数据包络分析法

1、数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织 （或项目） 工作绩效相对有效 性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各 自具有相同 （或相近）的投入和相同的产出。 衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入 产出比这个指标， 当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时， 容易计算出各自的投入产 出比并按其大小进行绩效排序。 但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出， 且不能折 算成统一单位时， 就无法算出投入产出比的数值。 例如， 大部分机构的运营单位有多种投入 要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市 场份额和

2、成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道， 当输入量转换为输出量时，哪 个运营单位效率高，哪个单位效率低。 数据包络分析法的主要思想 一个经济系统或者一个生产过程可以看成一个单元在一定可能范围内， 通过投入一定数 量的生产要素并产出一定数量的 “产品” 的活动。虽然这些活动的具体内容各不相同，但其 目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益” 。由于从“投入”到“产出”需要经过一 系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单元被称为“决策单 元”（ Decision Making Units ， DMU）。可以认为每个 DMU都代表一定的经济含义，它的基本 特点是具有一

3、定的输入和输出， 并且在将输入转换成输出的过程中， 努力实现自身的决策目 标。 数据包络分析法的基本模型 我们主要介绍 DEA中最基本的一个模型 C2R 模型。 设有 n 个决策单元（ j = 1 ， 2， n ），每个决策单元有相同的 m 项投入（输入） ， 输入向量为 xj x 1 j , x 2 j ,L T ,x mj 0, j 1,2, L ,n 每个决策单元有相同的 s 项产出（输出） ，输出向量为 yj y1j, y 2j,L T , y sj 0, j 1,2,L ,n sj 即每个决策单元有 m种类型的“输入”及 s 种类型的“输出” 。 x ij 表示第 j 个决策单元对第

4、 i 种类型输入的投入量； y ij 表示第 j 个决策单元对第 i 种类型输出的产出量； 为了将所有的投入和所有的产出进行综合统一， 即将这个生产过程看作是一个只有一个 投入量和一个产出量的简单生产过程， 我们需要对每一个输入和输出进行赋权， 设输入和输 出的权向量分别为： vv1,v2,L ,vm ,uu1,u2,L ,us 。vi 为第 i 类 型输入的权重， ur 为第 r 类型输出的权重。 ms 这时，则第 j 个决策单元投入的综合值为 m vixij ，产出的综合值为 s ur yrj ，我 们定义每个决策单元 DMU j 的效率评价指数： hj r1 ur yrj i 1 vi

5、xij 模型中 xij ， yij 为已知数(可由历史资料或预测数据得到) ，于是问题实际上是确定一 组最佳的权向量 v 和 u，使第 j 个决策单元的效率值 hj 最大。这个最大的效率评价值是该 决策单元相对于其他决策单元来说不可能更高的相对效率评价值。我们限定所有的hj 值 (j=1,2, ,n) 不超过 1，即 max h 1。这意味着，若第 k 个决策单元 h =1，则该决策单元 jk 相对于其他决策单元来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么 该决策单元相对于其他决策单元来说， 生产率还有待于提高， 或者说这一生产系统还不是有 效的。 根据上述分析，第 j 0

6、个决策单元的相对效率优化评价模型为： s r 1ur yrj0 r1 maxh j0m vixij0 i1 s r 1ur yrj r m11, j 1,2,., n s.t. i 1 vi xij v v1,v2,L ,vm u u1,u2,L ,us 这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此令 tur ， wi tvi 1 m， vixij0 i1 则模型转化为： max h j0 r y rj 0 ryrj r1 m s.t.wi xij 0 i1 i 1 wi xij 0, j 1,2,., n r wi 0, i 1,2,.m; r 1,2,., s 写成向量

7、形式有 : max h j0 TYj s.t. wT X0 TY0 wTX j 0 1,2,., n 线性规划中一个十分重要， 0, 也十分有效的理论是对偶理论， 通过建立对偶模型更易于从 理论及经济意义上作深入分析， 其对偶问题为： min jxj x0 j1 n s.t. j1 jyj y0 j 0, j 无约束 1,2,L ,n 进一步引入松弛变量 s 和剩余变量 s ，将上面的不等式约束化为等式约束： min n j xj sx0 j1 n s.t. j 1 jy j s y0 j 0, j 1,2,L , n 无约束 s 0,s 0 设上述问题的最优解为 * ， s* ， * ，则有

8、如下结论与经济含义： （1）若 * 1，且s* 0,s* 0，则决策单元 DMU j0为DEA有效，即在原线性规划的 解中存在 w* 0, * 0，并且其最优值 h*j0 1 。此时，决策单元 DMU j0 的生产活动同时为 技术有效和规模有效。 2），但至少有某个输入或者输出松弛变量大于零。则此时原线性规划的最优值 h*j 1 ， j j0 称 DMU j0 为弱 DEA有效，它不是同时技术有效和规模有效。 （ 3）若 * 1, 决策单元 不是规模效率最佳。 DMU j0 不是 DEA有效。其生产活动既不是技术效率最佳，而 4）另外，我们可以用 C2R 模型中 j 的最优值来判别 DMU的规

9、模收益情况。若存在 则 DMU j0 为 规 模 效 益 不 变 ； 若 不 存 在 *j 1 ，那么 DMU j0 为规模效益递增；若不 则若j* 1，那么 DMU j0 为规模效益递减。 j* j 1,2,L ,n ， 使 j* j 1,2,L ,n ，使*j 存在 *j j 1,2,L ,n ，使 技术有效：输出相对输入而言已达最大，即该决策单元位于生产函数的曲线上。 1成 立 ， 1成立，则若 j* 1成立， 规模有效： 指投入量既不偏大， 也不过小， 是介于规模收入收益由递增到递减之间的状 态，即处于规模收益不变的状态。 DMU、1 DMU2、 DMU3都处于技术有效状态； DMU1

10、不为规模有效，实际上它处于规模收 益递增状态； DMU3不为规模有效， 实际上它处于规模收益递减状态；DMU2是规模有效的。 如果用 DEA模型来判断 DEA有效性，只有 DMU2对应的最优值 01。可见，在 C2R 模型下 的 DEA有效，其经济含义 是：既为“技术有效” ，也为“规模有效” 。 例题 : 下面是具有 3 个决策单元的单输入数据和单输出数据 . 相应决策单元所对应的点 以 A,B,C 表示,其中点 A、C在生产曲线上 ,点 B在生产曲线下方。由 3个决策单元所确定的 生产可能集 T 也在图中标出来。 对于决策点 A,它是“技术有效”和“规模有效” , 它所对应的 C2R模型为 min 2 1 4 2 5 3 2 s.t 2 1 2 3.5 3 2 1, 2, 3 0 其最优解为 : 0 （1,0,0）T , 0 1 对于决策点 B,它不是“技术有效” , 因为点 B不在生产函数曲线上 ,也不是“规模有效” 这是因为它的投资规模太大 . 其对应的 C2R 模型如下 : min 2 1 4 2 s.t 2 1 12 5 3 4 3.5 3 1 0 其最优解为 0 (1/ 2,0,0)T , 0 1/4: 由于 1, 故 B 点不是 3 DEA有效,由 j1 11 2 , 知该部门的规模收益是递增的 对于决策点 C, 因为点 C是在生产