网络名师小班辅导教案-初中数学二次函数第3讲抛物线与几何变换教师版

1、第三讲抛物线与几何变换中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；知识点睛一、二次函数图的平移（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左

2、加右减”.二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题

3、意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式重、难点1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。2. 二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。例题精讲一、抛物线的平移【例1】 函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ） 右移两个单位，下移一个单位 右移两个单位，上移一个单位 左移两个单位，下移一个单位 左移两个单位，上移一个单位【解析】 函数的图象的顶点为，的图象的顶点为，因此，把函数向左移两个单位，再向下移一个单位，可以得到

4、.或者，直接在表达式上看：函数的图象可由函数的图象向左移两个单位，再向下移一个单位得到，选.【巩固】 函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ） 右移三个单位，下移四个单位 右移三个单位，上移四个单位 左移三个单位，下移四个单位 左移四个单位，上移四个单位 （07萧山）二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ） 向左移动个单位，向上移动个单位. 向右移动个单位，向上移动个单位. 向左移动个单位，向下移动个单位. 向右移动个单位，向下移动个单位.【解析】 本题主要考查函数图象的平移.函数的图象的顶点为，的图象的顶点为，因此，把函数向右移三个单位，再向下移四个单位，可以得到.所以，函数

5、的图象可由函数的图象先向右移三个单位，再向下移四个单位得到选 将配方得：，要将二次函数的图象平移得到到，应选【例2】 （09湖北孝感）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为( )abcd （09湖北鄂州）把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则_（09湖北孝感）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是abc d 【解析】 b； dyxoabcd【例3】 （08宁波）如图，中，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点， 求点，的坐标 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式【解析】 在中，且，点的坐标为，

6、设抛物线的对称轴与轴相交于点，则，点，的坐标为， 由抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为，把，代入上式，解得设平移后抛物线的解析式为把，代入上式得平移后抛物线的解析式为即【例4】 （09浙江宁波）抛物线与轴相交于点，且过点（1）求的值和该抛物线顶点的坐标（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式【解析】 （1） 抛物线经过， 解得，抛物线解析式， 配方得，顶点的坐标为（2） 先向左平移个单位，在向上平移个单位， 平移后的抛物线解析式【例5】 设抛物线，把它向右平移个单位，或向下移个单位，都能使抛物线与直线恰 好有一个交点，求、的值 把抛物线向左平

7、移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点和，求、的值 把抛物线向左平移个单位，向下移个单位后，所得抛物线为，其图象经过点，求原解析式【解析】 抛物线向右平移个单位后，得到由得方程，即因为抛物线与直线恰好有一个交点，所以上述方程有两个相同的实数根，故判别式，得，这时的交点为抛物线向下平移个单位，得到抛物线，于是得方程，即，该方程有两个相同的实数根，故判别式，得，这时的交点为 把向左平移个单位，向上平移个单位，得到的抛物线为于是，由题设得解得即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位 首先，抛物线经过点，可求得，设原来的二次函数为，可得解得所以原二次函数为，即说明：将抛物线向右平移个单位

8、，得到的抛物线是；向左平移个单位得到；向上平移个单位，得到；向下平移个单位得到【例6】 （2010年海淀一模）关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.（1）求的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点. 点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与（2）中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.【解析】 （1）关于的一元二次方程有实数根， =. -1分又 为正整数， . - 2分（2） 方程两根均为整数， .-3分又 抛物线与x轴交于a、b两点

9、， . 抛物线的解析式为.-4分 抛物线的对称轴为. 四边形为直角梯形，且， . 点在对称轴上， .-5分（3）或.- 7分（写对一个给1分）【例7】 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 【解析】 (1)由题意得， 为正整数， 当时，方程有一根为零； 当时，方程无整数根； 当时，方程有两个非零的

10、整数根 综上所述，和不合题意，舍去；符合题意 当时，二次函数为，把它的图象向下平移个单位得到的图象的解析式为 设二次函数的图象与轴交于、两点，则，依题意翻折后的图象如图所示 当直线经过点时，可得； 当直线经过点时，可得 由图象可知，符合题意的的取值范围为二、抛物线的对称【例8】 函数与的图象关于_对称，也可以认为是函数的图象绕_旋转得到【解析】 考察函数的对称性。与关于x轴对称，也可以看成是绕原点旋转180得到。【例9】 已知二次函数，求：关于轴对称的二次函数解析式；关于轴对称的二次函数解析式；关于原点对称的二次函数解析式【解析】 二次函数解析式转化为顶点式为，顶点坐标为，关于轴对称后顶点坐标

