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1、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)曲线y=x+4sinx5x-2cosx的水平渐近线方程为(2)设函数f(x)=x1xsint2dt,x03a,0x=0在x=0处连续，则a=xdx+=(3)广义积分(1+x2)20y(1-x)(4)微分方程y=的通解是x(5)设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则dydxx=0=(6)设a=,e为2阶单位矩阵，矩阵b满足ba=b+2e,则b=.21-12二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前

2、的字母填在题后的括号内.(7)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0,x为自变量x在点x处的0增量，y与dy分别为f(x)在点x处对应增量与微分，若x0，则()0(a)0dyy(c)ydy0(b)0ydy(d)dyy0x(8)设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则f(t)dt是()0(a)连续的奇函数(c)在x=0间断的奇函数(b)连续的偶函数(d)在x=0间断的偶函数(9)设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x),h(1)=1,g(1)=2,则g(1)等于()(a)ln3-1(b)-ln3-1(c)-ln2-1(d)ln2-1(10)函数y=

3、cex+ce-2x+xex满足的一个微分方程是()12(a)y-y-2y=3xex(b)y-y-2y=3ex(c)y+y-2y=3xex(d)y+y-2y=3exf(rcosq,rsinq)rdr等于()p41(11)设f(x,y)为连续函数，则dq(a)dxf(x,y)dy(b)dx21-y2f(x,y)dx(d)dy221-x20x2(c)dy0y00221-x200221-y200f(x,y)dyf(x,y)dx(12)设f(x,y)与j(x,y)均为可微函数，且j(x,y)0,已知(x,y)是f(x,y)在约束条y00件j(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是()(a)若f(x

4、,y)=0,则f(x,y)=0(b)若f(x,y)=0,则f(x,y)0x00y00x00y00(c)若f(x,y)0,则f(x,y)=0(d)若f(x,y)0,则f(x,y)0x00y00x00y00(13)设a,a,12,a均为n维列向量，a是mn矩阵，下列选项正确的是()s(a)若a,a,12(b)若a,a,12(c)若a,a,12(d)若a,a,12,a线性相关，则aa,aa,s12,a线性相关，则aa,aa,s12,a线性无关，则aa,aa,s12,a线性无关，则aa,aa,s12,aa线性相关.s,aa线性无关.s,aa线性相关.s,aa线性无关.s(14)设a为3阶矩阵，将a的第

5、2行加到第1行得b，再将b的第1列的-1倍加到第2列110得c，记p=010，则()001(a)c=p-1ap.(b)c=pap-1.(c)c=ptap.(d)c=papt.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)试确定常数a,b,c的值，使得ex(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)，其中o(x3)是当x0时比x3高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsinexexdx(17)(本题满分10分)设区域d=(x,y)|x2+y21,x0，计算二重积分i=d(18)(本题满分12分)1+x

6、y1+x2+y2dxdynnx设数列x满足0xp，xn1n+1(i)证明limx存在，并求该极限;n=sinx(n=1,2,)n1xx2(ii)计算limn+1n.n(19)(本题满分10分)证明：当0abasina+2cosa+pa.(20)(本题满分12分)(x+y)满足等式z+z=0设函数f(u)在(0,+)内具有二阶导数，且z=f2222x2y2(i)验证f(u)+f(u)=0;(ii)若f(1)=0,f(1)=1,求函数f(u)的表达式.u(21)(本题满分12分)x=t2+1已知曲线l的方程y=4t-t2,(t0),1ax+x+3x+bx=1(i)讨论l的凹凸性;(ii)过点(-1

7、,0)引l的切线，求切点(x,y)，并写出切线的方程;00(iii)求此切线与l(对应xx的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.0(22)(本题满分9分)x+x+x+x=-1,234已知非齐次线性方程组4x+3x+5x-x=-1,有3个线性无关的解.12341234(i)证明此方程组系数矩阵a的秩r(a)=2;()求a,b的值及方程组的通解.(23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3,向量a=(-1,2,-1)t,a=(0,-1,1)t是线12性方程组ax=0的两个解.(i)求a的特征值与特征向量;(ii)求正交矩阵q和对角矩阵l,使得qtaq=l.2006年全国硕士研究生

