去 y 可得(4k21)x28kmx4m240.x24y24，8km4m24所以 16(4k21m2)0，x x ，x x .4k 14k 11221 22因为点 b 在以线段 mn 为直径的圆上， 所以bmbn0. 因为bmbn(x ，kx m1) (x ，kx m1)(k21)x x k(m1)(x x )(m1)211221 2120，所以(k21)4m 48km2k(m1)(m1)20，4k 14k 122整理，得 5m22m30，35解得 m 或 m1(舍去)35所以直线 l 的方程为 ykx

8、 .易知当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意3故直线 l 过定点，且该定点的坐标为 0， .52020 年高考文科数学一轮总复习第 4 页 共 11 页 圆锥曲线中的探索性问题(师生共研)已知椭圆 p 的中心 o 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点a(0，2 3)，离心率1为 .2(1)求椭圆 p 的方程；16 (2)是否存在过点 e(0，4)的直线 l 交椭圆 p 于点 r，t，且满足orot ？若存在，7求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由x2 y2a2 b2【解】 (1)设椭圆 p 的方程为 1(ab0)，c 1由题意得 b2 3，e ，a 2所以 a2c，b2a2c23c2，所

9、以 c24，c2，a4，x2 y2所以椭圆 p 的方程为 1.16 12(2)存在 假设存在满足题意的直线 l，易知当直线 l 的斜率不存在时，orot0 得(32k)264(34k2)0，1解得 k2 .432k34k21634k2因为 x x ，x x ，121 2所以 y y (kx 4)(kx 4)k2x x 4k(x x )16，1 2121 2121616k2128k21616 ，解得 k21.故 x x y y 34k 34k 34k71 21 2222由解得 k1，所以直线 l 的方程为 yx4.故存在直线 l：xy40 或 xy40 满足题意解决探索性问题的注意事项2020

10、年高考文科数学一轮总复习第 5 页 共 11 页 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法(2019湖北八校联考)已知抛物线 c：y 2px(p0)在第一象限内的点 p(2，t)到焦点 f 的25距离为 .212qf| | |pfn p(1)若 n ，0 ，过点 ， 的直线 与抛物线相交于另一点 ，求lq的值；1(2)若直线 l 与抛物线 c 相交于 a，b 两点，与圆 m：(x

11、a) y 1 相交于 d，e 两点，222o 为坐标原点，oaob，试问：是否存在实数 a，使得|de|为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由5p 5解：(1)因为点 p(2，t)到焦点 f 的距离为 ，所以 2 ，解得 p1，2 2 2故抛物线 c 的方程为 y22x，p(2，2)，4525所以 l 的方程为 y x ，14525y x ，18联立得可解得 x ，qy22x，51 52 852|qf| 8 1|pf| 5 4又|qf|x ，|pf| ，所以 .q2(2)设直线 l 的方程为 xnym(m0)，代入抛物线方程可得 y 2ny2m0，22设 a(x ，y )，b(x

12、，y )，则 y y 2n，y y 2m，1122121 2由 oaob 得，(ny m)(ny m)y y 0，121 2整理得(n21)y y nm(y y )m20，1 212将代入解得 m2 或 m0(舍去)，满足 4n28m0，所以直线 l ：xny2，2|a2|因为圆心 m(a，0)到直线 l 的距离 d，21n2（a2）2所以|de|21 2，1n2显然当 a2 时，|de|2，所以存在实数 a2，使得|de|为定值2020 年高考文科数学一轮总复习第 6 页 共 11 页 基础题组练1已知双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点分别为f ，f ，过 f 作 x 轴的垂线与x2 y2

13、a2 b2122双曲线交于 b，c 两点，且bf c60，则该双曲线的离心率为()1a. 2c. 3b. 5d2 b2解析：选 c.不妨设点 b 在 x 轴的上方，则点 b 的坐标为c，由于bf c60，a1b2a2c33则 tan 30 ，得 3e22e 30，即( 3e1)(e 3)0，得 e 3.故选 c.x2 y225 162椭圆 1 的左、右焦点分别为f ，f ，弦ab 过点 f .若abf 的内切圆周长1212为，a，b 两点的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，则|y y |的值为()11221253103a.b.20353c.d.解析：选 d.由题意知，c a2b2 25

14、163，所以椭圆的焦点为 f (3，0)，f (3，1210)设abf 的内切圆半径为r.因为abf 的内切圆周长为，所以 r .根据椭圆的定义，2221有|ab|af |bf |(|af |af |)(|bf |bf |)4a20，所以 sabf (|ab|af |222121222121253|bf |)r 4ar5 2c|y y |3|y y |，所以|y y | .故选 d.2121212x2 y2a2 b2633(2019安徽合肥模拟)已知椭圆 1(ab0)的离心率为 ，过椭圆上一点 m作直线 ma，mb 分别交椭圆于 a，b 两点，且斜率分别为 k ，k ，若点 a，b 关于原点对

