微积分2复习提纲1

1、微积分复习提纲一、多元函数微分学及其应用1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df或者梯度函数gradf 多元显函数的偏导数，见 P16例1-例3，P24习题1 多元抽象函数的偏导数，见 P28例5-例7，P36习题3 高阶偏导数，见P19例8，P24习题2，P36习题4 复合函数的偏导数，见 P26例1,例3,例4, P36习题1, 2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 “显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34例12，P36习题6, 7 抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34例13, P36习题8由方程组丿爲确定的隐函数y= y(:)的导数屯辛, z = z

2、( x)d: d:（直接法：在方程两端同时对:求导，求导过程中把y,z都看做是:的函数，然后解方程组即可），见P35例14, P37习题9由方程组戶:,啊）=0确定的隐函数厂u（:，y）的偏导数（直接法）、G（x, y,u,v）=Oy=v（x, y）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用X = 空间曲线y =（:）在点M X0,y,Z0处的切线方程及法平面方程,z =（:）见P46例1,例2, P50习题1、2 空间曲线G :; ；0在点M0 X0心处的切线方程及法平面方程 见P46例3, P50习题2 曲面F x, y,z=0在点M X0,y,Z0处的切平面方程与法线方程 见P46例5,

3、例6, P50习题34、方向导数与梯度二、多元函数积分学及其应用1、二重积分的计算 步骤：1)画出积分区域D，2) 根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分3) 化二重积分为二次积分4)做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数直角坐标系T选择积分次序；先对y再对x积分化先对x再对y积分t重为二次积分重为二次积分极坐标系t化为极坐标系下的二重 积分f(rcosG,rsin日)rdrdBT化注：要会做改变二次积分的积分次序， 并计算此二次积分的值这种题型， 见半期 考试试题2、三重积分的计算步骤：1)根据题意写出积分区域 门的边界曲面的方程2)根

4、据积分区域选择适当的坐标系来计算此三重积分厂UJ(x y)先一后二法 t用口诀含z方程上下面，无z消z围D线t JJdxdyb(xy)f(x,y,z)dz直角坐标系T选择积分次序D C2( CB计算此曲线积分：LP(x,y)dx Q(x, y)dy 二 AC P(x, y)d CBQ(x,y)dy如图选择折线段作为积分路径：A(a, b)B(c,d)y|C(c, b)x利用方法一把这两个曲线积分J P(x,y)dx， Q(x, y)dy分别化为两个定积分fcAC*CB即可求出，即cdL P(x,y)dx Q(x,y)dy 二 ACP(x, y)d .CBQ(x,y)d a P(t,b)dr .

5、b Q(c,t)dt 若在一个单连通区域D上恒成立，则曲线积分J P(x,y)dx+Q(x,y)dycy exL与路径有关，可用格林公式求解x = tx = a 添补直线段 BC:一 0:ct a 和 CA:一(t:dT b),则L与BC，CA构y = dy = t成一条封闭的曲线，记此闭曲线围成的平面有界闭区域为 D。如图所示：利用格林公式及第二类曲线积分的垂直投影性得：L P(x, y)dx Q(x, y)dy 二 l BC CAPdx Qd BC Pdx Qd CA Pdx Qdyff沪dxdy -:yBCP(x,y)dx- .CAQ(x,y)dyffDa b訂xdy 廿(t,d)dTQ

6、(a,t)dt注：计算曲线积分的时候，一般先用方法一把曲线积分转化为定积分，当这个定积分不容易求解时，就改用方法二求解4、曲面积分的计算一一化曲面积分为二重积分1)第一类曲面积分(对面积的曲面积分).1.1 f (x, y, z)dSS步骤：将积分曲面S的方程F(x, y,z)=O改写为：z= (x, y)；画出积分曲面S在xoy面上的投影区域D ；根据积分曲面S的方程写面积兀素：dS +(管十仔)dxdy = J1 +(：)2 +(；)2dxdy 化曲面积分为二重积分:f(x,y,z)dS 二 f(x,y, (x,y) 1( J iP(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x