8、入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】y=15【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质-“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知1+01=lim=x+4sinxlimy=limxx5x-2cosx=limx1+5-4sinxx2cosxx5-05x11x0时为无穷小量，sinx，cosx均为有界量.故，y=是水平渐近线.x5(2)【答案】13【详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故洛lim=lim=xsint2limf(x)=lim0x0x0x3x03x2sin(x2)x21x03x230x2注：0型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换sinx2(3)【答案】12【

9、详解】xdx1+dx211+0=-(1+x2)220(1+x2)221+x2+0=12(4)【答案】cxe.=dx=(-1)dx=dx-dx-x【详解】分离变量，dyy(1-x)=dxxdy(1-x)dy1dy1yxyxyxlny=lnx-x+celny=elnx-x+cy=cxe-x其中，a-e=-=2，2e=22e=4-1201-11因此，b=2e(5)【答案】-e【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令x=0y(0)=1.将方程两边对x求导得y=-ey-xeyy，令x=0得y(0)=-e(6)【答案】2【详解】由已知条件ba=b+2e变形得，ba-2e=bb(a-

10、e)=2e,两边取行列式,得b(a-e)=2e=4e=42110114=2.a-e2二、选择题.(7)【答案】a【详解】方法1：图示法.因为f(x)0,则f(x)严格单调增加；因为f(x)0,则f(x)是凹函数，又x0，画f(x)=x2的图形yyy=f(x)dyy-dy=f(x+x)-f(x)-f(x)x(前两项用拉氏定理)=f(x)x-f(x)x(再用一次拉氏定理)结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy.方法2：用两次拉格朗日中值定理0000=f(h)(x-x0)x,其中x0xx0+x,x0h0，从而y-dy0.又由于dy=f(x)x0，故选a0方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公

11、式：f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f(x0)(x-x)2+2!n!0000f(n)(x)0+(x-x)n+r，0n(n+1)!(x-x)n.此时n取1代入，可得其中r=nf(n+1)(x)00dy-dy=f(x+dx)-f(x)-f(x)dx=00012f(x)(dx)20特殊选取f(x)=0,x=0，满足所有条件，则xf(t)dt=x.-x,x0-1,x0，选(a).0(8)【答案】(b)【详解】方法1：赋值法1,x0x,x00它是连续的偶函数.因此，选(b)方法2：显然f(x)在任意区间a,b上可积，于是f(x)=记x0f(t)dt处处连续，又f(-x)=-xf(t)dt=-xf

12、(-t)dt=s=-txf(s)ds=f(x)0即f(x)为偶函数.选(b).00(9)【答案】(c)【详解】利用复合函数求导法h(x)=e1+g(x)两边对x求导h(x)=g(x)e1+g(x)将x=1代入上式，1=2e1+g(1)g(1)=ln12-1=-ln2-1.故选(c).(10)【答案】(c).【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项因为y=cex+ce-2x+xex是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应的12齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为(l-1)(l+2)

13、=l2+l-2=0，对应的齐次微分方程为y+y-2y=0所以不选(a)与(b)，为了确定是(c)还是(d)，只要将特解y*=xex代入方程左边，计算得(y*)+(y*)-2y*=3ex，故选(d).(11)【答案】(c)【详解】记4pdq1f(rcosq,rsinq)rdr=f(x,y)dxdy，则区域d的极坐标表示是：4.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形00d0r1，0qp可以看出，直角坐标的积分范围（注意y=x与x2+y2=1在第一象限的交点是（22，），于是d:0y2222,yx1-y2所以，原式=022dy1-y2yf(x,y)dx.因此选(c)(12)【答案

