工程数学复变函数复习重点

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：ZXiy , X,y是实数，X Re z ,y Im z . i21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2. 复数的表示 1）模：Z 2 y2 ；2）幅角：在Z 0时，矢量与X轴正向的夹角，记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z是位于（，中的幅角。3）arg Z与arctany之间的关系如下：X当 X 0, arg Z arctan ；Xyy 0,arg Z arcta n 当 X 0,X ；yy 0,arg Z arcta nX4） 三角表示：Z ZCOSis in，其中 arg Z;注：中间一定是“ +”5） 指数表示:

2、ZZ ei，其中 arg Z。（二）复数的运算1.加减法：若Z1X1iy1,Z2X2iy2，贝Szlz?X2i 5y22. 乘除法：1）若 ZiXi iy1,Z2X2 iy2，贝SZ1Z2Xi X2%y2 i X2y1X1y2 ；ZlXiiyi N i/x2iy2X1X2yyy1X2y2X1 OO-i nn-22122OZ2X2iy2X2iy2X2iy2X2y2X2y22） 若 Z1i 1e ,Z2Z2ei 2 ,贝 y Z1Z2ZJZ2i 1 e2 . Zli 1 2 eZ2Z23. 乘幕与方根1) 若 Z Z (COSi Sin )Zei，贝U ZnZrI(COSni Sin n ) Zn

3、ein 。2)若 Z Z (cos i Sin ) Z ei，贝卩1Zn COS2kniSin(k 0,1,2n 1)(有n个相异的值)（三）复变函数 1.复变函数：W f Z ,在几何上可以看作把Z平面上的一个点集D变到W平 面上的一个点集G的映射.2. 复初等函数指数函数：eZ ex coSy isi ny ,在Z平面处处可导，处处解析；且eZeZ。注：eZ是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）对数函数： LnZ In Z i（argz 2k ） （k 0, 1, 2|）（多值函数）；主值：ln Z InZ i argz。（单值函数）1LnZ的每一个主值分支InZ在除去原点及负实

4、轴的 Z平面内处处解析，且 lnzZ注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）乘幕与幕函数：ab ebLna（a 0） ; Zb ebLnZ（Z 0）注：在除去原点及负实轴的Z平面内处处解析，且Zbbzb 1。iziziziz三角函数：SinZ J,cosz ,tgz 匹，ctgz 咤2i2cos zSin ZSin z,cos Z在 Z 平面内解析，且 Sinz cosz, cosz Sinz注：有界性ISinZ 1,1COSZl 1不再成立；（与实函数不同）ZZZZ双曲函数 ShZ J,chz；2 2ShZ。ShZ奇函数，ChZ是偶函数。shz,ChZ在Z平面内解析 ShZ chz, ChZ

5、（四）解析函数的概念1. 复变函数的导数1）点可导:ZQ = IimZ 0f ZOZZzQ；2）区域可导：f Z在区域内点点可导2. 解析函数的概念Z在Zq点解析;1）点解析：f Z在Zq及其Zq的邻域内可导，称 2）区域解析：f Z在区域内每一点解析，称f Z在区域内解析;3）若f（z）在ZQ点不解析，称ZQ为f z的奇点;3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 .函数可导的充要条件：f z u x, y iv x, y在Z X iy可导u x, y和vx, y在 x, y 可微，且在

6、x,y 处满足C D条件：UVUVX y, y X此时，有f ZU . Vi_X X2.函数解析的充要条件：f z u x, y iv x, y在区域内解析U x,y和vx, y在x,y在D内可微，且满足C D条件：UVUVX y, y X此时fU . VZ-X X注意：若U x, y ,v x, y在区域D具有一阶连续偏导数，则U x,y ,v x, y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明U,v具有一阶连续偏导且满足C R条件时，函数f（z） U iv 一定是可导或解析的3. 函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题 1） 2） 利用充要条件 （

7、函数以f z u x, y iv x, y形式给出，如第二章习题2）3） 利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f Z是以Z的形式给出，如第 二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1.复变函数积分的概念：f z dz Iim f k Zk， C是光滑曲线。Cn k 1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2.复变函数积分的性质1)f z dz 1 f z dzCC（C 1与C的方向相反）；2)f Z g z dz f z dzCCg z d乙,是常数;C3)若曲线C由C1与C2连接而成，则Z dz f z dzqf z dz。C23. 复变函数积分的一般计算法1）化为线积分:f z

