【北师大版教材适用】九年级数学下册《垂径定理》教案

1、 北师大版九年级数学下册精编教学设计系列1 垂径定理一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力二、教学任务分析该节内容为 1 课时圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理具体地说，本节课的教学目标是：知识

2、与技能1利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2运用垂径定理及其逆定理解决问题过程与方法1经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法情感与态度1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严2 谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线三、教学设计分析本节课设计了四个教学环节：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.第一环节 类比引入活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2

3、.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现么结论？什3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？活动目的：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力第二环节 猜想探索3 活动内容：1如图， 是o 的一条弦，作直径 ，使 ，垂足abcdcd abm为 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由cdcd ab条件： 是直径； am bm结论（等量关系）： = ； = ； = .ac bcad bdoa ob oa ob证明：连接 , ,则 = .oamobm在

4、rt 和 rt 中,oa ob om om = ， = ，oamobmrt rt .am bm = .abcd点 和点 关于 对称.cdo 关于直径 对称,cdab当圆沿着直径 对折时, 点 与点 重合, 和 重合,和 重合.ac bcad bd = ， = .ac bc ad bd2证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所4 对的两条弧3辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？bbdoooccdce daa注意：定理中的两个条件缺一不可直径（半径），垂直于弦通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识4垂径定

5、理逆定理的探索ababcd如图， 是o 的弦（不是直径），作一条平分 的直径 ，abm交 于点 .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.cdam bm条件： 是直径； =cd ab结论（等量关系）： ； = ； = .ac bcad bd让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容5 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？b反例：dca活动目的：活动 1 的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索

6、和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动 2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动 3 的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4 的主要目的与活动 1 相似，并让学生与活动1 类比，提高探索能力；活动 5 的主要目的与活动 3 相似实际教学效果：在活动 1 中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困oa ob难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接 、 ，构造等腰6 三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，

7、学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2 中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动 3 是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4 中，学生已经有了活动1 的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动 5 与活动 3 相似第三环节 知识应用活动内容：讲解例题及完成随堂练

8、习1例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即0cd图中 ,点 是 所在圆的圆心），其中 =600m，cdcdeoe cdf ef为 上的一点，且 ，垂足为 ， =90m.cd求这段弯路的半径ocrof r解：连接 ，设弯路的半径为 m,则 =( -90)moe cd 7 11cf = cd = 600 = 30022根据勾股定理，得oc cf of= + r r即=300+( -90).r解这个方程，得 =545.所以，这段弯路的半径为 545m.2随堂练习 11400 年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为 7.

9、2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1米）3随堂练习 2如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；8 （3）圆心在平行弦内baoboaobaddcccd活动目的：活动 1、2 的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动 3 的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想实际教学效果：在活动 4 中，对于例题和随堂练习 1 教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直

10、角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论第四环节 归纳小结9 活动内容：学生交流总结1利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.活动目的：通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养

11、成归纳反思的学习习惯实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思四、教学设计反思1要从培养学生学习方法的角度使用教材教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理10 的证明方向这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力2要鼓励学生敢于表述和善于纠错垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会因此，应该让学生大胆表述，并对各人