7、,y,z)dxdy 二 in S门( =)2dxdySD2)第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)I iA(x, y, z) d S 二 P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y, z)dxdySS方法一：(直接化曲面积分为二重积分)步骤：将积分曲面S的方程F(x,y,z) = O改写为：z= (x,y)，并指明此有向曲面S取上侧还是下侧； 画出积分曲面S在xoy面上的投影区域D ; 化曲面积分为二重积分：iiP(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdyS+ H(P(x,y浮(x,y),Q(x,y严(x,y), R(x,y,(x,

8、y)(-；, My,1dxdy 当S取上侧时 =* D-n(P(x,y/p(x,y),Q(x,y(x,y), R(x,y,(x,y)(-；,-y,idxdy 当s取下侧时-;：xQ(x,y, (x, y)R(x, y, (x,y)dxdy 当S取上侧时-xQ(x,y, (x, y) - y R(x, y, (x,y)dxdy当S取下侧时特别地,D+ ffR(x, y, (x, y)dxdy 当 S取上侧时R(x, y,z)dxdy DS- ffR(x, y (x, y) dxdy 当 S取下侧时 D注：1)计算出此二重积分的值就为所求的曲面积分的值；2)若此二重积分不好计算或是积分曲面是由几个

9、部分组成，分区面做积分比较麻烦的 时候可以考虑利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式 分情况讨论：i )若积分曲面S是一个取外侧的封闭的曲面，且P(x, y, z) , Q(x, y,z), R(x,y,z)X及其偏导数在此闭曲面围成的空间有界闭区域门上连续，则由高斯公式有：ii)若积分曲面S不是封闭的曲面，则不能直接利用高斯公式，一般需要添补平面三：Z二c c为常数，并指明三所取的侧，使得S与三围成一个取外侧的闭曲面，记此闭曲面围成的空间有界闭区域为-，从而：11 P(x, y, z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x, y,z)dxdyS= P(x, y, z)dydz Q(x,

10、y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy- P(x, y, z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x, y, z)dxdyS =fff + dv fR(x, y,z)dxdy(此处用到了第二类曲面积分的垂直投影性)Q谢氏丿 工 5、多元函数积分学的应用1) 1d；二D的面积(用于求平面图形的面积)D2) m1dV ，的体积(用于求立体的体积)Q3) 1ds = L的弧长(用于求曲线的弧长)4) 1dS二曲面3的面积(用于求曲面的面积)y5) 物理应用三、无穷级数一) 常数项级数1、正项级数a Un (Un -0)的敛散性的判定n吕步骤：1)做极限lim un，若lim un =

11、0，则此级数发散；若lim un = 0 ,则=2)比较判别法一般形式T对 拟限形式般项放缩2)根据一般项的形式选择适当的方法比值审敛法 根值审敛法判断其敛散性。OQqq2、交错级数v ( -1) n4Un或 (-1)= (Un - 0)的敛散性的判定n HnW莱布尼兹判别法:找到Unlim un = 0做极限lim un，若lim Un = 0，则此交错级数发散；若，则此交错级数收敛。Q03、判断一般项级数un （un为任意常数）是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝n 4对收敛?解：1）判断无un|的敛散性,n 4（注：总|un是一个正项级数）n JOv un收敛，且绝对收敛n -1qQ2）若

12、2血|收敛，则作结论:n =43）若2 |un发散，则还要讨论n 4qQJ un本身的敛散性。n=1-0，则该级数发散若limnf:7 un一般是个交错级数，用莱布尼兹判别法判定其收敛，从而O0unn ：4、un收敛且条件收敛n=1二）幕级数1、求幕级数J anXn的收敛域。n =0（先求收敛半径R，再讨论端点x - _R处幕级数的敛散性）cQ2、求幕级数a anxn的和函数S（x） on =01）充分利用等比级数的求和公式及幕级数可用逐项求导或逐项积分的性X质，先求 S（X）或.0 S（t）dt，再求 S（x） o:n2）利用幕级数展开式ex=v - x（：，：），计算系数中含有阶乘的幕 n=0 n!级数的和函数S（x）3、将函数f （x）用x的幕级数逼近或将f （x）展开成x的幕级数方法：利用已知的幕级数展开式，通过变量代换求f(x)的幕级数展开式;r x先求f(x)或f(t)dt的幕级数展开式，再利用幕级数可以逐项积分或逐项求导得性质求出f(x)的幕级数展开式。4、 将函数f(x)用x-x。的幕级数逼近或将f(x)展开成x-x。的幕级数方法：利用已知的幕