8、 dz UdX VdyCCVdX Udy ;（常用于理论证明）C2）参数方法：设曲线C: z z t （ t）,其中对应曲线C的起点，对应曲线C的终点，则f Z dz fz tCz (t)dt。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1. 柯西一古萨基本定理:设f Z在单连域B内解析，C为B内任一闭曲线,n则 f z dz O2.复合闭路定理： 设f z在多连域D内解析,C为D内任意一条简单闭曲线，c,C2,IoCn是C内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以C1,C2,Cn为边界的区域全含于D内，则n I Illf ZdZf zd z, 其中C与Gk均取正向；Vk 11Ck 卩f Z dz

9、 0,其中 由C及C 1(k 1,2, n)所组成的复合闭路。3. 闭路变形原理 ：一个在区域D内的解析函数f Z沿闭曲线C的积分,不因C在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中C不经过使f Z不解析的奇点。4. 解析函数沿非闭曲线的积分：设f z在单连域B内解析，G Z为f z在B内的一个原函数，贝Uf z dz G z2 G z1(z1,z2 B)z1说明：解析函数 f Z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5. 柯西积分公式：设fz在区域D内解析，C为D内任一正向简单闭曲线，f ZC的内部完全属于D，Zo为C内任意一点，贝Udz 2 if Zo.cz zo6

10、.高阶导数公式：解析函数f Z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 其中C为f Z的解析区域D内围绕Z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内 部完全属于D O7. 重要结论：1 n 1 dz 2 i, n 0 o(C是包含a的任意正向简单闭曲线)J(Z a)n 10, n 08. 复变函数积分的计算方法1) 若f z在区域D内处处不解析，用一般积分法 f z dz fz t z t dtC2) 设f z在区域D内解析，、C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，IIf ZdZ 0UCC是D内的一条非闭曲线，Z1,Z2对应曲线C的起点和终点，则有3) 设f z在区域D内不解析f Zi Cdz

11、 2 i f Zg曲线C内仅有一个奇点：Z Z( f (z)在C内解析)f Z 2 K nICn 1dZfzOC(Z Zo)n!n曲线C内有多于一个奇点：I I f z dz IlfZdZ ( C内只有一个奇点Zk)QklCn或：；IfZdZ 2 iResf(z),zk(留数基本定理)ck 1若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算(A)解析函数与调和函数的关系1 .调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数且2 2满足r 牙0 ,(,y)为D内的调和函数。X y2. 解析函数与调和函数的关系解析函数f Z U iv的实部U与虚部V都是调和函数，并称虚部V 为实部U

12、的共轭调和函数。两个调和函数U与V构成的函数f(z) U iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则U iv一定是解析函数。3. 已知解析函数f Z的实部或虚部，求解析函数f Z U iv的方法。1)偏微分法：若已知实部U U x,y，利用CR条件，得X对丄两边积分，得V-Udy g Xy XX(*)X (*)g X ,可求出再对(*)式两边对X求偏导，得-UdyXXX由C R条件，-,得-dyy Xy XX代入（*）式，可求得虚部V-Udy g X 。X2 ）线积分法：若已知实部U u X, y ,利用C R条件可得dv dx -Vdy-UdX -Udy ,故虚部为 VX

13、yy X,y-UdX -Udy C ； y X由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中Xo,yo与X,y是解析区域中的两点3）不定积分法：若已知实部U u X, y ,根据解析函数的导数公式和C R条件得知,MU . V U . Uf ZiI-XyXy将此式右端表示成Z的函数U Z ,由于fZ仍为解析函数,Z UZdZC注：若已知虚部V也可用类似方法求出实部U.（九）复数项级数1. 复数列的极限1 ）复数列 n an Ibn （ n 1,2川）收敛于复数Iiman a, Iimbn b （同时成立）nn2）复数列 .收敛 实数列2n,bn同时收敛。2. 复数项级数a bi的充

14、要条件为1）复数项级数n（ nn 0anibn）收敛的充要条件是级数an与 bn同时收敛;n 0n 02）级数收敛的必要条件是lim n 0n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幕级数的敛散性1 .幕级数的概念：表达式 Cn（Z Z0）n或 CnZn为幕级数。n 0n 02 .幕级数的敛散性1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（AbeI）:如果幕级数 CnZn在Zo 0处收敛，那么对满足IZ IZI的一切Z ,该数绝对收敛; n 0如果在Zo处发散，那么对满足Z Zo的一切Z ,级数必发散。2）幕级数的收敛域一圆域幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在