14、】d【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。已知j(x,y)=0，由j(x,y)=0，在（x,y)邻域，可确定隐函数y=y(x)，0000dx=-满足y(x)=y，dy00jxjy。,)（x,y)是f(x,y)在条件j(xy=00z=f(x,y(x)的极值点。它的必要条件是0下的一个极值点x=x是0x+f(x,y)-f(x,y)x(x0,y0)j(x,y)0dzdxx=x0=f(x0,y0)f(x,y)dy00ydxx=x0=x00y00jy00x=x=0若f(x,y)=0，则f(x,y)=0，或j(x,y)=0，因此不选(a)，(b).x00y00x00dx若f(x,y)0，则f(

15、x,y)0(否则dzx00y00x=x00).因此选(d)方法2：用拉格朗日乘子法.引入函数f(x,y,l)=f(x,y)+lj(x,y)，有f=j(x,y)=0因为j(x,y)0，所以l=-yj(x,y)f=f(x,y)+lj(x,y)=0(1)xxxfy=fy(x,y)+ljy(x,y)=0(2)lf(x,y)00y00y00，代入(1)得f(x,y)=-x00f(x,y)j(x,y)y00x00j(x,y)y00若f(x,y)0，则f(x,y)0，选(d)x00y00(13)【答案】a【详解】方法1：若a,a,a线性相关,则由线性相关定义存在不全为0的数k,k,k使得12s12ska+k

16、a+1122+ka=0ss为了得到aa,aa,12,aa的形式，用a左乘等式两边,得skaa+kaa+1122于是存在不全为0的数k,k,12+kaa=0ss,k使得成立，所以aa,aa,aa线性相关.s12s方法2：如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.a,a,a线性相关r(a,a,a)s；2.r(ab)r(b).12s12s矩阵(aa,aa,12,)aa=aa(a,s12),a,设b=(a,a,s12,a)，则由s)r(ab)r(b得r(aa,aa,12,aa)r(a,a,a)s.所以答案应该为(a).s12s(14)【答案】b【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩

17、阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将a的第2行加到第1行得b，即b=000a记pa111001将b的第1列的-1倍加到第2列得c，即c=b010记bq1-10001因为pq=010010=e，故q=p-1e=p-1.1101-10001001从而c=bq=bp-1=pap-1,故选(b).三、解答题(15)【详解】方法1：用泰勒公式将ex=1+x+x2x3+o(x3)代入题设等式整理得261+(b+1)x+(c+b+)x2+c+o(x3)=1+ax+o(x3)1121比较两边同次幂函数得c+b+=0，由此可解得a=，b=-，c=2336b12()1b1226b+1=a

18、+c+=06方法2：用洛必达法则.由ex1+bx+cx2=1+ax+o(x3),(x0)j=lim(记)x0ex(1+bx+cx2)-1-axx3=0ex(1+bx+cx2)+exb(+cx-)alim2x03x2要求分子极限为0，即1+b-a=0，否则j=j=limx0ex(1+bx+cx2)+2ex(b+2cx)+2exc6x要求分子极限为0，即1+2b+2c=0，否则j=ex(1+bx+cx2)+3ex(b+2cx)+6exc1+3b+6cj=lim=0x06661+3b+c=0所以1+2b+2c=01+b-a=0解得1+3b+6c=01a=32b=-31c=6.(16)【详解】题目考察

19、不定积分的计算，利用变量替换和分部积分的方法计算arcsineexxdx=arcsinexe2xexdx=arcsinexe2xdex令ex=tarcsintt2dt=-arcsintd()=-+=-+t1-t2t21-t21arcsintdtarcsinttdtttt=-+arcsint1dt2t2t21-t2arcsint1d(1-t2)=-+t2(1-t2)1-t2-1-t2令1-t2=u=-+arcsint1du2arcsintdu=-+t2u3-utu2-1+ln=-arcsint1u-1+ct2u+11-e2x+1所以arcsinexarcsinex11-e2x-1dx=-+ln+

