含参数的一元二次不等式的解法[教学文书]

1、1课堂教育 回顾：解一元二次不等式的一般步骤 是什么? 二求二求求对应方程的根求对应方程的根 三画三画画出对应函数的图像画出对应函数的图像 一判一判判断对应方程的根的情况判断对应方程的根的情况(=b2-4ac)， 能因式分解的因式分解，不用判断能因式分解的因式分解，不用判断 四解集四解集根据图像及不等号方向写出不等式根据图像及不等号方向写出不等式 的解集的解集 2课堂教育 2 -3+19 -60 xx如：求不等式的解集 2 3-19 +60 xx 3 -1)( -6)0 xx（分析分析： 12 1 3 -1)( -6)=0 3 xxxx相对应方程（的根 = , =6 1 6 3 不等式的解集（

2、 , ） 3课堂教育 2 +( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式 这个不等式和前面那个不等式有什么不同的地方？ 4课堂教育 5课堂教育 12 1 ,xxa 00aa -a1 - )(1,+ )a不等式的解集为（， 相对应一元二次方程的两根 1)() 0 xx a（ 解析：原不等式等价于 2 +( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式 6课堂教育 2 +( -1) -0()xax aaR变式：解不等式 7课堂教育 -a1-a(-a) (1)-a1（ ） 12 1,xxa 1)()0 xxa（解析解析：原不等式等价于 相对应一元二次方程的两根 8课堂教育 解解: 原不等式可化为：

3、0)3(2axax 相应方程 的两根为0)3(2axax axax3,2 21 (1)当 即 时，原不等式解集为 23aa0a|23x xaxa或 (3)当 即 时，原不等式解集为 0a23aa|32x xaxa或 0|23ax xaxa时，原不等式解集为：或 0|32ax xaxa时，原不等式解集为：或 解关于解关于x x的不等式：的不等式： 065 22 aaxx 0|xx(2)当 即 时，原不等式解集为 0aaa32 0|xx时，原不等式解集为0a 9课堂教育 2 +( -1) -10()xaxaR解不等式a 二次项含有参数应二次项含有参数应如何求解如何求解？ 10课堂教育 含参数的一元

4、二次不等式含参数的一元二次不等式考点考点 x1 x2 x y O 2 +( -1) -10()xaxaR解不等式a x x1x2 y O 11课堂教育 若不等式若不等式ax2bx20的解集为的解集为 则则ab 的值为的值为() A.14 B.15 C.16 D.17 11 , 23 xx 解关于 的不等式: x 2 20 xkxk 12课堂教育 例题讲解例题讲解 例3:解关于 的不等式: x 2 20 xkxk 原不等式解集为 解： 22 88 44 kkkkkk xx 由于 的系数大于0,对应方程的根只需考虑的符号. 2 x 2 8kk （）当即时， 2 80kk80k 原不等式解集为 （）

5、当时得 2 80kk 08kk或 0 x x 解集为： 2x x 解集为： 分析分析: （)当 即 时, 2 80kk08kk或 (a)当 时,原不等式即为 0k 02 2 x (b)当 时,原不等式即为8k 0882 2 xx 13课堂教育 (3)当 时,不等式解集为80k 0 x x (4)当 时,不等式解集为0k (2)当 时,不等式解集为2x x 8k 综上所述综上所述，(1)当 时,不等式解集为8k 22 88 44 kkkkkk xx 22 88 44 kkkkkk xx (5)当 时,不等式解集为 0k 14课堂教育 解不等式04 2 axx 解：解：16 2 a 4,40a 当

6、即时R 原不等式解集为原不等式解集为 ； 40a 当即时, 2 a x xRx 且原不等式原不等式解集为解集为 ； 440aa 当或即时， , 此时两根分别为此时两根分别为 2 16 2 1 aa x 2 16 2 2 aa x ， 显然显然 21 xx , 原不等式的解集为：原不等式的解集为： 2 16 2 16 22 aa x aa xx或 例例4： 例题讲例题讲 解解 15课堂教育 成果验收成果验收 相信我能行！相信我能行！ 2 1-a)460-3 4的解集为的解集为x|xb, (1)求求a，b的值；的值； (2)解不等式解不等式ax2(acb)xbc0. 知能迁移知能迁移1 17课堂教