15、收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果lim ICn0,则收敛半径R丄;根值法JIimI石0 ,则收敛半径R -;如果 0,则R ;说明在整个复平面上处处收敛；如果 ，则R 0 ;说明仅在Z Z0或Z 0点收敛；注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如 CnZ2n ）n 03 .幕级数的性质1）代数性质：设 anZn, bnZn的收敛半径分别为RI与R2 ,记R min R,R2 ，n 0n 0则当;乙R时，(anbn)Znn . nanZbnZ（线性运算）n 0n 0n 0(anZn)(bnZn)(andanib III ab

16、n)zn（乘积运算）n 0n 0n 02)复合性质:设当r时，fan n ,当 I Z n 0R时，g Z解析且g Zr ,则当IZ R时,fg Z angZ n。n 03)分析运算性质：设幕级数anZn的收敛半径为R o ,则n o其和函数f ZnanZn o是收敛圆内的解析函数;在收敛圆内可逐项求导,收敛半径不变；且n 1n anZo在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变;Zf Z dzoan n 1Znon 12)(十一)幕函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f Z在圆域ZZoR内解析，贝U在此圆域内f Z可以展开成幕级数 f ZnfZoZ n o n!Zo n;并且此展开式是唯一的。注：若

17、f Z在Zo解析，则f Z在Zo的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径Zo a ;其中R为从Zo到fZ的距Zo最近一个奇点a之间的距离。2.常用函数在Zo0的泰勒展开式1)2 Z2!3 Z3!Illn! Hl2)IllIll3)Sin Z1)nno (2 n 1)!Z2n13 Z3!Z55!1)nIll 直 1)!Z2n1 Ill4)Z2Z4(1)n 2n I1 n o(2 n)!解析函数展开成泰勒级数的方法CoSZ2!4!Ill(2n)!川1)直接法：直接求出1Cn n!Zo,于是fnZCn Z Zo 。n o间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项 求导、逐项求积等方法

18、将函数展开。(十二)幕函数的洛朗展开1.洛朗级数的概念:Cn Z Zo,含正幕项和负幕项2 洛朗展开定理：设函数f Z在圆环域R1 z Zo R内处处解析，C为圆环域内绕Zo的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f ZCnZZOn ,且展开式唯一。n3 解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。* 4 .利用洛朗级数求围线积分：设f Z在r Z Z0 R内解析，C为r Z Z0 R内的任何一条正向简单闭曲线，则Illf ZdZ 2 ic 1。其中C 为UC1f (Z)在r Z Zo R内洛朗展开式中 的系数。Z Zo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(Z ZO)

19、1的系数。(十三)孤立奇点的概念与分类1.孤立奇点的定义：f Z在Zo点不解析,但在Zo的0 Z Zo内解析。2 .孤立奇点的类型：1) 可去奇点：展开式中不含ZZo的负幕项；f ZCoC1ZZoC2ZZo2 IU2) 极点：展开式中含有限项Z Zo的负幕项；其中 g Z C m C(m 1)(Z Zo) 川 C1(Z Zo)m1 C(Z Z。广 卅在 Zo 解析，且 g Zo o,m 1,c m o;3) 本性奇点：展开式中含无穷多项 Z Zo的负幕项；(十四)孤立奇点的判别方法1. 可去奇点：Iim f Z Co常数；Z Zo2. 极点：Iim f ZZ Z3. 本性奇点：Iim f Z不存在且不为。Z Zo4. 零点与极点的关系1)零点的概念：不恒为零的解析函数f Z ,如果能表示成f Z (Z Zo)m Z，其中 Z在Zo解析，Zo2）零点级数判别的充要条件：Zo是f Z的m级零点0,m为正整数，称Zo为f z的m级零点;Zo0,(n 1,2,Illm 1)Zo3）零点与极点的关系：Zo是f z的m级零点1Zo是的m级极点;f Z4）重要结论：丄AfZdZ2 VzoZdZ为在Zo的若Z a分别是 Z与 Z的m级与n级零点，则Z a是 Z * Z的m n级零点;当