15、称，12则 k k 的值为_12b2 6a2 9b2 1a2 3yn ynxm xm解析：由 e21 ，得 .设 m(x，y)，a(m，n)，则 b(m，n)，k k 12y2n2x2m2，x 2 m 2213bn2 b2 k k把 y2b2 1 ， 1 代入式并化简，可得 .a2a2a2122020 年高考文科数学一轮总复习第 7 页 共 11 页 答案：134已知圆 m：x (y2) 1，直线 l：y1，动圆 p 与圆 m 相外切，且与直线 l 相22切设动圆圆心 p 的轨迹为 e.(1)求 e 的方程； (2)若点 a，b 是 e 上的两个动点，o 为坐标原点，且oaob16，求证：直线

16、 ab恒过定点解：(1)设 p(x，y)，则 x2（y2）2(y1)1x28y.所以 e 的方程为 x28y.(2)证明：易知直线 ab 的斜率存在，设直线 ab：ykxb，a(x ，y )，b(x ，y )1122将直线 ab 的方程代入 x28y 中，得 x28kx8b0，所以 x x 8k，x x 8b.121 2 oax2x264obx x y y x x 1 28bb216b4，1 21 21 2所以直线 ab 恒过定点(0，4)x2 y2a2 b2225(2019黑龙江齐齐哈尔八中模拟)已知椭圆 c： 1(ab0)的离心率为 ，过右焦点且垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 c 交于

17、a，b 两点，且|ab| 2，直线 l ：yk(x1234m)mr ，m与椭圆 c 交于 m，n 两点(1)求椭圆 c 的标准方程；54(2)已知点 q ，0 ，若 是一个与 无关的常数，求实数 的值qm qn k mxc，b22b2解：(1)联立方程，得解得 y ，故 2.1，x2 y2a2 b2aa c2又 e ，a2b2c2，所以 a 2，b1，c1，a 2x2故椭圆 c 的标准方程为 y21.2x22y21，(2)设 m(x ，y )，n(x ，y )，联立方程，得消元得(12k )x 4mk x2221122yk（xm），2k m 20，22所以 16m2k44(12k2)(2k2m

18、22)8(2k2m2k21)，4mk212k22k m 222x x ，x x ，12k2121 22020 年高考文科数学一轮总复习第 8 页 共 11 页 554542516 qmqnx x y y x x (x x ) k2(x m)(x m)(1k2)x x 4121 21 212121 2542516（3m 5m2）k 2 2522mk2 ( ) k2m2x x ，1612k212又qmqn是一个与 k 无关的常数，所以 3m25m24，即 3m25m20，2解得 m 1，m ，3123因为 m ，所以 m1.4当 m1 时，0，直线 l 与椭圆 c 交于两点，满足题意2综合题组练x

19、241(2019湖北省五校联考)在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 c： y 1，点 p(x ，21xy1)，q(x ，y )是椭圆 c 上两个动点，直线 op，oq 的斜率分别为 k ，k ，若 m 1， ，y122212x2n2， ，mn0.y21(1)求证：k k ；412(2)试探求opq 的面积 s 是否为定值，并说明理由解：(1)证明：因为 k ，k 存在，所以 x x 0，121 2x x4因为 mn0，所以 1 2y y 0，1 2y y14所以 k k 1 2 .12 x x1 2(2)当直线 pq 的斜率不存在，即 x x ，y y 时，1212y y14x24由 1

20、2 ，得 1y20，x x11 2x2又由 p(x ，y )在椭圆上，得 1y21，41112所以|x | 2，|y | ，2111所以 s |x |y y |1.2poq112当直线 pq 的斜率存在时，设直线 pq 的方程为 ykxb(b0)ykxb，由得(4k21)x28kbx4b240，x2 y21464k2b24(4 1)(4 4)16(4 1 )0，k2b2k2b22020 年高考文科数学一轮总复习第 9 页 共 11 页 8kb4b24所以 x x ，x x .4k 14k 11221 22x x4因为 1 2y y 0，1 2x x4所以 1 2(kx b)(kx b)0，得

21、2b24k21，满足 0.1212|b|124k 1b22所以 s |pq| |b| （x x ）24x x 2|b|1.k4 12poq1k2121 2所以poq 的面积 s 为定值x2 y2a2 b22(综合型)(2019西安市八校联考)已知直线 l：xmy1 过椭圆 c： 1 的右焦点 f，抛物线 x24 3y 的焦点为椭圆 c 的上顶点，且 l 交椭圆 c 于 a，b 两点，点 a，f，b 在直线 x4 上的射影依次为 d，k，e.(1)求椭圆 c 的方程； (2)若直线 l 交 y 轴于点 m，且ma af，mb bf，当 m 变化时，证明： 为定1212值；(3)当 m 变化时，直线 ae 与 bd 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)因为 l：xm