7、育 (2)不等式不等式ax2(acb)xbc0， 即即x2(2c)x2c0，即，即(x2)(xc)2时，不等式时，不等式(x2)(xc)0的解集为的解集为x|2xc； 当当c2时，不等式时，不等式(x2)(xc)0的解集为的解集为x|cx2； 当当c2时，不等式时，不等式(x2)(xc)2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|2xc； 当当c2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|cx2； 当当c2时时,原不等式的解集为原不等式的解集为 . (1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化 为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结

8、为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结 合相应二次函数的图象写出不等式的解集合相应二次函数的图象写出不等式的解集 (2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的 层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的 符号进行分类，其次根据根是否存在，即符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类的符号进行分类 ，最后在根存在时，根据根的大小进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类 18课堂教育 Cxa Dxxa 或 或 x a a 1 1 Aax Bxa 1 1 a a 1

9、101,x()0aa x a 、若则不等式（）的解是（ ） 练习一练习一 1 |1ax ax时，不等式的解集为 1a 时，不等式的解集为 1 |1axxa时，不等式的解集为 012 2 的不等式：、解关于axaxx 19课堂教育 探究二探究二 解关于x不等式： 012 2 xaax 20课堂教育 解关于x 的不等式：ax2-(a+1)x+10 解: 1 |1xx a 即 时，原不等式的解集为：1a当 1 1 a （二）当 a0 时,原不等式为一元二次不等式，可变形： （一）当 a=0 时, 原不等式即为-x+10的解集是全体实数的的解集是全体实数的 条件是条件是_. a0时，时，b-4ac0

10、25课堂教育 练习练习. .1 1若集合若集合A A=x x| |axax2 2- -axax+10=+10= , ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围 是是 （ ） A. A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C. C.a a|0|000时，相应二次方程中时，相应二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 综上得综上得 a a|0|0a a4. 4. D a 26课堂教育 【2】如果如果a0, 函数函数 的定义的定义 域为域为R, 则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是_. 1 2 a 2 3 ( )log ()f xa

11、xxa 2 0axxa 对一切实数对一切实数 x 恒成立，恒成立， 2 0, 140. a a 或或 0, 11 , 22 a aa 27课堂教育 【例例2 2】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10. （1 1）若对所有的实数）若对所有的实数x x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范 围；围； （2 2）设不等式对于满足）设不等式对于满足| |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范围的取值范围. . （1 1）由于二次项系数含有字母，所以首）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论先

12、讨论m m=0=0的情况，而后结合二次函数图象求解的情况，而后结合二次函数图象求解. . （2 2）转换思想将其看成关于）转换思想将其看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集为利用其解集为-2-2，2 2，求参数，求参数x x的范围的范围. . 思维启迪思维启迪 28课堂教育 解解 （1 1）不等式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10+10恒成立，即函数恒成立，即函数f f( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. . 当当m m=0=0时，时，1-21-2x x0, 时，不等式恒成

13、立时，不等式恒成立, ,不满足题意；不满足题意； 3 3分分 当当m m00时，函数时，函数f f( (x x)=)=mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1为二次函数，为二次函数， 需满足开口向下且方程需满足开口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0无解，即无解，即 综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m m. 6. 6分分 2 1 ., 0)1 (44 0 无解则m mm m 29课堂教育 (2)(2)从形式上看，这是一个关于从形式上看，这是一个关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以换个角度，把它看成关于可以换个角度，把它看成关于m

14、m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 并且已知它的解集为并且已知它的解集为-2,2,-2,2,求参数求参数x x的范围的范围. 7. 7分分 设设f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),), 则其为一个以则其为一个以m m为自变量的一次函数为自变量的一次函数, ,其图象是直线其图象是直线, , 由题意知该直线当由题意知该直线当-2-2m m22时线段在时线段在x x轴下方，轴下方， 分即9 0122 0322 , 0)2( 0)2( 2 2 xx xx f f 30课堂教育 分分的的取取值值范范围围为为 分分得得由由 得得解解 或或得得解解