11、为，开口大小不变，方向该变，则对称后的解析式是，即；关于轴对称后顶点坐标为，开口大小和方向不变，则对称后的解析式是，即；关于原点对称后顶点坐标为，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是，即 【例10】 （“宇振杯”竞赛）设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为， 关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为_【解析】 先关于轴对称，再关于轴对称，相当于将关于原点对称得到，则的解析式 【例11】 (2006年太原市数学竞赛题)已知二次函数的图象是 求关于点中心对称的图象的解析式； 设曲线、与轴的交点分别为，当时，求的值【解析】 设上任意一点为，上关于中心对称的点为，则有由点在的图象上可知，即即故图

12、象的解析式为： 令中，可得，故；令中，可得，故又，故或【例12】 （06太原）已知二次函数的图象是 求关于成中心对称的图象的函数解析式； 设曲线与轴的交点分别为，当时，求的值【解析】 将二次函数化为顶点式得，则的顶点坐标为，关于对 称的点即顶点坐标为，其解析式为 与轴交点，与轴交点，则，解得或【例13】 （2010年延庆一模）如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是（1）求点坐标及的值；（2）如图（1），抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；（3）如图（2），点是轴正半轴上一点，将抛物线

13、绕点旋转后得到抛物线抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标yxaobpn图2c1c4qef图24-2yxaobpm图1c1c2c3图24-1【解析】 由抛物线：得顶点的为 点在抛物线上 解得， 连接，作轴于，作轴于点、关于点成中心对称过点，且,顶点的坐标为 抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到抛物线的表达式为yxaobpn图(2)c1c4qefhgk抛物线由绕点轴上的点旋转得到顶点、关于点成中心对称由得点的纵坐标为设点坐标为 作轴于，作轴于作于旋转中心在轴上，点坐标为坐标为，坐标为，根据勾股定理得 当时，解得，点坐标为 当时，解得

14、，点坐标为，综上所得，当点坐标为或时，以点、为顶点的三角形是直角三角形 【巩固】已知：抛物线试写出把抛物线向左平行移动个单位后，所得的新抛物线 的解析式；以及关于轴对称的曲线的解析式画出和的略图， 并求： 的值什么范围，抛物线和都是下降的； 的值在什么范围，曲线和围成一个封闭图形； 求在和围成封闭图形上，平行于轴的线段的长度的最大值【解析】 ：(由顶点横坐标变化确定的)， ：(由开口方向相反确定的) 当时，下降，当时，下降，当时，曲线和都是下降的 求两曲线的交点横坐标，即解方程组；或当时，曲线和围成一个封闭图形 封闭图形上，平行于轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差

15、在区间内，设上的点，上的点，求的最大值，可用配方法：，有最大值当时，的值最大是即线段长度的最大值是【附加题】（06福州）对于任意两个二次函数：，当时， 我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有，记过三点的二次函数抛物线为“”（“”中填写相应三个点的字母） 若已知，（图1），请通过计算判断与是否为全等抛物线； 在图2中，以三点为顶点，画出平行四边形 若已知，求抛物线的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线解析式 若已知，当满足什么条件时，存在抛物线？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线若存在，请写出所有满足条件的抛物线“”；若不存在

16、，请说明理由【解析】 设抛物线的解析式为 抛物线过点得，解得 抛物线的解析式为 同理可得抛物线的解析式为 ，与是全等抛物线 设抛物线的解析式为 抛物线过点，解得 抛物线的解析式为 由三点可知，平行四边形的第四个顶点坐标可能是则经过平行四边形的三个顶点，且与全等的抛物线解析式为， 当且时存在抛物线 在该前提下，存在过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线如图，它们分别是家庭作业【习题1】 （09天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为a bc d【解析】 c【习题2】 已知抛物线，求 关于轴对称的抛物线的表达式； 关于轴对称的抛物线的表达式； 关于原点对称的抛物线的表达式【解析】 ； ；【习题3】 （09兰州）把抛物线向左平移个单位，