20、cexex2(17)【详解】积分区域对称于x轴，xyy为y的奇函数，1+x2+y2从而知dxy1+x2+y2dxdy=0rppdxdy极坐标2dq101+r222所以i=d11+x2+y2pp0-2dr=ln(1+r2)1=ln2n(18)【详解】(i)由于0xp时，0sinxx，于是00.由单调有界准则知limx存在.记为a.nn递推公式两边取极限得a=sina,a=0=sinxx,说明数列xnnn)x，为“1”型.(ii)原式=lim(nsinxxnn12n因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑lim(t0sint1)t2tsint1limt02tsintt2=e1lim()t2=et0t

21、limln()t0t2tt11(tcost-sint)=et0=et0limtcost-sint2t3limcost-tsint-cost6t2=elimt0-sint6t=e-16)=lim()=lim(所以lim(nxn+1xn1x2nnsinxxnn1x2nx0sinxx1)x2=e-16(x+y)(x+y)x2+y2;(19)【详解】令f(x)=xsinx+2cosx+px，只需证明0xp时,f(x)单调增加(严格)f(x)=sinx+xcosx-2sinx+p=xcosx-sinx+pf(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0f(x)单调减少(严格)，又f(p)=pco

22、sp+p=0，故0x0，则f(x)单调增加(严格)由ba有f(b)f(a)得证(20)【详解】(i)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了zxzy=f22=f22xyx2+y2(x+y)(x2+y2)+f2zx2=f22x2(x2+y2)x2+y2-x2x2+y2(x2+y2)(x+y)(x2+y2)+f(x+y)(x+y2)32(x+y)(x2+y2)+f(x+y)(x+y2)32同理2zy2=f=f2222x2y2222222y2x2代入2z2z+x2y2=0，得f+y(x22)+f(x2+y2)x2+y2=0，所以f(u)+f(u)u=0成立.=-，则=-+c，

23、(ii)令f(u)=p于是上述方程成为dppduudpdupuuc即lnp=-ln+，所以f(u)=p=cu因为f(1)=1，所以c=1，得f(u)=lnu+c2(i)dxddx1=-21=-10处)dx又因为f(1)=0，所以c=0，得f(u)=lnu2(21)【详解】方法1：计算该参数方程的各阶导数如下dydy4-2t2=2t,=4-2t,=-1dtdtdx2ttdyd2y=2dxdtt22tt3dt所以曲线l在t0处是凸的(ii)切线方程为y-0=2-1(x+1)，设x=t2+1，y=4t-t2，t00000t0224t3则4t-t2=-1(t2+2),t-=000002t-(2t+)(

24、002)t)得t2+t-2=0,(-1)t(+2=00000tt000=1(iii)设l的方程x=g(y),则s=(g(y)-(y-1)dy()+1由t2-4t+y=0解出t=24-y得x=24-y所以，切点为(2，3)，切线方程为y=x+1302(4-y)+1=g(y)由于点(2，3)在l上，由y=3得x=2,可知x=2-2()所以s=9-y-44-y-(y-1)dy=(10-2y)dy-44-ydy33300023333=(10y-y2)+44-yd(4-y)=21+4(4-y)2030086427=21+-=3-=3333方法2：(i)解出y=y(x)：由t=x-1(x1)代入y得y=4

25、x-1-x+1.2d2yx-1(x1)-1，=-(x-1)21(x=1时不合题意).00-1)(x-x)，其中0x-1令x=-1,0002y=0，得-4x-1+x-1=-1(-1-x）0t令t=02x-1，得-4t+t2=(-1)(-2-t2).00000其余同方法1，得t=10(iii)所求图形面积-2y(x)dx=-2(4x-1-x+1)dxs=92912198391379213=2-(4(x-1)2-x2+x)=-(-+1)=-=.232232263(22)【详解】(i)系数矩阵a=435-1未知量的个数为n=4，且又ax=b有三个11111a13b线性无关解，设a,a,a是方程组的3个线性无关的解,则a-a,a-a是ax=0的两1232131个线性无关的解.因为a-a,a-a线性无关又是齐次方程的解，于是ax=0的基础解2131系中解的个数不少于2,得4-r(a)2,从而r(a)2.又因为a的行向量是两两线性无关的,所以r(a)2.所以r(a)=2.(ii)对