15、12 2 31 2 71- 11 2 31 2 71- 2 31 2 31 2 71 2 71 .| . ., , xxx x x xx 31课堂教育 13xx 或或 2 ( )(2)44g axaxx ( 1)0 (1)0 g g 此题若把它看成关于此题若把它看成关于x的二次函数的二次函数,由于由于a, x都要都要 变变,则函数的最小值很难求出则函数的最小值很难求出,思路受阻思路受阻.若视若视a为主元为主元, 则给解题带来转机则给解题带来转机. 32课堂教育 则问题转化为则问题转化为mg(x)min 解：解：m- -2x2+9x在区间在区间2，3上恒成立，上恒成立， （1）变量分离法）变量分

16、离法(分离参数分离参数) 例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 2 290 xxm 9m 2 ( )29 ,2,3,g xxx x 记 min( ) (3)9,gxg 9.m 【评注评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等

17、式的问题为解关于参数的不等式的问题 33课堂教育 问题等价于问题等价于f(x)max0, 解：构造函数解：构造函数 2 ( )29,2,3,f xxxm x 2981 ( ) 2(),2,3, 48 f xxmx max( ) (3)90,fxfm 9.m 23 y . . xo （2）转换求函数的最值）转换求函数的最值 例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 2 290 xxm 9m 34课堂教育 (2)0 (3)0 f f 则则 100 90 m m 解：构造函数解：构造函数 2 ( )29,2,3,f xx

18、xm x 9.m 23 y . . xo 例例3. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 2 290 xxm 9m （）数形结合思想（）数形结合思想 35课堂教育 解：解： 数，数， 36课堂教育 还有什么方法呢？还有什么方法呢？ 37课堂教育 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于 x R恒成立恒成立,则实数则实数m 的取值范围时的取值范围时( ) A.(,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.(, 2 2 ( )(2)2(2)4,f xmxmx令令 (2)0 2

19、0 m m 或 22m C 38课堂教育 【2】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于 m - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数x 的取值范围是的取值范围是_. 2 ( )2)2(2)4(g mmxmx 22 (2 )244xx mxx ( 1)0 (1)0 g g 39课堂教育 【3】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于 x - -1,1恒成立恒成立,则实数则实数m 的取值范围是的取值范围是_. 2 ( )(2)2(2)4,f xmxmx令令 20 0 2 ( 1)0 (1)0 m m f f

20、 或 40课堂教育 一、选择题一、选择题 1.1.(2009(2009陕西理陕西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集为的解集为M M, ,函函 数数f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定义域为的定义域为N N, ,则则M MN N为为 ( ) ( ) A. A.0,1) B.(0,1)0,1) B.(0,1) C. C.0,10,1 D.(-1,0)D.(-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的解集的解集M M=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的

21、定义域的定义域N N=x x|-1|-1x x1,1, 则则M MN N=x x|0|0 x x1.1. 定时检测定时检测 A 41课堂教育 2.2.已知不等式已知不等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 则不等则不等 式式x x2 2- -bxbx- -a a00的解集是的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+)A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. C. D. 解析解析 由题意知由题意知 是方程是方程axax2 2- -bxbx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韦达定理得以由韦达定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5

22、,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即为即为x x2 2-5-5x x+60,+62,)2,则实数则实数t t的取值的取值 范围是范围是 （ ） A.A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) B.(-,2)(3,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) D.(-,0)(3,+) 解析解析 由题意知由题意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0. 0. . 0, 62 , 0, 12 2 xx xxx D 43课堂教育 4.4

23、.设命题设命题p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 则则p p是是q q的（的（ ） A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 0,0,y y00满足满足f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),则不等式则不等式f f( (x x+6)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集为的解

24、集为_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f(16).(16).根据单调性得根据单调性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2) 45课堂教育 6.6.若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一负根，有一正根和一负根， 则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函数开口向上，若方程有一正一负根，二次函数开口向上，若方程有一